التوازي ومنتصفات أضلاع مثلث - تمارين محلولة

الشكل

ب- حساب $A\text{'}B\text{'}$ و $A\text{'}C\text{'}$ و $B\text{'}C\text{'}$: في المثلث $ABC$

نعلم حسب المعطيات على أن النقط $A\text{'}$ و $B\text{'}$ و $C\text{'}$ هي على التوالي منتصفات $\left[BC\right]$ و $\left[AC\right]$ و $\left[AB\right]$

إذن: $B\text{'}C\text{'}=\frac{BC}{2}$ , $A\text{'}C\text{'}=\frac{AC}{2}$ , $A\text{'}B\text{'}=\frac{AB}{2}$

وهذا تطبيقا للخاصية التي تقول:

طول القطعة التي تربط منتصفي ضلعي مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث

و بما أن: $AB=6 cm$  و $AC=5 cm$ و  $BC=8 cm$

$A\text{'}B\text{'}=\frac{6}{2} cm$ أي $\boxed{A\text{'}B\text{'}=3 cm}$

$A\text{'}C\text{'}=\frac{5}{2} cm$ أي $\boxed{A\text{'}C\text{'}=2,5 cm}$

$B\text{'}C\text{'}=\frac{8}{2} cm$ أي $\boxed{B\text{'}C\text{'}=4 cm}$

الشكل

ب- نبين أن المثلثين $AMC$ و $AMB$ متساويا الساقين:

بما أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية ومتساوي الساقين في $A$ والنقطة $M$ منتصف الوتر $\left[BC\right]$

فإن $MA=MB=MC$ و $M\hat{B}A=M\hat{C}A=45$

إذن المثلث $AMC$ متساوي الساقين في $M$ وكذلك المثلث $AMB$ متساوي الساقين في $M$

ومنه فإن $\boxed{M\hat{B}A=M\hat{A}B=M\hat{C}A=M\hat{A}C=M\hat{A}C=45°}$

الشكل

نبرهن أن $\left(OA\right)// NP)$:

في المثلث $EPN$ نعلم أن:

$\left\{\begin{array}{l}\left[EN\right] \mathrm{منتصف} A\\ \left[EP\right] \mathrm{منتصف} O\end{array}\right.$  إذن $\boxed{\left(OA\right)//\left(PN\right)}$

نبرهن أن $\left(OA\right)$ يقطع $\left[MP\right]$ في المنتصف في المثلث $MPN$ نعلم أن النقطة $O$ منتصف $\left[MN\right]$

وأن المستقيم $\left(OA\right)$ يوازي $\left(PN\right)$ إذن المستقيم $\left(OA\right)$ يقطع الضلع $\left[MP\right]$ في منتصف النقطة $B$

حساب المسافة $OA$

في المعطيات نعلم أنه في المثلث $MEN$ لدينا:

النقطة $O$ منتصف $\left[MN\right]$ والنقطة $A$ منتصف $\left[EN\right]$

إذن $OA=\frac{ME}{2}$ وبما أن $ME=6 cm$

فإن $OA=\frac{6}{2}$ أي $\boxed{OA=3 cm}$

الشكل

نبين أن: $O\in \left(∆\right)$

في المثلث $ABD$ نعلم أن النقطة $I$ منتصف $\left[AB\right]$ وأن المستقيم $\left(∆\right)$ يمر من $I$ ويوازي $\left(AD\right)$

إذن المستقيم $\left(∆\right)$ يمر من منتصف الضلع $\left[BD\right]$ وبما أن النقطة $O$ هي مركز متوازي الأضلاع $ABCD$

فإن النقطة $O$ تمثل منتصف القطرين $\left[AC\right]$ و $\left[BD\right]$ ومنه فإن المستقيم $\left(∆\right)$ يمر من النقطة $O$ منتصف $\left[BD\right]$

نبرهن أن $\left(∆\right)$ يقطع $\left[DC\right]$ في منتصفه:

في المثلث $ADC$ نعلم أن المستقيم $\left(∆\right)$ يمر من النقطة $I$ منتصف الضلع $\left[AC\right]$ وأن $\left(∆\right)$ يوازي $\left(AD\right)$

إذن المستقيم $\left(∆\right)$ يمر من منتصف الضلع $\left[DC\right]$

حساب $AD$:

في المثلث $ABD$ نعلم أن النقطة $O$ منتصف الضلع $\left[BD\right]$ وأن النقطة $I$ منتصف الضلع $\left[AB\right]$

إذن $OI=\frac{AD}{2}$

أي $AD=2.OI$ وبما أن $OI=5 cm$ حسب المعطيات

فإن $AD=2\times 5 cm$

أي $\boxed{AD=10 cm}$