الهندسة الفضائية (حساب الحجوم والمساحات والتكبير والتصغير) - تمارين محلولة

$ABCDEFGH$  متوازي مستطيلات قائم

لدينا: $ABCD , HD=3 cm$  مربع طول ضلعه $4 cm$

لنبين أن $EB=5 cm$

بما أن $ABCDEFGH$ متوازي مستطيلات قائم فإن المثلث $EAB$ قائم الزاوية في $A$

إذن حسب خاصية فيتاغورس المباشرة: $E{B}^2=E{A}^2+A{B}^2$

ونعلم أن $AEHD$ مستطيل

إذن $HD=EA$ وأن $ABCD$ مربع إذن: $AB=4$

$$\begin{gathered} E{B}^2=3^2+4^2 \\ E{B}^2=9+16 \\ E{B}^2=25 \end{gathered}$$

نستنتج أن: $EB=\sqrt{25}$  إذن: $\boxed{EB=5 cm}$

لنبين أن حجم $EABCD$ هو $16 c{m}^3$

$EABCD$ هو هرم قاعدته المربع $ABCD$

$V_{EABCD}=\frac{1}{3}\times AE\times S_{ABCD}$

$=\frac{1}{\cancel{3}}\times \cancel{3}\times 4^2=4^2$

$\boxed{V_{EABCD}=16 c{m}^3}$

حساب $V\text{'}$ حجم الهرم المحصل عليه بعد تكبير للهرم $EABCD$ بنسبة $2$

إذن نعلم أن: $V\text{'}=2^3\times V$

إذن: $V\text{'}=8\times 16$

أي: $\boxed{V\text{'}=128 c{m}^3}$

لدينا $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $B$

إذن: $A{C}^2=B{A}^2+B{C}^2$ (حسب خاصية فيتاغورس المباشرة)

$B{C}^2=A{C}^2-B{A}^2$

$B{C}^2={10}^2-8^2$

$B{C}^2=100-64$

$B{C}^2=36$

$\boxed{BC=6 cm}$

$SA$ ارتفاع الهرم $SABC$ و $ABC$ قاعدته

إذن $V_{SABC}=\frac{1}{3}\times SA\times \frac{BA\times BC}{2}$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\times 12\times \frac{8\times 6}{2} \\ =12\times 8 \\ \boxed{V_{SABC}=96 c{m}^3} \end{gathered}$$

نسبة التصغير هي $\frac{3}{4}$:

إذن $V\text{'}$ حجم الهرم بعد التصغير هو:

$$\begin{gathered} V\text{'}={\left(\frac{3}{4}\right)}^3{V}_{SABC} \\ =\frac{27}{64}\times 96 \\ =\frac{27\times 16\times 6}{16\times 4} \\ =\frac{162}{4} \\ \boxed{V\text{'}=40,5 c{m}^3} \end{gathered}$$

$ABCDEFGH$ مكعب

$AB=8$

$I$ منتصف $\left[AB\right]$

نبين أن $IC=4\sqrt{5}$

المثلث $IBC$ قائم الزاوية في $B$

إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة

فإن: $I{C}^2=I{B}^2+B{C}^2$

بما أن $I$ منتصف $\left[AB\right]$

فإن: $IB=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}$

أي $IB=4$ و  $BC=AB=8$

إذن $B{C}^2=64$ وبالتالي $I{B}^2=16$

وبالتالي فإن: $I{C}^2=16+64=80$

إذن: $IC=\sqrt{80}$

أي $\boxed{IC=4\sqrt{5}cm}$

نبين أن $IG=12$

المثلث $ICG$ قائم الزاوية في $C$ حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة

فإن:

$$\begin{gathered} I{G}^2=I{C}^2+C{G}^2 \\ I{G}^2=80+8^2 \\ I{G}^2=144 \end{gathered}$$

إذن: $\boxed{IG=\sqrt{144}=12 cm}$

حساب حجم الهرم $SABFE$

حجم الهرم هو: $V=\frac{1}{3}.S.h$

$S$ مساحة المربع $ABFE$: $S=8\times 8=64$

$h$ ارتفاع الهرم $SABFE$: $h=BC=8$

ومنه فإن: $V=\frac{1}{3}\times 64\times 8$

$\boxed{V=\frac{512}{3}\simeq 17,66...c{m}^3}$