الامتحان الوطني الموحد 2016 الدورة الإستدراكية: الموضوع والتصحيح

حساب الاحتمالات

لدينا صندوقان $U$ و$V$.

الصندوق $U$ يحتوي على $4$ كرات حمراء و$4$ كرات زرقاء، والصندوق $V$ يحتوي على كرتين حمراوين و$4$ كرات زرقاء

نعتبر التجربة التالية: نسحب عشوائيا كرة من الصندوق $U$: إذا كانت حمراء نضعها في الصندوق $V$ ثم نسحب عشوائيا كرة من الصندوق $V$، وإذا كانت زرقاء نضعها جانبا ثم نسحب عشوائيا كرة من الصندوق $V$

لتكن الأحداث التالية:  

$R_U$: الكرة المسحوبة من الصندوق $U$ حمراء

$B_U$: الكرة المسحوبة من الصندوق $U$ زرقاء

$R_V$: الكرة المسحوبة من الصندوق $V$ حمراء

$B_V$: الكرة المسحوبة من الصندوق $V$ زرقاء

$\boxed{1}$ احسب احتمال كل من الحدثين $R_U$ و$B_U$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$ احسب احتمال الحدث $B_V$ علما أن $R_U$ محقق

$\boxed{ب}$ احسب احتمال الحدث $B_V$ علما أن $B_U$ محقق

$\boxed{3}$ بين أن احتمال الحدث $B_V$ هو $\frac{13}{21}$

$\boxed{4}$ استنتج احتمال الحدث $R_V$

البنيات الجبرية

نذكر أن $\left(M_3\left(ℝ\right),+,\times \right)$ حلقة واحدية وحدتها $I=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$ و أن $\left(\mathrm{ℂ},+,\times \right)$ جسم تبادلي

لكل عدد عقدي $z=x+iy$ حيث $\left(x,y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ نضع

$M\left(z\right)=\left|\begin{array}{ccc}x+2y& 0& 5y\\ 0& 1& 0\\ -y& 0& x-2y\end{array}\right|$

ونعتبر المجموعة $E=\left\{M\left(z\right)/z\in \mathrm{ℂ}\right\}$

$\boxed{1}$ نزود المجموعة $E$ بقانون التركيب الداخلي $*$ المعرف بمايلي

$\left(\forall z\in \mathrm{ℂ}\right) \left(\forall z\text{'}\in \mathrm{ℂ}\right) M\left(z\right)*M\left(z\text{'}\right)=M\left(z\right)+M\left(z\text{'}\right)-M\left(0\right)$

بين أن $\left(E,*\right)$ زمرة تبادلية

$\boxed{2}$ نعتبر التطبيق $j:\mathrm{ℂ}*\to E$ الذي يربط كل عدد عقدي $z$ من $\mathrm{ℂ}*$ بالمصفوفة $M\left(z\right)$

$\boxed{أ}$ بين أن $j$ تشاكل من $\left(\mathrm{ℂ}*,\times \right)$ نحو $\left(E,\times \right)$

$\boxed{ب}$ استنتج أن $\left(E-\left\{M\left(0\right)\right\},\times \right)$ زمرة تبادلية  

$\boxed{3}$ بين أن $\left(E,*,\times \right)$ جسم تبادلي

الأعداد العقدية

نعتبر في المجموعة $\mathrm{ℂ}$ المعادلة التالية

$\left(E\right): z^2-\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+i\right)z+4i=0$

$\boxed{1}$

$\boxed{أ}$ تحقق أن مميز المعادلة $\left(E\right)$ هو $D=\left(\sqrt{3}-1\right){\left(1-i\right)}^2$

$\boxed{ب}$ اكتب على الشكل المثلثي كل حل من حلي المعادلة $\left(E\right)$

$\boxed{2}$ المستوى العقدي منسوب الى معلم متعامد وممنظم ومباشر $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

نعتبر النقطتين $A$ و$B$ التي لحقيهما على التوالي $a=1+i\sqrt{3}$ و$b=\sqrt{3}+i$

$\boxed{أ}$ بين أن $\left(D\right)$ مجموعة النقط من المستوى العقدي التي لحقها $z$ يحقق $z=\frac{1}{2}a\overline{z}$ هي مستقيم يمر من النقطة $B$

$\boxed{ب}$ لتكن $M$ و$M\text{'}$ نقطتان لحقاهما على التوالي $z$ و$z\text{'}$ بحيث $z\text{'}=a\overline{z}-b$ و

بين أن $\frac{b^2}{\left(z\text{'}-b\right)\left(z-b\right)}=\frac{2}{\left|z-b\right|{\displaystyle }}$

$\boxed{ج}$ استنتج أن المستقيم $\left(D\right)$ هو منصف الزاوية $\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BM\text{'}}\right)$

التحليل 1

$n$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم  

نعتبر الدالة العددية $f_n$ المعرفة على المجال $]0,+\infty [$ بمايلي $f_n\left(x\right)=\ln \left(x\right)-\frac{n}{x}$

وليكن $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ المنحنى الممثل للدالة $f_n$ في معلم متعامد وممنظم $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$

$\boxed{1}$

$\boxed{أ}$ ادرس الفرعين اللانهائيين للمنحنى $\left({\mathcal{C}}_n\right)$

$\boxed{ب}$ ادرس تغيرات الدالة $f_n$ على $]0,+\infty [$ ثم أعط جدول تغيراتها

$\boxed{ج}$ انشئ $\left({\mathcal{C}}_2\right)$

$\boxed{2}$ بين أن الدالة $f_n$ تقابل من $]0,+\infty [$ نحو $\mathrm{\mathbb{N}}$

$\boxed{3}$

$\boxed{أ}$ بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي $n$ أكبر من أو يساوي $1$ يوجد عدد حقيقي وحيد ${\alpha }_n$ من المجال $]0,+\infty [$ بحيث $f_n\left({\alpha }_n\right)=0$

$\boxed{ب}$ قارن $f_n\left(x\right)$ و$f_{n+1}\left(x\right)$ لكل $x$ من $]0,+\infty [$

$\boxed{ج}$ بين  أن المتتالية ${\left({\alpha }_n\right)}_{n\ge 1}$ تزايدية قطعا

$\boxed{4}$

$\boxed{أ}$ بين أن $\left(\forall x>0\right) ; \ln \left(x\right)<x$

$\boxed{ب}$ بين أن $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\alpha }_n=+\infty$

$\boxed{5}$ لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم $n$ نضع

$I_n=\frac{1}{{\alpha }_{n+1}-{\alpha }_n}{\int }_{{\alpha }_n}^{{\alpha }_{n+1}}{f}_n\left(x\right)dx$

$\boxed{أ}$ بين أن $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right)\left(\exists c_n\in \left[{\alpha }_n,{\alpha }_{n+1}\right]\right) : I_n=f_n\left(c_n\right)$

$\boxed{ب}$ بين أن $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) : 0\le I_n\le \frac{1}{{\alpha }_{n+1}}$

$\boxed{ج}$ حدد $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$

التحليل 2

$n$ عدد صحيح طبيعي أكبر من أن يساوي $2$

نعتبر الدالة العددية $g_n$ ذات المجهول $x$ المعرفة على المجال $[n,+\infty [$ بمايلي

$g_n\left(x\right)={\int }_n^x\frac{1}{\ln t}dt$

$\boxed{1}$

$\boxed{أ}$ بين أن الدالة $g_n$ قابلة للاشتقاق على المجال $[n,+\infty [$ ثم حدد دالتها المشتقة الأولى $g_n\text{'}$

$\boxed{ب}$ بين أن الدالة $g_n$ تزايدية قطعا على المجال $[n,+\infty [$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$ بين أن $\left(\forall x\ge n\right) : g_n\left(x\right)\ge \ln \left(\frac{x-1}{n-1}\right)$ (يمكنك استعمال المتفاوتة التالية $\left(\forall t\ge 0\right) :\ln \left(1+t\right)\le t$)

$\boxed{ب}$ استنتج أن $\underset{x\to +\infty }{\lim }{g}_n\left(x\right)=+\infty$

$\boxed{3}$

$\boxed{أ}$ بين أن الدالة $g_n$ تقابل من المجال $[n,+\infty [$ نحو المجال $[0,+\infty [$

$\boxed{ب}$ استنتج أن $\left(\forall n\ge 2\right) \left(\exists !u_n\ge n\right) : {\int }_n^{u_n}\frac{1}{\ln t}dt=1$

$\boxed{4}$ نعتبر المتتالية العددية ${\left(u_n\right)}_{n\ge 2}$ المعرفة في السؤال $\boxed{ب} \boxed{3}$

$\boxed{أ}$ بين أن

$\left(\forall n\ge 2\right) : {\int }_{u_n}^{u_{n+1}}\frac{1}{\ln t}dt={\int }_n^{n+1}\frac{1}{\ln t}dt$

$\boxed{ب}$ استنتج أن المتتالية ${\left(u_n\right)}_{n\ge 2}$ تزايدية قطعا  

$\boxed{ج}$ حدد $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$