الرياضيات للشعب العلمية والتكنولوجية 2016 الدورة العادية: الموضوع

الشعبة :	العلوم التجريبية	السنة :	2016
المسلك :	العلوم الفيزيائية	الدورة :	العادية
المادة :	الرياضيات	المدة :	3 ساعات

التمرين الأول: المتتاليات العددية

نعتبر المتتالية العددية $\left(u_n\right)$ المعرفة بمايلي:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=2\\ u_{n+1}=\frac{3+u_n}{5-u_n}, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right.$

$\boxed{1}$ تحقق من أن $u_{n+1}-3=\frac{4\left(u_n-3\right)}{2+\left(3-u_n\right)}$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$ ثم بين بالترجع أن $u_n<3$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$

$\boxed{2}$ لتكن $\left(v_n\right)$ المتتالية العددية المعرفة بمايلي: $v_n=\frac{u_n-1}{3-u_n}$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$

$\overline{)أ}$ بين أن $\left(v_n\right)$ متتالية هندسية أساسها $\frac{1}{2}$ ثم استنتج أن $v_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$

$\overline{)ب}$ بين أن $u_n=\frac{1+3v_n}{1+v_n}$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$ ثم اكتب $u_n$ بدلالة $n$

$\overline{)ج}$ حدد نهاية المتتالية $\left(u_n\right)$

التمرين الثاني: الهندسة الفضائية

نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$، النقط $A\left(2,1,3\right)$ و$B\left(3,1,1\right)$ و$C\left(2,2,1\right)$ والفلكة $\left(S\right)$ التي معادلتها $x^2+y^2+z^2-2x+2y-34=0$

$\boxed{1}$

$\overline{)أ}$ بين أن $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$

$\overline{)ب}$ استنتج أن $2x+2y+z-9=0$ هي معادلة ديكارتية للمستوى $\left(ABC\right)$

$\boxed{2}$

$\overline{)أ}$ بين أن مركز الفلكة $\left(S\right)$ هو النقطة $\Omega \left(1,-1,0\right)$ وأن شعاعها هو $6$

$\overline{)ب}$ بين أن $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)=3$ واستنتج أن المستوى $\left(ABC\right)$ يقطع الفلكة $\left(S\right)$ وفق دائرة $\left(\Gamma \right)$

$\boxed{3}$

$\overline{)أ}$ حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم $\left(\Delta \right)$ المار من النقطة $\Omega$ والعمودي على المستوى $\left(ABC\right)$

$\overline{)ب}$ بين أن مركز الدائرة $\left(\Gamma \right)$ هو النقطة $B$

التمرين الثالث: الأعداد العقدية

$\boxed{1}$ حل في مجموعة الأعداد العقدية $\mathrm{ℂ}$ المعادلة $z^2-4z+29=0$

$\boxed{2}$ نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$، النقط $\Omega$ و$A$ و$B$ التي ألحاقها على التوالي هي $\omega$ و$a$ و$b$ بحيث $\omega =2+5i$ و$a=5+2i$ و$b=5+8i$

$\overline{)أ}$ ليكن $u$ العدد العقدي بحيث $u=b-\omega$

تحقق من أن $u=3+3i$ ثم بين أن $arg\left(u\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[2\mathrm{\pi }\right]$

$\overline{)ب}$ حدد عمدة للعدد العقدي $\overline{u}$ ($\overline{u}$ يرمز لمرافق العدد العقدي $u$)

$\overline{)ج}$ تحقق من أن $a-\omega =\overline{u}$ ثم استنتج أن $\Omega A=\Omega B$ وأن $arg\left(\frac{b-\omega }{a-\omega }\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2}\left[2\mathrm{\pi }\right]$

$\overline{)د}$ نعتبر الدوران $R$ الذي مركزه $\Omega$ وزاويته $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

حدد صورة النقطة $A$ بالدوران $R$

التمرين الرابع: حساب الاحتمالات

يحتوي صندوق على $10$ كرات : $4$ كرات حمراء و$6$ كرات خضراء (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس)

نسحب عشوائيا وفي آن واحد كرتين من الصندوق

$\boxed{1}$ ليكن $A$ الحدث: “الكرتان المسحوبتان حمراوان”

بين أن: $p\left(A\right)=\frac{2}{15}$

$\boxed{2}$ ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الحمراء المتبقية في الصندوق بعد سحب الكرتين

$\overline{)أ}$ بين أن مجموعة القيم التي يأخذها المتغير العشوائي $X$ هي $\left\{2,3,4\right\}$

$\overline{)ب}$ بين أن $p\left(X=3\right)=\frac{8}{15}$ ثم حدد قانون احتمال المتغير العشوائي $X$

مسألة: دراسة دالة عددية وحساب التكامل

نعتبر الدالة العددية $f$ المعرفة على $\mathrm{ℝ}$ بمايلي: $f\left(x\right)=2x-2+e^{2x}-4e^x$

و ليكن $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ المنحنى الممثل للدالة $f$ في معلم متعامد ممنظم $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ (الوحدة: $1 cm$)

$\boxed{I}$

$\boxed{1}$

$\overline{)أ}$ بين أن $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

$\boxed{ب}$ بين أن المستقيم $\left(D\right)$ الذي معادلته $y=2x-2$ مقارب للمنحنى $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ بجوار $-\infty$

$\boxed{2}$

$\overline{)أ}$ بين أن $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

$\overline{)ب}$ بين أن $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$ ثم أول هندسيا النتيجة

$\boxed{3}$

$\overline{)أ}$ بين أن $f\text{'}\left(x\right)=2{\left(e^x-1\right)}^2$ لكل $x$ من $\mathrm{ℝ}$

$\overline{)ب}$ ضع جدول تغيرات الدالة $f$ على $\mathrm{ℝ}$ (لاحظ أن $f\text{'}\left(0\right)=0$)

$\overline{)ج}$ بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد $\alpha$ من المجال $]1,\ln 4[$ بحيث $f\left(\alpha \right)=0$

$\boxed{4}$

$\overline{)أ}$ بين أن المنحنى $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ يوجد فوق المستقيم $\left(D\right)$ على المجال $]\ln 4,+\infty [$ وتحت المستقيم $\left(D\right)$ على المجال $]-\infty ,\ln 4[$

$\overline{)ب}$ بين أن المنحنى $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ يقبل نقطة انعطاف وحيدة زوج إحداثتيتها هو $\left(0,-5\right)$

$\overline{)ج}$ أنشئ المستقيم $\left(D\right)$ والمنحنى $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ في نفس المعلم $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ (نأخذ $\ln 4\approx 1,4$ و$\alpha \approx 1,3$)

$\boxed{5}$

$\overline{)أ}$ بين أن ${\int }_0^{\ln 4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx=-\frac{9}{2}$

$\overline{)ب}$ احسب ب$c{m}^2$ مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ والمستقيم $\left(D\right)$ ومحور الأراتيب والمستقيم الذي معادلته $x=\ln 4$

$\boxed{II}$

$\boxed{1}$

$\overline{)أ}$ حل المعادلة التفاضلية $\left(E\right) : y\text{'}\text{'}-3y\text{'}+2y=0$

$\overline{)ب}$ حدد الحل $g$ للمعادلة $\left(E\right)$ الذي يحقق الشرطين $g\left(0\right)=-3$ و$g\text{'}\left(0\right)=-2$

$\boxed{2}$ لتكن $h$ الدالة العددية المعرفة على المجال $]\ln 4,+\infty [$ بمايلي: $h\left(x\right)=\ln \left(e^{2x}-4e^x\right)$

$\overline{)أ}$ بين أن الدالة $h$ تقبل دالة عكسية $h^{-1}$ وأن $h^{-1}$ معرفة على $\mathrm{ℝ}$

$\overline{)ب}$ تحقق من أن $h\left(\ln 5\right)=\ln 5$ ثم حدد ${\left(h^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(\ln 5\right)$