النشر والتعميل والمتطابقات الهامة - تمارين محلولة 1

حساب $A=12{\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)}^2$

$$\begin{gathered} A=12{\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)}^2 \\ A=12{\left(\frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{3}{12}\right)}^2 \\ A=12{\left(\frac{6}{12}\right)}^2 \\ A=\frac{36}{12} \\ \boxed{A=3} \end{gathered}$$

حساب  $B=\frac{2{\left({\displaystyle \frac{6}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{4^2}{10}}-{\displaystyle \frac{7}{2}}}{{\displaystyle \frac{6}{5}}+{\displaystyle \frac{7}{2}}}$

$$\begin{gathered} B=\frac{2{\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{42}{10}}-{\displaystyle \frac{7}{2}}}{{\displaystyle \frac{6}{5}}+{\displaystyle \frac{7}{2}}} \\ B=\frac{2\left({\displaystyle \frac{36}{25}}\right)+{\displaystyle \frac{21}{5}}-{\displaystyle \frac{7}{2}}}{{\displaystyle \frac{12}{10}+\frac{35}{10}}} \\ B=\frac{{\displaystyle \frac{72}{25}}+{\displaystyle \frac{105}{25}}-{\displaystyle \frac{7}{2}}}{{\displaystyle \frac{47}{10}}} \\ B=\frac{{\displaystyle \frac{354}{50}-\frac{175}{50}}}{{\displaystyle \frac{47}{10}}} \\ B=\frac{179}{50}\times \frac{10}{47} \\ \boxed{B=\frac{179}{235}} \end{gathered}$$

$\boxed{1}$ لدينا $\frac{15689}{29}=541$ أي $15689=541\times 29$

إذن العدد $15689$ هو مضاعف للعدد $29$

$\boxed{2}$ لدينا $\frac{14607}{541}=27$ أي $14607=27\times 541$

إذن أن العدد $541$ قاسم للعدد $14607$

$\boxed{3}$ حسب السؤالين السابقين لدينا $15689=541\times 29$و$14607=27\times 541$

إذن $\frac{15689}{14607}=\frac{541\times 29}{541\times 27}$

أي $\boxed{\frac{15689}{14607}=\frac{29}{27}}$

تذكير:

• كل عدد صحيح طبيعي $n$ زوجي  يكتب على الشكل $n=2k$ حيث $k$ عدد صحيح طبيعي
• كل عدد صحيح طبيعي $n$ فردي  يكتب على الشكل $n=2k+1$ حيث $k$ عدد صحيح طبيعي

لنبين أن العدد $A=n\left(n+1\right)$ زوجي

نفترض أن $n$ عدد زوجي، إذن $n=2k$ حيث $k$ عدد صحيح طبيعي

ومنه فإن $n+1=2k+1$ عدد فردي، أي $n\left(n+1\right)=2k\left(2k+1\right)=2\left(2k^2+k\right)$ عدد زوجي

نفترض أن $n$ عدد فردي، إذن $n=2k+1$ حيث $k$ عدد صحيح طبيعي

ومنه فإن $n+1=2k+2$ عدد فردي، أي $n\left(n+1\right)=2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)=2\left(2k^2+3k+1\right)$ عدد زوجي

الخلاصة: $n\left(n+1\right)$ عدد زوجي

لنبين أن العدد $B=n^2+n+1$ فردي

لدينا $B=n\left(n+1\right)+1=A+1$ وحسب السؤال السابق نعلم أن العدد $A=n\left(n+1\right)$ زوجي

إذن $B=n^2+n+1$ عدد فردي

$\boxed{1}$ لدينا

$a=4n^2+3=2\left(2n^2+1\right)+1=2k+1 \left(k=2n^2+1\right)$

إذن $a=4n^2+3$ عدد فردي

لدينا $b=6n+4=2\left(3n+2\right)=2k \left(k=3n+2\right)$

إذن $b=6n+4$ عدد زوجي

$\boxed{2}$ لدينا

 $$\begin{gathered} 2b+a-2=2\left(6n+4\right)+4n^2+3-2 \\ 2b+a-2=12n+8+4n^2+1 \\ 2b+a-2=4n^2+12n+9 \\ 2b+a-2={\left(2n\right)}^2+2\times 2n\times 3+3^2 \\ \boxed{2b+a-2={\left(2n+3\right)}^2} \end{gathered}$$

إذن $2b+a-2$ مربع كامل

$\boxed{3}$ لدينا

$$\begin{gathered} A={\left[3-{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^{-1}\right]}^2 \\ A={\left[3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}\right]}^2 \\ A={\left[3-2\right]}^2 \\ A=1^2 \\ \boxed{A=1} \end{gathered}$$

لدينا $x$ و$y$ متناسبان على التوالي مع $2$ و$3$

إذن $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{5x+y}{10+3}=\frac{-26}{13}=-2$

أي $\frac{x}{2}=-2\Rightarrow \boxed{x=-4}$

و $\frac{y}{3}=-2\Rightarrow \boxed{y=-6}$

$\boxed{1}$ لدينا 

$$\begin{gathered} \frac{3a-b}{3a+2b}=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow 4\left(3a-b\right)=3\left(3a+2b\right) \\ \Rightarrow 12a-4b=9a+6b \\ \Rightarrow 12a-9a=6b+4b \\ \Rightarrow 3a=10b \\ \Rightarrow \boxed{\frac{a}{b}=\frac{10}{3}} \end{gathered}$$

$\boxed{2}$ لدينا  $a+b=26$

إذن

$$\begin{gathered} \frac{10}{3}b+b=26 \\ \Rightarrow \frac{13}{3}b=26 \\ \Rightarrow b=26\times \frac{3}{13} \\ \Rightarrow \boxed{b=6} \end{gathered}$$

ومنه

$$\begin{gathered} a=\frac{10}{3}\times 6 \\ \boxed{a=20} \end{gathered}$$

$\boxed{1}$ لدينا

$\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{8}=\frac{2x-3y+4z}{6-21+32}=\frac{-34}{17}=-2$

إذن $\boxed{x=3\times \left(-2\right)=-6}$ و $\boxed{y=7\times \left(-2\right)=-14}$ و $\boxed{z=8\times \left(-2\right)=-16}$

$\boxed{2}$ لدينا

$\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{8}=\frac{x-z}{3-8}=\frac{-10}{-5}=2$

إذن $\boxed{x=3\times 2=6}$ و $\boxed{y=7\times 2=14}$ و $\boxed{z=8\times 2=16}$

$\boxed{3}$ لدينا $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{8}$

إذن $y=\frac{7}{3}x$ و $z=\frac{8}{3}x$

أي $xyz=x.\frac{7}{3}x.\frac{8}{3}x=\frac{56}{9}{x}^3=567$

ومنه $x^3=\frac{567\times 9}{56}=\frac{81\times 7\times 9}{7\times 8}=\frac{81\times 9}{8}=\frac{9^3}{2^3}$

إذن $\boxed{x=\frac{9}{2}}$ و $\boxed{y=\frac{7}{3}.\frac{9}{2}=\frac{21}{2}}$ و $\boxed{z=\frac{8}{3}.\frac{9}{2}=12}$