الامتحان الوطني الموحد 2016 الدورة العادية: الموضوع والتصحيح

1
التمرين 1
الكيمياء

الجزء الأول: التحليل الكهربائي لمحلول نترات الرصاص

ننجز التحليل الكهربائي لمحلول مائي لنترات الرصاص $P b_{(a q)}^{2 +} + 2 N O_{3 (a q)}^{-}$

نضع هذا المحلول في محلل كهربائي ونمرر تيارا كهربائيا مستمرا شدته ثابتة $I = 0, 7 A$ بين الإلكترودين $(A)$ و $(B)$ للمحلل خلال المدة الزمنية $Δ t = 60 m i n$

نلاحظ خلال هذا التحليل الكهربائي توضع فلز الرصاص على الإلكترود $(A)$ وتكون غاز ثنائي الأوكسيجين بجوار الإلكترود $(B)$

معطيات:

المزدوجتان المتدخلتان في التفاعل: $\frac{P b_{(a q)}^{2 +}}{P b_{(s)}}$ و ${\frac{O_{2 (g)}}{H_{2} O}}_{(l)}$

ثابتة فرادي: $1 F = 9, 65 . 10^{4} C . m o l^{- 1}$

الحجم المولي للغاز في ظروف التجربة: $V_{m} = 24 L . m o l^{- 1}$

انقل السؤال و اكتب بجانبه الجواب الصحيح من بين الأجوبة الأربعة المقترحة

$1$ التحليل الكهربائي المدروس هو تحول:

فيزيائي

قسري

تلقائي

حمض-قاعدة

$2$ خلال التحليل الكهربائي المدروس:

الإلكترود $(A)$ هو الأنود وبجواره يتأكسد الرصاص

الإلكترود $(A)$ هو الكاثود وبجواره تختزل أيونات الرصاص

الإلكترود $(B)$ هو الأنود وبجواره يحدث تفاعل اختزال

الإلكترود $(B)$ هو الكاثود وبجواره يختزل الماء

$3$ معادلة التفاعل الحاصل عند الإلكترود $(B)$ هي:

$P b_{(s)} ⇄ P b_{(a q)}^{2 +} + 2 e^{-}$

$2 H_{2} O_{(l)} + 2 e^{-} ⇄ H_{2 (g)} + 2 H O_{(a q)}^{-}$

$6 H_{2} O_{(l)} ⇄ O_{2 (g)} + 4 H_{3} O_{(a q)}^{+} + 4 e^{-}$

$4$ الحجم $v (O_{2})$ لغاز ثنائي الأوكسيجين الناتج خلال المدة $Δ t$ هو:

$v (O_{2}) \approx 0, 16 m L$

$v (O_{2}) \approx 0, 64 m L$

$v (O_{2}) \approx 0, 16 L$

$v (O_{2}) \approx 0, 64 m L$

الجزء الثاني: دراسة تفاعلين لحمض البروبانويك

يستعمل حمض البروبانويك كمادة حافظة للأغذية و يحمل الرمز $E 280$ . نجده في الأجبان والمشروبات والمعلبات. كما يستعمل في تحضير بعض العطور و مستحضرات التجميل و بعض الأدوية.

يهدف هذا الجزء في مرحلة أولى إلى دراسة تفاعل محلول حمض البروبانويك مع محلول هيدروكسيد الصوديوم و في مرحلة ثانية إلى دراسة تفاعله مع الإيثانول

معطيات:

تمت جميع القياسات عند درجة الحرارة $25 ° C$

الجداء الأيوني للماء: $K_{e} = 10^{- 14}$

نرمز لحمض البروبانويك $C_{2} H_{5} C O O H$ بـ $A H$ ولقاعدته المرافقة بـ $A^{-}$

ثابتة الحمضية المزدوجة $\frac{C_{2} H_{5} C O O H_{(a q)}}{C_{2} H_{5} C O O_{(a q)}^{-}}$ هي $K_{A} = 10^{- 4, 9}$

منطقة الانعطاف لبعض الكواشف الملونة:

$1$ تفاعل حمض البروبانويك مع هيدروكسيد الصوديوم

نعاير بقياس $p H$ ، حجما $V_{A} = 5 m L$ من محلول مائي $(S_{A})$ لحمض البروبانويك $A H$ تركيزه $C_{A}$ بواسطة محلول مائي $(S_{B})$ لهيدروكسيد الصوديوم ذي التركيز $C_{B} = 5 . 10^{- 2} m o l . L^{- 1}$

يمثل منحنى الشكل $1$ تغير $p H$ الخليط بدلالة الحجم $V_{B}$ للمحلول $(S_{B})$ المضاف خلال المعايرة

$1 - 1$ عين إحداثيتي نقطة التكافؤ: $V_{B E}$ و $p H_{E}$

$2 - 1$ بحساب ثابتة التوازن $K$ المقرونة بتفاعل المعايرة، بين أن هذا التفاعل كلي

$3 - 1$ احسب التركيز $C_{A}$

$4 - 1$ اختر من بين الكواشف الملونة المقترحة، الكاشف الملون الملائم لمعلمة التكافؤ وعلل الجواب

$5 - 1$ حدد معللا جوابك النوع المهيمن $A H$ أو $A^{-}$ عند إضافة الحجم $V_{B} = 7 m L$

$2$ تفاعل حمض البروبانويك مع الإيثانول

نمزج في حوجلة $n_{0} = 0, 50 m o l$ من حمض البروبانويك و $n_{0} = 0, 50 m o l$ من الإيثانول الخالص، ثم نسخن بالارتداد الخليط التفاعلي لمدة زمنية معينة، فنحصل عند نهاية التفاعل على مركب عضوي $E$ كمية مادته $n_{E} = 0, 33 m o l$

$1 - 2$ اذكر مميزتين للتفاعل الحاصل

$2 - 2$ اكتب الصيغة نصف المنشورة للمركب العضوي $E$ وأعط اسمه

$3 - 2$ أنشئ الجدول الوصفي لتقدم التفاعل

$4 - 2$ احسب المردود $r$ لهذا التفاعل

الكيمياء

الجزء الأول: التحليل الكهربائي لمحلول نترات الرصاص

$1$ التحول الكهربائي المدروس هو تحول: قسري

$2$ خلال التحليل الكهربائي المدروس: الإلكترود $(A)$ هو الكاتود بجواره تختزل أيونات الرصاص $P b^{2 +}$

$3$ معادلة التفاعل الحاصل عند الإلكترود هي: $6 H_{2} O_{(l)} ⇄ O_{2 (g)} + 4 H_{3} O_{(a q)}^{+} + 4 e^{-}$

$4$ الحجم $V (O_{2})$ لغاز ثنائي الأوكسيجين الناتج خلال المدة $Δ t$ هو: $V (O_{2}) = 0, 16 L$

الجزء الثاني: دراسة تفاعلين لحمض البنزويك

$1$ دراسة تفاعل حمض البروبانويك مع هيدروكسيد الصوديوم

$1 - 1$ تعيين إحداثيتي نقطة التكافؤ مبيانيا باستعمال طريقة المماسات

نحصل على $E (V_{B_{E}} = 6 m L, p H_{E} \approx 8, 6)$

$2 - 1$ حساب ثابتة التوازن $K$ المقرونة بمعادلة تفاعل المعايرة

$A H_{(a q)} + H O_{(a q)}^{-} \to A_{(a q)} + H_{2} O_{(l)}$

$K = \frac{{[A^{-}]}_{é q}}{{[A H]}_{é q} . {[H O^{-}]}_{é q}} . \frac{{[H_{3} O^{+}]}_{é q}}{{[H_{3} O^{+}]}_{é q}}$

$\Rightarrow K = \frac{{[A^{-}]}_{é q} . {[H_{3} O^{+}]}_{é q}}{{[A H]}_{é q}} . \frac{1}{{[H_{3} O^{+}]}_{é q} . {[H O^{-}]}_{é q}} \frac{}{}$

$\Rightarrow K = \frac{K_{A}}{K_{e}} = \frac{10^{- 4, 9}}{10^{- 14}} = 1, 26 . 10^{9}$

نلاحظ أن $K ≫ 10^{4}$ ومنه نستنتج ان تفاعل حمض البروبانويك مع أيون الهيدروكسيد كلي

$3 - 1$ حساب التركيز $C_{A}$

حسب علاقة التكافؤ: $C_{A} . V_{A} = C_{B} . V_{B E}$ ومنه:

$C_{A} = \frac{C_{B} . V_{B E}}{V_{A}} = \frac{5 . 10^{- 2} \times 6 . 10^{- 3}}{5 . 10^{- 3}} = 6 . 10^{- 2} m o l . L^{- 1}$

$4 - 1$ الكاشف الملون المناسب لمعلمة نقطة التكافؤ

حسب نتائج الجدول ، الكاشف الملون الملائم لهذه المعايرة هو الذي مجال انعطافه يضم نقطة التكافؤ هو أزرق التيمول.

لدينا : $p H_{E} \in [8 - 9, 6]$

$5 - 1$ تحديد النوع المهيمن عند إضافة الحجم $V_{B} = 7 m L$

مبيانيا عند الحجم $V_{B} = 7 m L$ نجد $p H \approx 11, 7$ ، ونعلم ان $p K_{A} = - \log (10^{- 4, 9}) = 4, 9$

إذن $p H > p K_{A}$

$\Rightarrow p K_{A} + \log (\frac{{[A^{-}]}_{é q}}{{[A H]}_{é q}}) > p K_{A}$

$\Rightarrow \log (\frac{{[A^{-}]}_{é q}}{{[A H]}_{é q}}) > 0$

$\Rightarrow {[A^{-}]}_{é q} > {[A H]}_{é q}$

نستنتج ان النوع المهيمن هو القاعدة $A^{-}$

$2$ تفاعل حمض البنزويك مع الإيثانول

$1 - 2$ مميزات التفاعل الحاصل

التفاعل بطيء و محدود

$2 - 2$ الصيغة نصف منشورة للإستر $E$

اسمه: بروبانوات الإثيل

$3 - 2$ الجدول الوصفي

لتبسيط كتابة معادلة التفاعل نرمز للحمض ب $A$ وللكحول ب $B$

$4 - 2$ حساب المردود

$r = \frac{n_{é x p}}{n_{t h}} = \frac{x_{é q}}{x_{m a x}}$

حسب الجدول الوصفي: الخليط متساوي المولات، التقدم الأقصى: $x_{m a x} = n_{0} = 0, 5 m o l$ والتقدم النهائي يمثل كمية مادة الإستر $x_{é q} = n_{E} = 0, 33 m o l$

$r = \frac{n_{E}}{n_{0}} = \frac{0, 33}{0, 5} = 0, 66$
2
التمرين 2
دراسة تفاعل الاندماج النووي

تكون الهيليوم انطلاقا من الدوتيريوم و التريسيوم (نظيرا الهيدروجين) هو تفاعل اندماج نووي يحدث تلقائيا وباستمرار في قلب النجوم محررا طاقة هائلة، وقد حاول الانسان إحداث هذا التفاعل في المختبر من أجل استغلال الطاقة المحررة والتحكم في استعمالها عند الضرورة، لكن الطريق لا زال طويلا للتغلب على مختلف العوائق التقنية

ننمذج هذا التفاعل النووي بالمعادلة التالية: ${}_{1}^{2}H + {}_{1}^{3}H \to {}_{Z}^{A}H e + {}_{0}^{1}n$

معطيات:

سرعة الضوء في الفراغ $c = 3 . 10^{8} m . s^{- 1}$

ثابتة بلانك $h = 6, 626 . 10^{- 34} J . s$

$1 u = 931, 5 M e V . c^{- 2}$

$1 M e V = 1, 6 . 10^{- 13} J$

$1$ حدد العددين $A$ و $Z$ لنواة الهيليوم

$2$ احسب بالوحدة $M e V$ الطاقة المحررة $E_{l i b}$ خلال هذا التفاعل النووي

$3$ نفترض أن كل الطاقة المحررة قد تحولت إلى إشعاع كهرمغنطيسي. حدد طول الموجة $λ$ لهذا الإشعاع

$4$ تحتوي عينة من التربة على عنصر التريسيوم المشع. عند اللحظة $t = 0$ يكون النشاط الإشعاعي لهذه العينة هو $a_{0} = 2, 0 . 10^{6} B q$ ، ويكون نشاطها الإشعاعي $a_{1} = 1, 6 . 10^{6} B q$ عند اللحظة $t_{1} = 4 a n s$

احسب النشاط الإشعاعي $a_{2}$ للعينة المدروسة عند اللحظة $t_{2} = 12, 4 a n s$

دراسة تفاعل الاندماج النووي

$1$ تحديد العددين $A$ و $Z$ لنواة الهيليوم: ${}_{1}^{2}H + {}_{1}^{3}H \to {}_{Z}^{A}H e + {}_{0}^{1}n$

حسب قانونا صودي: $\{\begin{cases} 2 + 3 = A + 1 \\ 1 + 1 = Z + 0 \end{cases}$

$A = 4; Z = 2$

$2$ حساب $E_{l i b}$ الطاقة المحررة خلال التحول

نحدد اولا طاقة التحول النووي:

$Δ E = [m ({}_{2}^{4}H e) + m ({}_{0}^{1}n) - (m ({}_{1}^{2}H) + m ({}_{1}^{3}H))] c^{2}$

$\Rightarrow Δ E = - 0, 01889 u . c^{2} = - 0, 01889 \times 931, 5$

$\Rightarrow Δ E \approx - 17, 596 M e V$

الطاقة المحررة هي:

$E_{l i b} \approx - 17, 6 M e V$

$3$ طول الموجة $λ$ للإشعاع

لدينا $E = h . ν$ أي $E = h . \frac{c}{λ}$ ومنه $λ = \frac{h . c}{E}$ مع $E = E_{l i b}$

ت.ع: $λ = \frac{6, 626 . 10^{- 34} \times 3 . 10^{8}}{17, 6 \times 1, 6 . 10^{- 13}}$

$λ = 7, 06 . 10^{- 14} m$

$4$ حساب النشاط الإشعاعي $a_{2}$ عند اللحظة $t_{2}$

قانون التناقص الإشعاعي: $a (t) = a_{0} . e^{- λ t}$

عند اللحظة $t_{1}$ نكتب $a_{1} = a (t_{1}) = a_{0} . e^{- λ t_{1}}$ أي $e^{- λ t_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{0}}$

فنحصل على $- λ = \frac{1}{t_{1}} . \ln (\frac{a_{1}}{a_{0}})$

عند اللحظة $t_{2}$ نكتب $a_{2} = a (t_{2}) = a_{0} . e^{- λ t_{2}}$

نعوض $- λ$ ب $\frac{1}{t_{1}} . \ln (\frac{a_{1}}{a_{0}})$

نحصل على $a_{2} = a_{0} . e^{\frac{t_{2}}{t_{1}} . \ln (\frac{a_{1}}{a_{0}})}$

ت.ع: $a_{2} = 2 . 10^{6} . e^{(\frac{12, 4}{4} \ln \frac{1, 6 . 10^{6}}{2, 0 . 10^{6}})}$

$a_{2} = 1, 0 . 10^{6} B q$
3
التمرين 3
الكهرباء

تمكن بعض ثنائيات القطب الكهربائية كالمكثفات و الوشيعات من تخزين الطاقة لكن هذه الأخيرة تتبدد مع مرور الزمن خلال انتقالها في الدارة الكهربائية و يمكن تعويض الطاقة المبددة بالاستعانة بأجهزة ملائمة.

ندرس في مرحلة أولى تصرف ثنائي القطب أثناء شحن المكثف و في مرحلة ثانية ندرس خمود و صيانة التذبذبات في دارة متوالية

لهذا الغرض، ننجز الدارة الكهربائية الممثلة في الشكل $1$ والمكونة من:

مولد للتوتر قوته الكهرمحركة $E$

موصلين أوميين مقاومتاهما $r = 20 Ω$ و $R$

وشيعة $(b)$ معامل تحريضها $L$ ومقاومتها $r_{b}$

مكثف سعته $C$ غير مشحون بدئيا

قاطع التيار $K$ ذي موضعين

$1$ دراسة ثنائي القطب $R C$ أثناء شحن المكثف

نضع قاطع التيار $K$ في الموضع $(1)$ عند لحظة نعتبرها أًصلا للتواريخ $(t = 0)$ ونشغل نظام مسك معلوماتي ملائم يمكن من خط منحنى تطور التوتر $u_{c} (t)$

يمثل المستقيم $(T)$ المماس للمنحنى عند اللحظة $t = 0$

$1 - 1$ أثبت المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر $u_{c} (t)$

$2 - 1$ أوجد تعبير الثابتة $A$ وتعبير ثابتة الزمن $τ$ لكي يكون $u_{c} (t) = A . (1 - e^{- \frac{t}{τ}})$ حلا لهذه المعادلة التفاضلية

$3 - 1$ تكتب شدة التيار الكهربائي على شكل $i (t) = I_{0} . e^{- \frac{t}{τ}}$

أوجد تعبير $I_{0}$ بدلالة $E$ و $r$ و $R$

$4 - 1$ باستغلال منحنى الشكل $2$ :

$1 - 4 - 1$ اوجد قيمة المقاومة $R$ علما أن $I_{0} = 0, 20 A$

$2 - 4 - 1$ حدد قيمة $τ$

$3 - 4 - 1$ تحقق أن سعة المكثف هي $C = 10 μ F$

$2$ دراسة خمود وصيانة التذبذبات في الدارة $R L C$

بعد شحن المكثف كليا، نؤرجح قاطع التيار $k$ إلى الموضع $(2)$ عند لحظة نعتبرها أصلا جديدا للتواريخ

يمثل منحنى الشكل $3$ تطور شحنة المكثف $q (t)$ بدلالة الزمن

$1 - 2$ تعرف على نظام التذبذبات الذي يبرزه منحنى الشكل $3$

$2 - 2$ باعتبار شبه الدور يساوي الدور الخاص للمتذبذب الكهربائي، حدد معامل التحريض $L$ للوشيعة $(b)$

$3 - 2$ احسب $Δ E$ تغير الطاقة الكلية للدارة بين اللحظتين $t_{1} = 0 m s$ و $t_{2} = 18 m s$ ، ثم فسر هذه النتيجة

$4 - 2$ لصيانة التذبذبات في الدارة نركب على التوالي مع المكثف والوشيعة $(b)$ السابقين مولدا $(G)$ يزود الدارة بتوتر يتناسب اطرادا مع شدة التيار الكهربائي $u_{G} (t) = k . i (t)$

$1 - 4 - 2$ أثبت المعادلة التفاضلية التي تحققها الشحنة $q (t)$

$2 - 4 - 2$ نحصل على تذبذبات كهربائية جيبية عندما تأخذ الثابتة $k$ في النظام العالمي للوحدات القيمة $k = 11$

استنتج قيمة المقاومة الكهربائية $r_{b}$ للوشيعة $(b)$

الكهرباء

$1$ دراسة ثنائي القطب أثناء الشحن

$1 - 1$ إثبات المعادلة التفاضلية التي يحققها $u_{c} (t)$

حسب قانون إضافية التوترات: $E = u_{r} + u_{R} + u_{c}$

حسب قانون اوم: $u_{R} = R I و u_{r} = r i$ أي $E = (R + r) . i + u_{c}$

وحيث $i = \frac{d q}{d t} = C \frac{d u_{c}}{d t}$

المعادلة التفاضلية تكتب

$(R + r) C \frac{d u_{c}}{d t} + u_{c} = E$

$2 - 1$ تعبير الثابتة $A$ و $τ$

حل المعادلة التفاضلية يكتب $u_{c} (t) = A (1 - e^{- \frac{t}{τ}}) = A - A . e^{- \frac{t}{τ}}$

ولدينا $\frac{d u_{c}}{d t} = \frac{A}{τ} . e^{\frac{- t}{τ}}$

نعوض في المعادلة التفاضلية:

$(R + r) . C . \frac{A}{τ} . e^{\frac{- t}{τ}} + A - A . e^{\frac{- t}{τ}} = E$

$\Rightarrow A (\frac{(R + r) . C}{τ}) . e^{\frac{- t}{τ}} + A - E = 0$

تتحقق هذه المعادلة كيفما كانت $t$

$\Rightarrow \{\begin{cases} A - E = 0 \\ \frac{(R + r) . C}{τ} - 1 = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} A = E \\ τ = (R + r) . C \end{cases}$

$3 - 1$ تعبير $I_{0}$ بدلالة $E$ و $R$ و $r$

نعلم ان $i = C \frac{d u_{c}}{d t}$

مع $u_{c} (t) = E (1 - e^{- \frac{t}{τ}})$ ومنه: $\frac{d u_{c}}{d t} = \frac{E}{τ} . e^{- \frac{t}{τ}}$

تعبير $i (t)$ يصبح $i (t) = \frac{E . C}{(R + r) C} . e^{- \frac{t}{τ}} = \frac{E}{(R + r)} . e^{- \frac{t}{τ}}$ وهو يكتب على الشكل: $i (t) = I_{0} . e^{- \frac{t}{τ}}$

$I_{0} = \frac{E}{(R + r)}$

$4 - 1$ استغلال منحنى الشكل 2

$1 - 4 - 1$ تحديد قيمة $R$

قيمة $u_{c}$ في النظام الدائم تأخذ قيمة ثابتة $U_{c} = E$

مبيانيا $u_{c_{\infty}} = 12 V$ إذن $U_{c_{\infty}} = E = 12 V$
حسب تعبير $I_{0}$ نحصل على: $I_{0} = \frac{E}{R + r}$

$R = \frac{E}{I_{0}} - r = 40 Ω$

$2 - 4 - 1$ قيمة $τ$ مبيانيا

يقطع المماس $T$ للمنحنى $u_{c} (t)$ عند اللحظة $t = 0$ المقارب $U_{c} = E$ في اللحظة $t = τ$

نجد:

$τ = 0, 6 m s$

$3 - 4 - 1$ التحقق من قيمة $C$

نعلم أن $τ = (R + r) . C$ أي: $C = \frac{(R + r)}{τ}$

$C = 10 μ F$

$2$ دراسة خمود وصيانة التذبذبات في الدارة $R L C$

$1 - 2$ التعرف على نظام التذبذبات

يبرز منحنى الشكل 3 نظاما شبه دوريا لأن وسع التذبذبات يتناقص تدريجيا مع مرور الزمن

$2 - 2$ تحديد معامل التحريض $L$

تعبير الدور الخاص $T_{0} = 2 π \sqrt{L . C}$

إذن: $L = \frac{{T_{0}}^{2}}{4 π^{2} C}$

مبيانيا قيمة شبه الدور هي: $T = 6 m s$

شبه الدور $T$ يساوي الدور الخاص $T_{0}$

عدديا نحصل على

$L = \frac{{(6 . 10^{- 3})}^{2}}{4 π^{2} . 10 . 10^{- 6}} \approx 9, 1 . 10^{- 2} H$

$3 - 2$ حساب $Δ ξ$ تغير الطاقة الكلية

عند الحظة $t_{1} = 0$ نجد مبيانيا $q_{1} = 120 μ C$ ويكون $i = 0$

إذن الطاقة الكلية هي الطاقة المخزونة في المكثف أي: $ξ (t_{1}) = E_{e} (t_{1}) = \frac{{q_{1}}^{2}}{2 C}$

عند الحظة $t_{2} = 0$ نجد مبيانيا $q_{2} = 40 μ C$ ويكون $i = 0$

إذن الطاقة الكلية هي الطاقة المخزونة في المكثف أي: $ξ (t_{2}) = E_{e} (t_{2}) = \frac{{q_{2}}^{2}}{2 C}$

$Δ ξ = ξ (t_{2}) - ξ (t_{1}) = \frac{1}{2 C} ({q_{2}}^{2} - {q_{1}}^{2})$

$Δ ξ = \frac{1}{2 . 10^{- 2}} ({(40 . 10^{- 6})}^{2} - {(120 . 10^{- 6})}^{2})$

$Δ ξ = - 0, 64 m J < 0$

تناقص الطاقة الكلية للدارة نتيجة وجود مقاومة الوشيعة ،الشئ الذي يؤدي إلى تتبدد الطاقة بمفعول جول خلال التبادل الطاقي الحاصل بين المكثف والوشيعة.

$4 - 2$ صيانة التذبذبات

$1 - 4 - 2$ إثبات المعادلة التفاضلية التي تحققها $q (t)$

قانون إضافية التوترات: $u_{G} = u_{b} + u_{c} (1)$

لدينا $u_{b} = L \frac{d i}{d t} + r_{b} . i$ و $i = \frac{d q}{d t} \Rightarrow \frac{d i}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$

المعادلة $(1)$ تصبح

$k . i = L \frac{d i}{d t} + r_{b} . i + \frac{q}{C}$

$\Rightarrow \frac{d i}{d t} + \frac{r_{b} - k}{L} . i + \frac{q}{L . C} = 0$

إذن المعادلة التفاضلية تكتب

$\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{(r_{b} - k)}{L} . \frac{d q}{d t} + \frac{1}{L . C} . q = 0$

$2 - 4 - 2$ قيمة المقاومة $r_{b}$

للحصول على تذبذبات كهربائية جيبية يجب أن تكتب المعادلة التفاضلية على الشكل: $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{1}{L . C} . q = 0$

أي أن: $\frac{(r_{b} - k)}{L} = 0$

$r_{b} = k = 11 Ω$
4
التمرين 4
الجزء الأول: دراسة حركة دقيقة مشحونة في مجال مغنطيسي منتظم

(الجزءأن الأول والثاني مستقلان)

تدخل دقيقتان مشحونتان $L i^{+}$ و $X^{2 +}$ من نقطة $O$ ، بنفس السرعة البدئية متجهتها $\vec{V}$ ، في حيز من الفضاء به مجال مغنطيسي منتظم متجهته $\vec{B}$ عمودية على المتجهة $\vec{V}$

تمثل $q_{x}$ و $m_{x}$ على التوالي الشحنة الكهربائية والكتلة للدقيقة $X^{2 +}$

نعتبر أن $L i^{+}$ و $X^{2 +}$ تخضعان فقط لقوة لورنتز $(L o r e n t z)$

المعطيات:

السرعة البدئية: $V = 10^{5} m . s^{- 1}$

شدة المجال المغنطيسي: $B = 0, 5 T$

قيمة الشحنة الابتدائية: $e = 1, 6 . 10^{- 19} C$

كتلة الأيون $L i^{+}$ : $m_{L i} = 6, 015 u$

$1 u = 1, 66 . 10^{- 27} K g$

يمثل الشكل $1$ مساري الدقيقتين في المجال المغنطيسي المنتظم $\vec{B}$

نذكر أن تعبير قوة لورنتز هو: $\vec{F} = q \vec{V} \land \vec{B}$

$1$ حدد الاتجاه و المنحى و الشدة لمتجهة قوة لورنتز المطبقة على الدقيقة $L i^{+}$ في النقطة $O$

$2$ حدد منحى المتجهة $\vec{B}$ مستعملا الرمز $⊙$ إذا كان نحو الأمام أو الرمز $\otimes$ إذا كان نحو الخلف

$3$ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن في مرجع غاليلي، بين أن حركة الأيون $L i^{+}$ حركة منتظمة ومسارها دائري شعاعه يكتب على الشكل $R_{L i} = \frac{m_{L i} . V}{e . B}$

$4$ باستغلال معطيات الشكل $1$ ، حدد النسبة $\frac{R_{X}}{R_{L i}}$ ، حيث $R_{X}$ شعاع مسار الدقيقة $X^{2 +}$

$5$ تعرف، معللا جوابك، على الدقيقة $X^{2 +}$ علما أنها توجد ضمن الأيونات الثلاثة المقترحة في الجدول التالي:

الجزء الثاني : دراسة طاقية لنواس بسيط

اعتقد الفلاسفة الإغريق أن كل جسم ثقيل معلق بخيط ينحو نحو موضعه الطبيعي الذي هو مركز الأرض أي إلى الاسفل و لقد طرح النواس مشكلة حقيقية آنذاك : لماذا لا ينحو الجسم الثقيل المعلق بطرف خيط نحو موضعه الطبيعي مباشرة بعد تحريره من ارتفاع معين بل يواصل حركته نحو الأعلى

لقد تم حل هذه المشكلة في العصر الوسيط من طرف غاليلي ونيوتن

يعتبر النواس البسيط حالة خاصة للنواس الوازن

ندرس في هذا الجزء نواسا بسيطا من منظور طاقي

يتكون نواس بسيط من كرية كتلتها $m$ وأبعادها مهملة، معلقة بطرف خيط غير قابل للامتداد كتلته مهملة وطوله $L$ . الطرف الاخر للخيط مشدود إلى حامل ثابت في النقطة $A$

نزيح النواس عن موضع توازنه المستقر بزاوية $θ_{m}$ ثم نحرره بدون سرعة بدئية عند اللحظة $t = 0$ ، فينجز تذبذبات حرة في المستوى $(O, x, y)$ حول محور ثابت $Δ$ أفقي يمر من النقطة $A$

ندرس حركة النواس في مرجع أرضي نعتبره غاليليا ونمعلم موضع النواس في كل لحظة $t$ بأفصوله الزاوي $θ$ (الشكل $2$ )

نختار المستوى الأفقي المار من النقطة $O$ ، موضع التوازن المستقر للنواس، مرجعا لطاقة الوضع الثقالية

نهمل جميع الاحتكاكات وندرس حركة النواس في حالة التذبذبات الصغيرة

المعطيات:

كتلة الكرية: $m = 350 g$

طول الخيط: $L = 58 c m$

$g = 9, 81 m . s^{- 2}$

عزم قصور النواس: $J_{Δ} = m . L^{2}$

بالنسبة للزوايا الصغيرة: $\sin θ \approx θ$ و $\cos θ \approx 1 - \frac{θ^{2}}{2}$

$1$ اكتب عند لحظة $t$ ، تعبير الطاقة الميكانيكية $E_{m}$ للنواس، في حالة التذبذبات الصغيرة بدلالة $m$ و $g$ و $L$ و $θ$ والسرعة الزاوية $\dot{θ}$

$2$ يمثل الشكل $3$ مخطط الطاقة للنواس المدروس

حدد قيمة كل من:

$1 - 2$ الأفصول الزاوي الأقصى $θ_{m a x}$ للنواس

$2 - 2$ الطاقة الميكيانيكية $E_{m}$ للنواس

$3 - 2$ السرعة الخطية القصوى $v_{m a x}$ للنواس

$3$ احسب الأفصولين الزاويين $θ_{1}$ و $θ_{2}$ اللذين تكون فيهما طاقة الوضع تساوي الطاقة الحركية

الجزء الأول: دراسة حركة دقيقة مشحونة في مجال مغنطيسي منتظم

$1$ تحديد مميزات قوة لورنتز $\vec{F}$

الإتجاه: الخط الأفقي المار من $O$ حسب الشكل

المنحى: من اليسار نحو اليمين

الشدة: $F = |q . V . B \sin α|$

بما ان المتجهة $\vec{V}$ عمودية على المتجهة $\vec{B}$ فإن $\sin α = \sin (\vec{V}, \vec{B}) = 1$ و $q = e$

إذن: $F = e . V . B$

$F = 1, 6 . 10^{- 19} . 10^{5} . 0, 5 = 8 . 10^{- 15} N$

$2$ تحديد منحى المتجهة $\vec{B}$

باستعمال قاعدة الأصابع الثلاث لليد اليمنى (أنظر الشكل) نستنتج ان منحى $\vec{B}$ هو $⊙$ (أي نحو الامام)

$3$ إثبات ان حركة الايون $L i^{+}$ دائرية منتظمة

المجموعة المدروسة: الدقيقة ذات الكتلة $m$ والشحنة $q$

القانون الثاني لنيوتن: $\vec{F} = m . \vec{a}$

$\Rightarrow q \vec{V} \land \vec{B} = m . \vec{a}$

$\Rightarrow \vec{a} = \frac{e}{m} . \vec{V} \land \vec{B} : (1)$

متجهة التسارع عمودية على المتجهتين $\vec{V}$ و $\vec{B}$

في معلم فريني $M (\vec{u}, \vec{n}, \vec{k})$ إحداثيات متجهة التسارع هي $a (0, a_{n}, 0)$

انطلاقا من العلاقة $(1)$ نستنتج ان متجهة التسارع $\vec{a}$ عمودية في كل لحظة على متجهة السرعة $\vec{V}$

ومنه فإن: $\vec{a} = a_{n} . \vec{n}$ و $a_{T} = \frac{d V}{d t} = 0$

ومنه $V = c t e$

نستنتج ان منظم متجهة السرعة ينحفظ ومنه فإن الحركة منتظمة

باستعمال أساس فريني $(M, \vec{u}, \vec{n})$ لدينا $\vec{a} = a_{T} \vec{u} + a_{N} \vec{n} = a_{N} \vec{n} = \frac{V^{2}}{ρ} \vec{n}$ حيث $ρ$ انحناء المسار

$\Rightarrow a = \frac{e}{m} . V . B = \frac{V^{2}}{ρ}$

$\Rightarrow ρ = \frac{m . V}{e . B} = c t e$

نستنتج ان المسار دائري

يعبر عن شعاع مسار الأيون $L i^{+}$ ذي الكتلة $m_{L i}$ ب

$R_{L i} = \frac{m_{L i} . V}{e . B}$

$4$ تحديد النسبة $\frac{R_{L i}}{R_{X}}$ باستعمال الشكل $(1)$

شعاع مسار الأيون $L i^{+}$ هو $R_{L i} = \frac{3}{2} = 1, 5$ وشعاع مسار الأيون $X^{2 +}$ هو $R_{X} = 3$

$\frac{R_{L i}}{R_{X}} = 0, 5$

$5$ التعرف على الدقيقة $X^{2 +}$

يعبر عن شعاع مسار الأيون $X^{2 +}$ ذي الكتلة $m_{X}$ والشحنة $q = 2 e$ ب $R_{X} = \frac{m_{X} . V}{2 e . B}$

$\frac{R_{L i}}{R_{X}} = \frac{\frac{m_{L i} . V}{e . B}}{\frac{m_{X} . V}{2 e . B}} = 2 \frac{m_{L i}}{m_{X}}$

حسب السؤال $4$ نكتب: $\frac{R_{L i}}{R_{X}} = \frac{2 m_{L i}}{m_{X}} = 0, 5$

$m_{X} = 4 m_{L i} = 24, 06 u$

بما ان الدقيقة $X^{2 +}$ توجد ضمن الايونات الموجودة في الجدول وكتلة الايون $(m_{M g} = 23, 985 u) : M g^{2 +}$ تقارب $m_{X}$

ومنه فالدقيقة $X^{2 +}$ تمثل أيون المغنيزيوم $M g^{2 +}$

$X^{2 +} = M g^{2 +}$

الجزء الثاني: دراسة طاقية لنواس بسيط

$1$ تعبير الطاقة الميكانيكية للنواس البسيط في حالة التذبذبات الصغيرة

$E_{m} = E_{C} + E_{p p} = \frac{1}{2} J_{Δ} θ'^{2} + m g z + C$

المستوى الافقي المار من أصل المعلم $O$ مرجع لطاقة الوضع الثقالية، إذن $C = 0$

$z = L - L \cos θ = L (1 - \cos θ)$

في حالة التذبذبات الصغيرة: $\cos θ = 1 - \frac{θ^{2}}{2}$

تعبير $z$ يصبح: $z = L [1 - (1 - \frac{θ^{2}}{2})] = \frac{1}{2} L . θ^{2}$

تعبير الطاقة الميكانيكية: $E_{m} = \frac{1}{2} J_{Δ} θ'^{2} + \frac{1}{2} m . g . L θ^{2}$

$E_{m} = \frac{1}{2} m L (L θ'^{2} + g . θ^{2})$

$2$

$1 - 2$ الأفصول الزاوي الأقصى $θ_{m a x}$

حسب مبيان الشكل $3$ نجد

$θ_{m a x} = 0, 2 r a d$

$2 - 2$ الطاقة الميكانيكية $E_{m}$ للنواس

$E_{m} = E_{p p_{m a x}} = 4 . 10^{- 2} J$

$3 - 2$ السرعة الخطية القصوى للنواس

$E_{m} = E_{c_{m a x}} = \frac{1}{2} m L^{2} {\dot{θ}}_{m a x}^{2} \Rightarrow {\dot{θ}}_{m a x} = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{2 E_{m}}{m}}$

مع $V_{m a x} = L . {\dot{θ}}_{m a x}$ نستنتج $V_{m a x} = \sqrt{\frac{2 E_{m}}{m}}$

$V_{m a x} = 0, 48 m . s^{- 1}$

$3$ حساب $θ_{1}$ و $θ_{2}$ حيث $E_{C} = E_{p p}$

$E_{m} = 2 E_{p p} = m . g . L θ^{2} \Rightarrow \{\begin{cases} θ_{1} = \sqrt{\frac{E_{m}}{m . g . L}} \\ θ_{2} = - \sqrt{\frac{E_{m}}{m . g . L}} \end{cases}$

$θ_{1} = 0, 14 r a d; θ_{2} = - 0, 14 r a d$

ملحوظة: يمكن تحديد الأفصولين الزاويين $θ_{1}$ و $θ_{2}$ مبيانيا عند $E_{p p} = \frac{E_{m}}{2} = 20 m J$ (أنظر الشكل $3$ )