مبرهنة فيتاغورس - تمارين محلولة

حساب المسافة $BC$

نعلم أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$

إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة

لدينا $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

وبما أن $AB=4\sqrt{2}$ و $AC=3\sqrt{2}$

فإن: $B{C}^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2+\left(3\sqrt{2}\right)$

يعني أن: $B{C}^2=32+18$

يعني أن $B{C}^2=50$

يعني أن: $\boxed{BC=\sqrt{50}=5\sqrt{2}}$

حساب المسافة $MN$

حسب المعطيات نعلم أن: $NP=50$ و $PM=48$ وأن المثلث $MNP$ قائم الزاوية في $M$

إذن بتطبيق مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2$

يعني أن: $M{N}^2=N{P}^2-M{P}^2$

يعني أن: $M{N}^2={50}^2-{48}^2$

يعني أن: $M{N}^2=2500-2304$

يعني أن $M{N}^2=196$

يعني أن: $\boxed{MN=\sqrt{196}=14}$

احسب محيط المربع $ABCD$

بما أن الرباعي $ABCD$ مربع

فإن: $AB=BC$  و $\widehat{BAC}=90°$

يعني أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية ومتساوي الساقين في $B$

إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة

لدينا: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

يعني أن: $8^2=A{B}^2+A{B}^2$

 يعني أن: $64=2 A{B}^2$  يعني أن: $\boxed{A{B}^2=32}$

يعني: $\boxed{AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}}$

وبالتالي محيط المربع $ABCD$ هو: $P=4.AB$

يعني أن $P=4\times 4\sqrt{2}$ يعني أن: $\boxed{P=16\sqrt{2} cm}$

أحدد قيمة $x$

بما أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$

فإنه حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة

لدينا: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

ونعلم أن: $AB=2+x$ و $AC=3$ و $BC=3+x$

إذن لدينا ${\left(2+x\right)}^2+3^2={\left(3+x\right)}^2$

يعني أن: $4+4x+x^2+9=9+6x+x^2$

يعني أن: $4+4x=6x$

يعني أن: $4x-6x=-4$

يعني أن: $-2x=-4$

يعني أن $x=\frac{-4}{-2}$ أي: $\boxed{x=2}$