القوى - تمارين محلولة

أحدد قيمة العدد الصحيح الطبيعي $n$ بحيث:

$\frac{{\left(25\right)}^{n-3}x{5}^{2n}}{{\left(125\right)}^{n+2}}=625$

$\frac{{\left(5^2\right)}^{n-3}.5^{2n}}{{\left(5^3\right)}^{n+2}}=5^4$

$\frac{{\left(5\right)}^{2n-6}.5^{2n}}{{\left(5\right)}^{3n+6}}=5^4$

$\frac{{\left(5\right)}^{4n-6}}{5^{3n+6}}=5^4$

$5^{4n-6-3n-6}=5^4$

$5^{n-12}=5^4$

$n-12=4$

$\boxed{n=16}$

أحدد قيمة العدد الصحيح النسبي $x$ بحيث:

$4\left(5^x+5^{x+1}+5^{x+2}\right)={20}^x\times 31$

$4.\cancel{5^x}\left(1+5+5^2\right)=4^x.\cancel{5^x}.31$

$4\left(1+5+25\right)={\left(2^2\right)}^x.31$

$2^2\left(\cancel{31}\right)=2^{2x}.\cancel{31}$

$2^2=2^{2x}$$2^2=2^{2x}$

$2x=2$

$x=\frac{2}{2}$

$\boxed{x=1}$

احدد قيمة العدد الصحيح $n$ بحيث:

$\frac{9^{n-2}x{3}^{2n+2}}{{27}^{n+3}}=81$

$\frac{{\left(3^2\right)}^{n-2}.3^{2n+2}}{{\left(3^3\right)}^{n+3}}$

$\frac{3^{2n-4}.3^{2n+2}}{3^{3n+9}}$

$3^{2n-4}.3^{2n+2}=3^4.3^{n+9}$

$3^{4n-2}=3^{n+13}$

$4n-2=n+13$

$4n-n=13+2$

$3n=15$

$n=\frac{15}{3}$

$\boxed{n=5}$

أتحقق أن $\left(x-2\right)\left(x-8\right)=x^2-10x+16$

لدينا $\left(x-2\right)\left(x-8\right)=x^2-8x-2x+16$

أي أن $\left(x-2\right)\left(x-8\right)=x^2-10x+16$

استنتاج حلول المعادلة  $4^x-10\left(2^x\right)+16=0$

لدينا ${\left(2^2\right)}^x-10\left(2^x\right)+16=0$

تعني أن ${\left(2^x\right)}^2-10\left(2^x\right)+16=0$

إذن بوضعنا $2^x=t$ تصبح المعادلة كالتالي: $t^2-10t+16=0$

وحسب جواب السؤال السابق (أ) نعلم أن $t^2-10t+16=\left(t-2\right)\left(t-8\right)$

إذن لدينا  $\left(t-2\right)\left(t-8\right)=0$ تعني أن  $t-8=0$

أو $t-2=0$ تعني أن $t=8$ او $t=2$ ومنه نستنتج أن $2^x=8$

أو $2^x=2$ تعني $2^x=2^3$ أو $2^x=2^1$

إذن $x=3$ أو $x=1$

أبين أن $A$ عدد صحيح طبيعي

$A=\frac{2^{x+2}.3^{2x}.\cancel{7^{2y-2}}}{\cancel{2^x.7^{2y-2}}.3^{2x-1}.2^2}$

$A=\frac{\cancel{2^x}.\cancel{2^2}.\cancel{3^{2x}}}{\cancel{2^x}.\cancel{2^2}.\cancel{3^{2x}}.3^{-1}}$

$A=\frac{1}{3^{-1}}$

$\boxed{A=3}$

ومنه $A$ عدد صحيح طبيعي