نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين - تمارين محلولة

لدينا النظمة التالية:

$\left\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x-y=1\end{array}\right.$

بالنسبة للزوج $\left(0,0\right)$ لدينا:

$\left\{\begin{array}{l}0+0=5\\ 0-0=1\end{array}\right.$ أي $\left\{\begin{array}{l}0=5\\ 0=1\end{array}\right.$ وهذا لا يمكن

إذن الزوج $\left(0,0\right)$ ليس حلا لهذه النظمة

بالنسبة للزوج $\left(1,0\right)$ لدينا:

$\left\{\begin{array}{l}2+0=5\\ 1-0=1\end{array}\right.$ أي $\left\{\begin{array}{l}2=5\\ 1=1\end{array}\right.$ وهذا لا يمكن

إذن الزوج $\left(1,0\right)$ ليس حلا لهذه النظمة

بالنسبة للزوج $\left(-1,-1\right)$ لدينا:

$\left\{\begin{array}{l}-2-1=5\\ -1+1=1\end{array}\right.$ أي $\left\{\begin{array}{l}-3=5\\ 0=1\end{array}\right.$ وهذا لا يمكن

إذن الزوج $\left(-1,-1\right)$ ليس حلا لهذه النظمة

بالنسبة للزوج $\left(2,1\right)$ لدينا:

$\left\{\begin{array}{l}4+1=5\\ 2-1=1\end{array}\right.$ أي $\left\{\begin{array}{l}5=5\\ 1=1\end{array}\right.$ وهذا صحيح

إذن الزوج $\left(2,1\right)$ حل لهذه النظمة

$a)\left\{\begin{array}{ll}x+2y=9& \left(1\right)\\ 3x-2y=3& \left(2\right)\end{array}\right.$

بجمع المعادلتين طرفا طرف نحصل على:

$x+2y+3x-2y=9+3$

$4x=12$

$x=\frac{12}{4}$

$\boxed{x=3}$

نعوض $x$ بالقيمة $3$ في إحدى المعادلتين الاولى مثلا:

$3+2y=9$

$2y=9-3$

$2y=6$

$\boxed{y=3}$

وبالتالي الزوج $\left(3,3\right)$ حل للنظمة

$b)\left\{\begin{array}{ll}-3x+7y=2& \left(1\right)\\ x-2y=-3& \left(2\right)\end{array}\right.$

نضرب طرفي المعادلة $\left(2\right)$ في العدد $3$ (لحذف المجهول)

فنحصل على:

$\left\{\begin{array}{l}-3x+7y=2\\ 3x-6y=-9\end{array}\right.$

وبجمع المعادلتين المحصل عليهما طرفا بطرف نحصل على: $-3x+7y+3x-6y=2-9$ أي: $\boxed{y=-7}$

نعوض $y$ بالقيمة $-7$ في المعادلة $\left(2\right)$ فنحصل على: $\boxed{x-14=-3}$

  يعني أن: $x=14-3$  أي أن $\boxed{x=11}$

وبالتالي الزوج $\boxed{\left(11;-7\right)}$ هو حل هذه النظمة

اختيار المجهولين:

ليكن $x$ هو عدد كتب الصنف الأول وليكن $y$ هو عدد كتب الصنف الثاني

صياغة نظمة:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=23\\ 20x+17,5y=435\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=23-y\\ 20\left(23-y\right)+17,5y=435\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=23-y\\ 460-20y+17,5y=435\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=23-y\\ -2,5y=435-460\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=23-y\\ -2,5y=-25\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=23-y\\ y=\frac{-25}{-2,5}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=23-y\\ y=10\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=23-10\\ y=10\end{array}\right.$

  $\boxed{\left\{\begin{array}{l}x=13\\ y=10\end{array}\right.}$

وبالتالي عدد كتب الصنف الأول هو $\boxed{13}$ وعدد كتب الصنف الثاني هو: $\boxed{10}$

اختيار المجهولين:

لتكن $x$ هي قيمة المبلغ الأول بالدرهم، ولتكن $y$ هي قيمة المبلغ الثاني بالدرهم

صياغة نظمة:

لدينا حسب المعطيات النظمة التالية:

$\left\{\begin{array}{l}y=40000-x\\ 0,04x+0,05\left(40000-x\right)=1760\end{array}\right.$

حل النظمة المحصل عليها:

النظمة:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=40000\\ 0,04x+0,05\left(40000-x\right)=1760\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=40000-x\\ 0,04x+0,05\left(40000-x\right)=1760\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=40000-x\\ -0,01x=1760-2000\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=40000-x\\ -0,01x=-240\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=40000-x\\ x=24000\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=40000-24000\\ x=24000\end{array}\right.$

$\boxed{\left\{\begin{array}{l}y=16000\\ x=24000\end{array}\right.}$

وبالتالي: قيمة المبلغ الأول هي $\boxed{24000}$ درهم

وقيمة المبلغ الثاني هي $\boxed{16000}$ درهم