الامتحان الوطني الموحد 2016 الدورة الإستدراكية: الموضوع والتصحيح

1
التمرين 1
الكيمياء: تحولات كيميائية تلقائية

تختلف التحولات الكيميائية حسب نوعية المجموعات الكيميائية والشروط البدئية. فهي إما سريعة أو بطيئة, ويؤدي بعضها الى تصنيع نواتج يمكن استخدامها في مجالات مختلفة منها المجال الصحي أو الصناعي وذلك وفق بروتوكولات معينة

يهدف هذا التمرين الى دراسة كيفية التحكم في تطور مجموعة كيميائية من خلال تفاعل تصنيع الأسبرين (حمض الأستيل ساليسيليك) ودراسة تصرف جزيئات هذا الحمض في الماء لتحديد ثابتة حمضيته وكذا دراسة التحول التلقائي في عمود

الجزء الأول: تصنيع الأسبرين في المختبر ودراسة تفاعله مع الماء

$1$ يمكن تصنيع حمض الأستيل ساليسيليك $(a c i d e a c é t y l s a l i c y l i q u e)$ أو الأسبرين في المختبر انطلاقا من تفاعل حمض الساليسيليك مع أندريد الإيثانويك باستعمال التسخين بالارتداد وفق المعادلة الكيميائية التالية المنمذجة لهذا التحول

$1 - 1$ أعط اسم المجموعة المميزة المحاطة بخط متقطع مغلق في صيغة جزئية كل من الساليسيليك وحمض الأستيل ساليسيليك

$2 - 1$ أعط مميزتي هذا التحول

$3 - 1$ اختر من بين التراكيب التجريبية $(1)$ و $(2)$ و $(3)$ التالية التركيب المستعمل لإنجاز هذا التصنيع

$4 - 1$ ما الفائدة من التسخين بالارتداد؟

$5 - 1$ ندخل في حوجلة معيارية $n_{1} = 0, 10 m o l$ من حمض الساليسيليك و $n_{2} = 0, 26 m o l$ من أندريد الإيثانويك وقطرات من حمض الكبريتيك المركز بعد التسخين بالارتداد وعمليات المعالجة والتنقية نحصل على بلورات الأسبرين كتلتها $m_{e x p} = 15, 3 g$

أوجد قيمة مردود هذا التصنيع علما أن المتفاعل المحد هو حمض الساليسيليك

نعطي : الكتلة المولية لحمض الأستيل ساليسيليك: $M = 180 g . m o l^{- 1}$

$2$ نحضر محلولا مائيا $(S)$ لحمض الأستيل ساليسيليك تركيزه المولي $C = 5, 55 . 10^{- 3} m o l . L^{- 1}$ وحجمه $V = 500 m L$

بعد قياس موصلية المحلول $(S)$ تم تحديد قيمة $x_{f}$ تقدم التفاعل عند الحالة النهائية للمجموعة الكيميائية حيث $x_{f} = 5, 70 . 10^{- 4} m o l$

للتبسيط نرمز لجزيئة حمض الأستيل ساليسيليك بالصيغة $A H$ ولقاعدته المرافقة بالصيغة $A^{-}$

$1 - 2$ اكتب المعادلة الكيميائية المنمذجة لتفاعل حمض الأستيل ساليسيليك $A H$ مع الماء

$2 - 2$ بين أن تفاعل حمض الأستيل ساليسيليك مع الماء غير كلي

$3 - 2$ حدد قيمة $K_{A}$ ثابتة الحمضية للمزدوجة $A H_{(a q)} / A_{(a q)}^{-}$

الجزء الثاني : التحول التلقائي في عمود

ننجز عمودا باستعمال الأدوات والمواد التالية :

كأس تحتوي على الحجم $V_{1} = 20 m L$ من محلول مائي لنترات الفضة $A g^{+} (a q) + N O_{3}^{-} (a q)$ تركيزه المولي $C_{1} = 1, 0 . 10^{- 1} m o l . L^{- 1}$

كأس تحتوي على الحجم $V_{2} = 20 m L$ من محلول مائي لنترات النحاس $C u^{2 +} (a q) + 2 N O_{3}^{-} (a q)$ تركيزه المولي $C_{2} = 5, 0 . 10^{- 2} m o l . L^{- 1}$

سلك من النحاس وسلك من الفضة

قنطرة ملحية تحتوي على محلول مائي مشبع لنترات البوتاسيوم $K^{+} (a q) + N O_{3}^{-} (a q)$

معطيات :

$1 F = 96500 C . m o l^{- 1}$

ثابتة التوازن المقرونة بالمعادلة $2 A g^{2} (a q) + C u (s) ⇄_{(2)}^{(1)} 2 A g (s) + C u^{2 +} (a q)$ هي $K = 2, 2 . 10^{15}$

نربط إلكترودي العمود بموصل أومي مركب على التوالي مع أمبيرمتر فنلاحظ مرور تيار كهربائي في الدارة الخارجية للعمود

$1$ احسب قيمة خارج التفاعل $Q_{r . i}$ عند الحالة البدئية للمجموعة الكيميائية استنتج المنحى التلقائي لتطور المجموعة

$2$ نشغل العمود لمدة زمنية طويلة الى أن يستهلك

أوجد قيمة كمية الكهرباء التي اخترقت الموصل الأومي من بداية اشتغال العمود الى أن أصبح مستهلكا علما أن المتفاعل المحد هو أيون الفضة $A g^{+}$

الكيمياء: تحولات كيميائية تلقائية

الجزء الأول: تصنيع الأسبرين في المختبر ودراسة تفاعله مع الماء

$1$ تصنيع حمض الأستيل ساليسيليك

$1 - 1$ اسم المجموعة المميزة المحاطة بخط متقطع مغلق :

$2 - 1$ مميزتي هذا التحول :سريع وكلي

$3 - 1$ التركيب التجريبي لإنجاز هذا التصنيع هو تركيب التسخين بالارتداد

ويمثل التركيب $(1)$

$4 - 1$ فائدة التسخين بالارتداد :

التسخين بالارتداد يسرع التفاعل ويحول دون ضياع كمية مادة الأنواع الكيميائية المتفاعلات والنواتج

$5 - 1$ مردود التصنيع :

لدينا:

$r = \frac{n_{e x p}}{n_{t h}} = \frac{n_{e x p}}{n_{m a x}}$

$n_{e x p} = \frac{m_{e x p}}{M} = \frac{15, 3}{180} = 0, 085 m o l$

$n_{t h} = n_{1} = 0, 1 m o l$

$r = \frac{n_{e x p}}{n_{t h}} = \frac{0, 085}{0, 1} = 0, 85$

$r = 85 %$

$2$ تفاعل حمض الأستيل ساليسيليك مع الماء

$1 - 2$ معادلة تفاعل الحمض $A H$ مع الماء :

$A H_{(a q)} + H_{2} O_{(t)} ⇄ A_{(a q)}^{-} + H_{3} O_{(a q)}^{+}$

$2 - 2$ إثبات أن التفاعل غير كلي :

لنحدد التقدم الأقصى $x_{m a x}$ بما أن الماء (مذيب) مستعمل بوفرة فإن المتفاعل المحد هو الحمض $x_{m a x} = C . V =$

$x_{m a x} = 5, 55 . 10^{- 3} \times 500 \times 10^{- 3} x_{m a x} = 2, 77 . 10^{- 3} m o l$

بما أن $x_{f} = 5, 70 . 10^{- 4} m o l < x_{m a x}$ فإن تفاعل حمض الأستيل ساليسيليك مع الماء محدود

$3 - 2$ تحديد قيمة الثابتة $K_{A}$ :

جدول التقدم :

${[A^{-}]}_{é q} = {[H_{3} O^{+}]}_{é q} = \frac{x_{é q}}{V}$

${[A H]}_{é q} = \frac{C . V - x_{é q}}{V} = C - \frac{x_{é q}}{V}$

$K_{A} = \frac{{[A^{-}]}_{_{é q}} . {[H_{3} O^{+}]}_{é q}}{{[A H]}_{é q}} = \frac{{[A^{-}]}_{é q}^{2}}{{[A H]}_{é q}} = \frac{{(\frac{x_{é q}}{V})}^{2}}{C - \frac{x_{é q}}{V}}$

تطبيق عددي :

$K_{A} = \frac{{(\frac{5, 70 . 10^{- 4}}{0, 5})}^{2}}{5, 55 . 10^{- 3} - \frac{5, 70 . 10^{- 4}}{0, 5}} K_{A} \approx 2, 95 . 10^{- 4}$

الجزء الثاني: التحول التلقائي في عمود

$1$ حساب $Q_{r . i}$ خارج التفاعل البدئي

$2 A g_{(a q)}^{+} + C u_{(s)} ⇄ 2 A g_{(s)} + C u_{(a q)}^{2 +}$

$Q_{r . i} \frac{{[C u^{2 +}]}_{i}}{{[A g^{+}]}_{i}^{2}} Q_{r . i} = \frac{C_{2}}{{C^{2}}_{1}} Q_{r . i} = \frac{5, 0 . 10^{- 2}}{{(1, 0 . 10^{- 1})}^{2}} Q_{r . i} = 5$

ثابتة التوازن $K = 2, 2 . 10^{15}$

لدينا $Q_{r . i} < K$

ومنه فإن المجموعة الكيميائية تنتقل في المنحى المباشر منحى تكون $A g$ و $C u^{2 +}$

$2$ كمية الكهرباء التي اخترقت الموصل الأومي

بما أن المتفاعل المحد هو أيون الفضة سنقتصر على الجدول الوصفي لنصف معادلة الاختزال :

المتفاعل المحد هو أيون الفضة:

$C_{1} . V_{1} - x_{m a x} = 0 \Rightarrow x_{m a x} = C_{1} . V_{1} = 1, 0 . 10^{- 1} \times 20 . 10^{- 3} \Rightarrow x_{m a x} = 2 . 10^{- 3} m o l$

$\{\begin{cases} n (e^{-}) = x_{m a x} \\ n (e^{-}) = \frac{Q}{F} \end{cases} \Rightarrow \frac{Q}{F} = x_{m a x} \Rightarrow Q = F . x_{m a x}$

تطبيق عددي :

$Q = 2 . 10^{- 3} \times 96500 = 193 C$
2
التمرين 2
انتشار موجة ميكانيكية وموجة ضوئية

الموجات الميكانيكية والموجات الضوئية موجات تتميز كل منها بخصائص معينة وتمكن الظواهر المرتبطة بانتشارها من توفير معلومات حول أوساط الانتشار وطبيعة الضوء وكذا من تحديد بعض البارامترات المميزة

يهدف هذا التمرين الى تعرف بعض خاصيات الموجات فوق الصوتية والموجات الضوئية من خلال انتشارها في أوساط مختلفة

$1$ خاصيات الموجات فوق الصوتية والموجات الضوئية

انقل على ورقة تحريرك رقم السؤال واكتب الحرف الموافق للاقتراح الوحيد الصحيح من بين مايلي:

الموجات فوق الصوتية موجات طولية

مجال ترددات الضوء المرئي محدود بين و

الموجات فوق الصوتية و الموجات الضوئية لها نفس سرعة الانتشار في نفس الوسط

تردد الموجات الضوئية يتغير من وسط الى اخر

$2$ انتشار الموجات فوق الصوتية

نضع في نفس الموضع باعثا $E$ و مستقبلا $R$ للموجات فوق الصوتية على مسافة $d = 42, 5 c m$ من حاجز تنتشر الموجات فوق الصوتية في الهواء انطلاقا من $E$ ثم تنعكس على الحاجز فتستقبل من طرف $R$

مكن نظام مسك معلوماتي من معاينة الموجة المرسلة $(a)$ والموجة المستقبلة $(b)$

يمثل الشكل $(1)$ الرسم التذبذبي المحصل

$1 - 2$ حدد قيمة $r$ التأخر الزمني بين الموجتين $(a)$ و $(b)$

$2 - 2$ تحقق أن قيمة سرعة الانتشار في الهواء هي $V_{a i r} = 340 m . s^{- 1}$

$3 - 2$ نعيد إنجاز التجربة باستعمال العدة السابقة حيث تنتشر الموجات فوق الصوتية في الماء نحصل بواسطة نفس نظام المسك المعلوماتي على الرسم التذبذبي الممثل في الشكل $(2)$

في أي الوسطين (هواء / ماء) يكون انتشار الموجات فوق الصوتية أسرع ؟ علل جوابك

$3$ انتشار موجات ضوئية

نضيء شقا رأسيا عرضه $a = 0, 1 m m$ بواسطة جهاز لازر يعطي ضوءا أحادي اللون طول موجته $λ = 632, 8 n m$ فتظهر على شاشة توجد على مسافة $D$ من الشق بقع ضوئية تبرز حدوث ظاهرة الحيود

يعبر عن عرض البقعة المركزية بالعلاقة $L = \frac{2 λ . D}{a}$

سرعة انتشار الضوء في الفراغ أو الهواء هي $c = 3 . 10^{8} m . s^{- 1}$

$1 - 3$ حدد قيمة $υ$ تردد الضوء المستعمل

$2 - 3$ نعيد التجربة باستعمال خيط رفيع رأسي قطره $a_{0}$ فيصبح عرض البقعة المركزية هو $L_{0} = 2 . L$

حدد قيمة $a_{0}$

انتشار موجة ميكانيكية وموجة ضوئية

$1$ خاصيات الموجات فوق الصوتية والموجات الضوئية

أ - الموجات فوق الصوتية موجات طولية

ب - مجال ترددات الضوء المرئي محدود بين $400 n m$ و $1000 n m$

ج - الموجات فوق الصوتية والموجات الضوئية لهما نفس سرعة الانتشار في نفس الوسط

د - تردد الموجات الضوئية يغير من وسط لأخر

الجواب الصحيح هو (أ)

$2$ انتشار موجة فوق صوتية

$1 - 2$ تحديد التأخر الزمني $r$

$r = 3 - 0, 5 = 2, 5 m s$

$2 - 2$ التحقق من قيمة سرعة انتشار الصوت في الهواء

$υ_{a i r} = \frac{2 d}{r}$

ت.ع:

$υ_{a i r} = \frac{2 \times 42, 5 . 10^{- 2}}{2, 5 . 10^{- 3}} = 340 m / s$

$3 - 2$ تحديد الوسط الذي تكون فيه انتشار الموجات فوق الصوتية اسرع

من خلال الشكل 2 يتبين أن التأخر الزمني $υ_{e a u} = \frac{2 d}{r'}$ و $υ_{a i r} = \frac{2 d}{r}$

وبالتالي يكون $υ_{e a u} > υ_{a i r}$ أي ان انتشار الموجات فوق الصوتية تكون أسرع في الماء

$3$ انتشار موجة ضوئية

$1 - 3$ تحديد التردد $υ$

لدينا: $c = λ . υ$ أي: $υ = \frac{c}{λ}$

ت.ع:

$v = \frac{3 . 10^{8}}{632, 8 . 10^{- 9}} = 4, 74 . 10^{14} H z$

$2 - 3$ تحديد قيمة $a_{0}$

لدينا العلاقة :

$\{\begin{cases} L = \frac{2 λ D}{a} \\ L_{0} = \frac{2 λ D}{a_{0}} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} L . a = 2 λ D \\ L_{0} . a_{0} = 2 λ D \end{cases} \Rightarrow L_{0} . a_{0} = L . a \Rightarrow 2 L . a_{0} = L . a \Rightarrow a_{0} = \frac{a}{2}$

ت.ع:

$a_{0} = \frac{0, 1 m m}{2} = 5 . 10^{- 2} m m$
3
التمرين 3
الكهرباء : استجابة ثنائي القطب

تمكن الدراسة الكهربائية أوالطاقية لبعض ثنائيات القطب من تحديد بعض البرامترات المميزة لها والوقوف على تأثيرها على الظواهر التي تكون ثنائيات القطب مقرا لها

يهدف هذا التمرين الى تحديد معمال التحريض الى تحديد معامل التحريض لوشيعة ودراسة تفريغ مكثف عبرها

$1$ تحديد معامل التحريض لوشيعة

لتحديد معامل التحريض $L$ لوشيعة مقاومتها مهملة نستعمل التركيب التجريبي الممثل في الشكل $(1)$ والمكون من هذه الوشيعة وموصل أومي مقاومته $R = 1, 5 . 10^{3}$ ومولد $G B F$ يغذي الدارة بتوتر مثلثي دوره $T$ وقاطع التيار $K$

نغلق قاطع التيار عند اللحظة $t_{0} = 0$ ونعاين بواسطة راسم التذبذب التوتر $u_{b} (t)$ بين مربطي الوشيعة والتوتر $u_{R} (t)$ بين مربطي الموصل الأومي فنحصل على الرسم التذبذبي الممثل في الشكل $(2)$

الحساسية الرأسية لمدخلي راسم التذبذب هي $2 V . d i v^{- 1}$

الحساسية الأفقية هي $0, 2 m s . d i v^{- 1}$

$1 - 1$ اذكر دور الوشيعة عند إغلاق الدارة

$2 - 1$ بين أن التوترين $u_{R}$ و $u_{b}$ يرتبطان بالعلاقة $u_{b} = - \frac{L}{R} . \frac{d u_{R}}{d t}$

$3 - 1$ اعتمادا على الرسم التذبذبي حدد قيمة كل من $u_{b}$ و $\frac{d u_{R}}{d t}$ خلال نصف الدور المبين في الشكل $(2)$

$4 - 1$ استنتج أن $L = 0, 1 H$

$2$ تفريغ مكثف في وشيعة

ننجز تفريغ مكثف في الوشيعة السابقة $(L = 0, 1 H)$ في حالتين مختلفتين :

$1 - 2$ الحالة الأولى

نستعمل مكثفا سعته $C$ مشحون بدئيا تحت التوتر $U_{0}$ (الشكل $3$ )

نعتبر $q (t)$ شحنة المكثف عند لحظة $t$

$1 - 1 - 2$ أثبت المعادلة التفاضلية التي تحققها الشخنة $q (t)$

$2 - 1 - 2$ حدد قيمة السعة $C$ علما أن الدارة مقر تذبذبات كهربائية حرة غير مخمدة دورها الخالص $T_{0} = 2 m s$

نأخذ $π^{2} = 10$

$2 - 2$ الحالة الثانية

نستعمل المكثف السابق ذي السعة $C$ المشحون بدئيا تحت التوتر $U_{0} = 6 V$ ونربطه بالوشيعة السابقة المركبة على التوالي مع موصل أومي مقاومته $R$ قابلة للضبط وقاطع للتيار مفتوح

نضبط مقاومة الموصل الأومي على قيمة $R_{0}$ ونغلق الدارة عند اللحظة $t_{0} = 0$ ثم نتتبع بواسطة نظام مسك معلوماتي التوتر $u_{c} (t)$ بين مربطي المكثف فنحصل على منحى الشكل $(4)$

$1 - 2 - 2$ ارسم نظام التذبذبات الذي يبرزه المنحنى

$2 - 2 - 2$ احسب قيمة كل من $E_{0}$ الطاقة الكلية للدارة عند اللحظة $t_{0} = 0$ و $E_{1}$ الطاقة الكلية للدارة عند اللحظة $t_{1} = 2 T$ حيث $T$ شبه الدور للتذبذبات الكهربائية.

هل تنحفظ الطاقة الكلية للدارة؟

$3 - 2 - 2$ نقبل أن $I n (\frac{E_{0}}{E_{1}}) = \frac{R_{0}}{L} (t_{1} - t_{0})$ . حدد قيمة $R_{0}$

الكهرباء : استجابة ثنائي القطب

$1$ تحديد معامل التحريض لوشيعة

$1 - 1$ دور الوشيعة عند إغلاق الدارة :

تقاوم الوشيعة إقامة التيار في الدارة

$2 - 1$ إثبات العلاقة بين التوترين $u_{R}$ و $u_{b}$ :

حسب قانون أوم بين مربطي الوشيعة في اصطلاح مستقبل : $u_{b} = L . \frac{d i}{d t}$

حسب قانون أوم بين مربطي الموصل الأومي في اصطلاح مولد :

$u_{R} = - R . i \Rightarrow i = - \frac{u_{R}}{R}$

$\frac{d i}{d t} = - \frac{d}{d t} (\frac{u_{R}}{R}) \Rightarrow \frac{d i}{d t} = - \frac{1}{R} . \frac{d u_{R}}{d t}$

نستنتج :

$u_{b} = - \frac{L}{R} . \frac{d u_{R}}{d t}$

$3 - 1$ تحديد قيمة $\frac{d u_{R}}{d t}$ و $u_{b}$ مبيانيا خلال نصف الدور الأول $[0; \frac{T}{2}]$

الحساسية الرأسية للمدخلين : $S_{v} = 2 V . d i v^{- 1}$

الحساسية الأفقية: $S_{H} = 0, 2 V m s . d i v^{- 1}$

التوتر $u_{R}$ عبارة عن دالة تآلفية خلال النصف الدور الأول معادلته تكتب: $u_{R} = a t + b$ حيث $a$ المعامل الموجه للدالة:

$a = \frac{∆ u_{R}}{∆ t} = \frac{6 d i v \times 2 V . d i v^{- 1}}{2 d i v \times 0, 2 \times 10^{- 3} s . d i v^{- 1}}$

$\frac{d u_{R}}{d t} = 3 . 10^{4} V . s^{- 1}$

تحديد التوتر $u_{b}$ (المنحنى الأزرق) :

خلال نصف الدور الأول التوتر $u_{b}$ ثابت قيمته

$u_{b} = - 1 d i v \times 2 V . d i v^{- 1} = - 2 V$

$4 - 1$ استنتاج $L$

$u_{b} = - \frac{L}{R} . \frac{d u_{R}}{d t} \Rightarrow L . \frac{d u_{R}}{d t} = - R . u_{b} \Rightarrow L = - \frac{R . u_{b}}{\frac{d u_{R}}{d t}}$

ت.ع:

$L = - \frac{1, 5 . 10^{3} \times (- 2)}{3 . 10^{4}} = - 0, 1 H$

$2$ تفريغ مكثف في وشيعة

$1 - 2$ الحالة الأولى

$1 - 1 - 2$ إثبات المعادلة التفاضلية التي تحققها الشحنة $q (t)$ :

حسب قانون إضافية التوترات: $u_{c} + u_{b} = 0$ . ولدينا $q = c . u_{c}$

$\{\begin{cases} u_{b} = L . \frac{d i}{d t} \\ i = \frac{d q}{d t} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{b} = L . \frac{d i}{d t} \\ \frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} \frac{d q}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}} \end{cases} \Rightarrow u_{b} = L . \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$

$u_{c} + u_{b} = 0 \Rightarrow C . u_{c} + L . C . \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0 \Rightarrow q + L . C . \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

المعادلة التفاضلية تكتب:

$\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{1}{L . C} . q = 0$

$2 - 1 - 2$ تحديد قيمة $C$ سعة المكثف :

تعبير الدور الخاص للتذبذبات الجيبية :

$T_{0} = 2 π \sqrt{L . C} \Rightarrow T_{0}^{2} = 4 π^{2} L . C \Rightarrow C = \frac{T_{0}^{2}}{4 π^{2} L}$

ت.ع:

$C = \frac{{(2 . 10^{- 3})}^{2}}{4 \times 10 \times 0, 1} = 10^{- 6} F$

$2 - 2$ الحالة الثانية

$1 - 2 - 2$ اسم نظام التذبذبات الذي يبرزه المنحنى :

النظام شبه دوري (لأن وسع التذبذبات يتناقص تدريجيا مع الزمن)

$2 - 2 - 2$ حساب $ξ_{0}$ الطاقة الكلية للدارة عند اللحظة $t_{0} = 0$ :

الطاقة الكلية للدارة تكتب :

$ξ_{0} = ξ_{e} + ξ_{m} = \frac{1}{2} C . u_{c}^{2} + \frac{1}{2} L . i^{2}$

عندما تكون $u_{c}$ قصوية تكون $i$ منعدمة

مبيانيا عند اللحظة $t_{0} = 0$ نجد $u_{c} = 6 V$ وتكون $i = 0$ إذن :

$ξ_{0} = \frac{1}{2} C . u_{c}^{2} = \frac{1}{2} \times 10^{- 6} \times 6^{2} = 1, 8 . 10^{- 5} J$

حساب $ξ_{1}$ الطاقة الكلية للدارة عند اللحظة $t_{1} = 2 T$ :

مبيانيا عند اللحظة $t_{1} = 2 T$ نجد $u_{c} = 4 V$ وتكون $i = 0$ إذن :

$ξ_{1} = \frac{1}{2} C . u_{c}^{2} = \frac{1}{2} \times 10^{- 6} \times 4^{2} = 8 . 10^{- 6} J$

نلاحظ أن $ξ_{0} \neq ξ_{1}$ وبالتالي الطاقة الكلية للدارة لا تنحفظ

$3 - 2 - 2$ تحديد قيمة $R_{0}$ :

لدينا :

$In (\frac{ξ_{0}}{ξ_{1}}) = \frac{R_{0}}{L} . (t_{1} - t_{0}) \Rightarrow R_{0} . (t_{1} - t_{0}) = L . In (\frac{ξ_{0}}{ξ_{1}}) \Rightarrow R_{0} = \frac{L}{t_{1} - t_{0}} . In (\frac{ξ_{0}}{ξ_{1}})$

تطبيق عددي:

$R_{0} = \frac{0, 1}{4 . 10^{- 3} - 0} . In (\frac{1, 8 . 10^{- 5}}{8 . 10^{- 6}}) \approx 20, 3 Ω$
4
التمرين 4
الميكانيك : القفز بالدراجة النارية

يعتبر القفز الطولي بواسطة الدراجة النارية من الرياضات التي يطبعها التشويق والإثارة والتحدي لتجاوز بعض الحواجز الطبيعية والاصطناعية

يهدف هذا التمرين الى دراسة حركة مركز القصور $G$ لمجموعة $(S)$ كتلتها $m$ مكونة من دراجة نارية وسائقها على حلبة السباق

تتكون حلبة سباق من جزء مستقيمي أفقي وجزء مستقيمي مائل بزاوية $a$ بالنسبة للمستوى الأفقي ومنطقة للسقوط بها حاجز $(E)$ علوه $L$ يوجد على مسافة $d$ من المحور الرأسي المار من النقطة $D$ (الشكل $1$ )

معطيات:

جميع الاحتكاكات مهملة

$a = 26 ° ؛ d = 20 m ؛ L = 10 m ؛ m = 190 k g$

$1$ حركة المجموعة $(S)$ على الجزء الأفقي

تنطلق المجموعة $(S)$ من موضع يكون فيه مركز قصورها $G$ منطبقا مع النقطة $A$

يمر $G$ من النقطة $B$ بالسرعة $\vec{V_{0}} = V_{0} . \vec{i}$ عند اللحظة $t_{0} = 0$

تخضع المجموعة $(S)$ خلال حركتها لقوة محركة أفقية $\vec{F}$ ثابتة لها نفس منحى الحركة حيث مسار $G$ مستقيمي

لدراسة حركة $G$ بين $B$ و $C$ نختار معلما $(B, \vec{i})$ مرتبطا بالأرض نعتبره غاليليا حيث $x_{G} = x_{B} = 0$ عند $t_{0} = 0$

$1 - 1$ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن بين أن تعبير تسارع حركة $G$ هو $a_{G} = \frac{F}{m}$ . استنتج طبيعة حركة $G$

$2 - 1$ يعبر عن السرعة اللحظية $v_{G} (t)$ لمركز القصور $G$ بالعلاقة $v_{G} (t) = a_{G} . t + v_{0}$

$أ$ عين معللا جوابك المنحنى الذي يمثل السرعة اللحظية $v_{G} (t)$ من بين المنحنيات الأربعة الممثلة في الشكل $(2)$

$ب$ استنتج قيمة كل من السرعة البدئية $v_{0}$ والتسارع $a_{0}$ لمركز القصور $G$

$3 - 1$ احسب شدة القوة المحركة $\vec{F}$

$2$ حركة المجموعة $(S)$ خلال مرحلة القفز

تغادر المجموعة $(S)$ حلبة السباق عند مرور $G$ من النقطة $D$ بسرعة ${\vec{v}}_{D}$ تكون الزاوية $a$ مع المستوى الأفقي للقفز فوق الحاجز $(E)$ (انظر الشكل $1$ )

تخضع المجموعة $(S)$ خلال عملية القفز الى وزنها فقط

ندرس حركة $G$ في مجال الثقالة المنتظم في معلم متعامد ممنظم $(O, \vec{i,} \vec{j})$ مرتبط بالأرض نعتبره غاليليا ونختار لحظة مرور $G$ من $D$ أصلا جديدا للتواريخ $(t_{0} = 0)$ حيث $y_{0} = O D = h$

$1 - 2$ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن بين أن المعادلتين التفاضليتين اللتين تحققهما $x_{G} (t)$ و $y_{G} (t)$ إحداثيتي $G$ في المعلم $(O, \vec{i,} \vec{j})$ هما:

$\{\begin{cases} \frac{d x_{G}}{d t} = v_{D} . \cos a \\ \frac{d y_{G}}{d t} = - g . t + v_{D} . \sin a \end{cases}$

$2 - 2$ التعبير العددي للمعادلتين الزمنيتين $x_{G} (t)$ و $y_{G} (t)$ لحركة $G$ هو:

$\{\begin{cases} x_{G} (t) = 22, 5 . t (m) \\ y_{G} (t) = - 5 . t^{2} + 11 . t + 5 (m) \end{cases}$

أوجد قيمة كل من الارتفاع $h$ والسرعة $v_{D}$

$3 - 2$ تكون القفزة ناجحة إذا تحقق الشرط الاتي: $y_{G} > L + 0, 6 (m)$

هل تمت القفزة بنجاح ؟ علل جوابك

الميكانيك : القفز بالدراجة النارية

$1$ حركة المجموعة $(S)$ على الجزء الأفقي

$1 - 1$ إثبات تعبير تسارع حركة $G$

المجموعة المدروسة : المجموعة $(S)$

جرد القوى :

$\vec{P}$ : وزن المجموعة

$\vec{R}$ :تأثير سطح التماس

$\vec{F}$ :تأثير القوة المحركة الأفقية

تطبيق القانون الثاني لنيوتن :

$\sum \vec{F_{e x t}} = m . {\vec{a}}_{G} \vec{P} + \vec{R} + \vec{F} = m . {\vec{a}}_{G}$

الإسقاط على المحور $(B, \vec{i})$ :

$0 + 0 + F = m . a_{G} \Rightarrow a_{G} = \frac{F}{m} = C t e$

طبيعة حركة مركز القصور: حركة مستقيمية متغيرة بانتظام

$2 - 1$

$أ$ تعيين المنحنى الذي يمثل السرعة اللحظية $v_{G} (t)$ :

سرعة الحركة المستقيمية المتسارعة بانتظام عبارة عن دالة تآلفية تزايدية $(v = a_{G} . t + v_{0})$ ويتعلق الأمر بالمنحنى $4$

$ب$ استنتاج قيمة $v_{0}$ و $a_{G}$ :

حسب المنحنى $4$ :

سرعة $G$ عند هي: $v_{0} = 8 m . s^{- 1}$

المعامل الموجه للمستقيم يكتب :

$a_{G} = \frac{∆ v}{∆ t} = \frac{3 \times 4}{3} = 4 m . s^{- 2}$

$3 - 1$ حساب شدة القوة المحركة $\vec{F}$

لدينا :

$a_{G} = \frac{F}{m} \Rightarrow F = m . a_{G}$

تطبيق عددي :

$F = 190 \times 4 = 760 N$

$2$ حركة المجموعة $(S)$ خلال مرحلة القفز

$1 - 2$ إثبات المعادلتين التفاضليتين

تخضع المجموعة $(S)$ لقوة وحيدة الوزن $\vec{P}$

تطبيق القانون الثاني لنيوتن :

$\vec{P} = m . {\vec{a}}_{G} \Rightarrow m . \vec{g} = m . {\vec{a}}_{G} \Rightarrow {\vec{a}}_{G} = \vec{g}$

حسب الشروط البدئية :

$\vec{v_{0}} |\begin{matrix} V_{0 x} & = v_{D} . \cos a \\ V_{0 y} & = v_{D} . \sin a \end{matrix}$ و $\vec{0 D} |\begin{matrix} x_{0} & = 0 \\ y_{0} & = h \end{matrix}$

إسقاط العلاقة $({\vec{a}}_{G} = \vec{g})$ في المعلم $(O, \vec{i,} \vec{j})$

$\vec{a_{G}} |\begin{matrix} a_{G} = 0 \\ a_{G} = - g \end{matrix} \Rightarrow| \begin{matrix} \frac{d v_{x}}{d t} & = 0 \\ \frac{d v_{y}}{d t} & = - g \end{matrix}$

تكامل⇒

$\vec{v_{G}} (\begin{matrix} v_{x} = V_{0 x} \\ v_{y} = - g . t + V_{0 y} \end{matrix}) \Rightarrow \vec{v_{G}} (\begin{matrix} v_{x} = v_{D} . \cos a \\ v_{y} = - g . t + v_{D} . \sin a \end{matrix})$

نستنتج المعادلتين التفاضليتين :

$(\begin{matrix} \frac{d x_{G}}{d t} = v_{D} . \cos a \\ \frac{d y_{G}}{d t} = - g . t + v_{D} . \sin a \end{matrix})$

$2 - 2$ تحديد قيمة الارتفاع $h$ والسرعة $v_{D}$

حسب التعبير العددي للمعادلتين الزمنيتين :

$\{\begin{cases} x_{G} (t) = 22, 5 . t (1) \\ y_{G} (t) = - 5 t^{2} + 11 . t + 5 (2) \end{cases}$

عند اللحظة $t = 0$ لدينا $y_{G} (0) = h$

نعوض $t = 0$ في المعادلة $(2)$ فنحصل على: $y_{G} (0) = 5 m$ . أي: $h = 5 m$

لدينا: $\frac{d x_{G}}{d t} = v_{D} . \cos a$ . نشتق المعادلة $(1)$ بالنسبة للزمن فنحصل على:

$\frac{d x_{G}}{d t} = 22, 5 m . s^{- 2}$

إذن :

$v_{D} . \cos a = 22, 5 \Rightarrow v_{D} = \frac{22, 5}{\cos a}$

تطبيق عددي :

$v_{D} = \frac{22, 5}{\cos (26 °)} = 25 m . s^{- 1}$

$3 - 2$ التحقق من ان القفزة تمت بنجاح أم لا

نبحث عن الارتوب $y_{G} (d)$ ثم نتحقق من العلاقة :

$y_{G} (d) > L + 0, 6 m = 10 + 0, 6 = 10, 6 m$

نبحث أولا عن معادلة المسار. نحصل عليها بإقصاء الزمن $t$ المعادلتين الزمنية $(1)$ و $(2)$ :

$(1) \Rightarrow t = \frac{x_{G}}{22, 5}$

نعوض $t$ في المعادلة $(2)$ نحصل على :

$y_{G} (x_{G}) = - 5 {(\frac{x_{G}}{22, 5})}^{2} + 11 . \frac{x_{G}}{22, 5} + 5 (3)$

نعوض الافصول $x_{G} = d = 20 m$ في معادلة المسار $(3)$

$y_{G} (d) = - 5 \times {(\frac{20}{22, 5})}^{2} + 11 \times \frac{20}{22, 5} + 5 \approx 10, 83 m$

نلاحظ ان العلاقة $y_{G} (d) > 10, 6 m$ تتحقق وبالتالي القفزة تمت بنجاح