الامتحان الوطني الموحد 2016 الدورة العادية: الموضوع والتصحيح

1
التمرين 1
الكيمياء

(الجزآن الأول والثاني مستقلان)

نستعمل المركبات الكيميائية التي تحتوي على عنصر الأزوت في مجالات متعددة كالزراعة لتخصيب التربة بواسطة الأسمدة أو الصناعة لتصنيع الأدوية وغيرها

يهدف هذا التمرين إلى دراسة:

محلول مائي للأمونياك $N H_{3}$ وتفاعله مع محلول مائي لكلورور المثيل أمونيوم $C H_{3} N H_{3 (a q)}^{+} + C l_{(a q)}^{-}$

التحليل الكهربائي لمحلول مائي لنترات الفضة $A g_{(a q)}^{+} + N O_{3 (a q)}^{-}$

الجزء الأول: دراسة محلول مائي للأمونياك و تفاعله مع حمض

معطيات:

تمت جميع القياسات عند درجة الحرارة $25 ° C$

الجداء الأيوني للماء: $K_{e} = 10^{- 14}$

نرمز لـ $p K_{A} (\frac{N H_{4 (a q)}^{+}}{N H_{3 (a q)}})$ بـ $p K_{A 1}$

$p K_{A} (\frac{C H_{3} N H_{3 (a q)}^{+}}{C H_{3} N H_{2 (a q)}}) = p K_{A 2} = 10, 7$

$1$ دراسة محلول مائي للأمونياك

$1 - 1$ نحضر محلولا مائيا $S_{1}$ للأمونياك تركيزه المولي $C_{1} = 10^{- 2} m o l . L^{- 1}$ . أعطى قياس $p H$ المحلول $S_{1}$ القيمة $p H_{1} = 10, 6$

$1 - 1 - 1$ اكتب المعادلة الكيميائية المنمذجة لتفاعل الأمونياك مع الماء

$2 - 1 - 1$ أوجد تعبير نسبة التقدم النهائي $τ_{1}$ للتفاعل بدلالة $C_{1}$ و $p H_{1}$ و $K_{e}$ وتحقق أن $τ_{1} \approx 4 %$

$3 - 1 - 1$ أوجد تعبير ثابتة التوازن $K$ المقرونة بمعادلة التفاعل بدلالة $C_{1}$ و $τ_{1}$ واحسب قيمتها

$2 - 1$ نخفف المحلول $S_{1}$ فنحصل على محلول مائي $S_{2}$ . نقيس $p H$ المحلول $S_{2}$ فنجد $p H_{2} = 10, 4$

يمثل منحنيا الشكل التالي مخطط توزيع النوعين الحمضي والقاعدي للمزدوجة $\frac{N H_{4 (a q)}^{+}}{N H_{3 (a q)}}$

$1 - 2 - 1$ أقرن النوع القاعدي للمزدوجة $\frac{N H_{4 (a q)}^{+}}{N H_{3 (a q)}}$ بالمنحنى الموافق له معللا جوابك

$2 - 2 - 1$ اعتمادا على منحنيي الشكل، حدد:

$p K_{A 1}$

نسبة التقدم النهائي $τ_{2}$ للتفاعل في المحلول $S_{2}$

$3 - 2 - 1$ بمقارنة $τ_{1}$ و $τ_{2}$ ، ماذا تستنتج ؟

$2$ دراسة تفاعل الأمونياك مع الأيون مثيل أمونيوم

نمزج في كأس حجما $V_{1}$ من المحلول المائي $S_{1}$ للأمونياك ذي التركيز المولي $C_{1}$ مع حجم $V = V_{1}$ لمحلول مائي $S$ لكلورور المثيل أمونيوم $C H_{3} N H_{3 (a q)}^{+} + C l_{(a q)}^{-}$ تركيزه المولي $C = C_{1}$

$1 - 2$ اكتب المعادلة الكيميائية المنمذجة لتفاعل الأمونياك مع الأيون مثيل أمونيوم $C H_{3} N H_{3 (a q)}^{+}$

$2 - 2$ أوجد قيمة ثابتة التوازن $K$ المقرونة بمعادلة هذا التفاعل.

$3 - 2$ بين أن تعبير تركيز كل من $N H_{4}^{+}$ و $C H_{3} N H_{2}$ في الخليط التفاعلي عند التوازن يكتب:

${[C H_{3} N H_{2 (a q)}]}_{é q} = {[N H_{4 (a q)}^{+}]}_{é q} = \frac{C}{2} . \frac{\sqrt{K}}{1 + \sqrt{K}}$

$4 - 2$ حدد $p H$ الخليط التفاعلي عند التوازن.

الجزء الثاني: التحليل الكهربائي لمحلول مائي لنترات الفضة

ننجز التحليل الكهربائي لمحلول مائي لنترات الفضة $A g_{(a q)}^{+} + N O_{3 (a q)}^{-}$ محمض بمحلول مائي لحمض النتريك $H_{3} O_{(a q)}^{+} + N O_{3 (a q)}^{-}$ باستعمال إلكترودين من الغرافيت.

حجم الخليط داخل خلية التحليل الكهربائي هو $V = 400 m L$

معطيات:

المزدوجتان مختزل / مؤكسد المتدخلتان في التفاعل هما $\frac{O_{2 (g)}}{H_{2} O_{(l)}}$ و $\frac{A g_{(a q)}^{+}}{A g_{(s)}}$

الفرادي: $1 F = 9, 65 . 10^{4} C . m o l^{- 1}$

نقيس $p H$ الخليط قبل غلق الدارة فنجد $p H_{0} = 3$ ثم نغلقها عند لحظة نختارها أصلا للتواريخ $(t = 0)$ فيمر فيها تيار كهربائي شدته ثابتة $I = 2, 66 . 10^{2} m A$

المعادلة الحصيلة للتحليل الكهربائي هي: $6 H_{2} O_{(l)} + 4 A g_{(a q)}^{+} \to O_{2 (g)} + 4 H_{3} O_{(a q)}^{+} + 4 A g_{(s)}$

$1$ اكتب معادلة التفاعل الحاصل عند الأنود

$2$ اعتمادا على الجدول الوصفي للتفاعل، بين أن تعبير التقدم $x$ للتفاعل عند لحظة $t$ هو: $x = \frac{V}{4} (10^{- p H_{t}} - 10^{- p H_{0}})$ حيث $p H_{t}$ هو $p H$ الخليط عند هذه اللحظة

$3$ حدد اللحظة $t_{1}$ التي يأخذ فيها $p H$ الخليط القيمة $p H_{t} = 1, 5$

الكيمياء

(الجزآن الأول والثاني مستقلان)

الجزء الأول: دراسة محلول مائي للأمونياك و تفاعله مع حمض

$1$ دراسة محلول مائي للأمونياك

$1 - 1$ تحضير المحلول $S_{1}$

$1 - 1 - 1$ المعادلة الكيميائية المنمذجة لتفاعل الأمونياك مع الماء

$N H_{3 (a q)} + H_{2} O_{(l)} ⇄ N H_{4 (a q)}^{+} + H O_{(a q)}^{-}$

$2 - 1 - 1$ تعبير $τ_{1}$ بدلالة $C_{1}$ و $p H_{1}$ و $K_{e}$

جدول التقدم:

حسب الجدول الوصفي ${[H O^{-}]}_{f} = \frac{x_{é q}}{V_{1}}$ أي $x_{é q} = {[H O^{-}]}_{f} . V_{1}$

و المتفاعل المحد هو $N H_{3}$ .

نكتب $C_{1} . V_{1} - x_{m a x} = 0$ منه $x_{m a x} = C_{1} . V_{1}$

حسب الجداء الأيوني للماء $K_{e} = {[H_{3} O^{+}]}_{f} . {[H O^{-}]}_{f}$

${[H O^{-}]}_{f} = \frac{K_{e}}{{[H_{3} O^{+}]}_{f}} = K_{e} . 10^{p H_{1}}$

حسب تعبير نسبة التقدم النهائي: $τ_{1} = \frac{x_{é q}}{x_{m a x}} = \frac{{[H O^{-}]}_{f}}{C_{1}}$

$\Rightarrow τ_{1} = \frac{K_{e} . 10^{p H_{1}}}{C_{1}}$

ت.ع: $τ_{1} = \frac{10^{- 14} . 10^{10, 6}}{10^{- 2}} \approx 4 . 10^{- 2} = 4 %$

$3 - 1 - 1$ تعبير ثابتة التوازن $K$ بدلالة $C_{1}$ و $τ_{1}$

حسب تعبير نسبة التقدم النهائي $τ_{1} = \frac{x_{é q}}{x_{m a x}} = \frac{x_{é q}}{C_{1} . V_{1}}$ ومنه $x_{é q} = τ_{1} . C_{1} . V_{1}$

حسب الجدول الوصفي لدينا

${[H O^{-}]}_{f} = {[N H_{4}^{+}]}_{f} = \frac{x_{é q}}{V_{1}} = τ_{1} . C_{1}$

و

${[N H_{3}]}_{f} = {[N H_{4}^{+}]}_{f} = \frac{C_{1} . V_{1} - x_{é q}}{V_{1}} = C_{1} - τ_{1} . C_{1} = C_{1} (1 - τ_{1})$

تعبير ثابتة التوازن:

$K = \frac{{[N H_{4}^{+}]}_{f} . {[H O^{-}]}_{f}}{{[N H_{3}]}_{f}} = \frac{{(τ_{1} . C_{1})}^{2}}{C_{1} (1 - τ_{1})}$

$K = \frac{{τ_{1}}^{2} . C_{1}}{1 - τ_{1}}$

ت.ع: $K = \frac{{(4 . 10^{- 2})}^{2} . 10^{- 2}}{1 - 4 . 10^{- 2}} \approx 1, 67 . 10^{- 5}$

$2 - 1$ دراسة المحلول المخفف $S_{2}$

$1 - 2 - 1$ منحنى النوع القاعدي المهيمن

عند قيمة $p H = 10, 4 > p K_{A} = 9, 2$ للنوع، النوع القاعدي $N H_{3}$ هو المهيمن (أنظر الشكل)، وبالتالي المنحنى $(2)$ يمثل مخطط توزيع النوع القاعدي

$2 - 2 - 1$ اعتمادا على منحنيي الشكل، حدد:

$أ$ قيمة الثابتة $p K_{A 1}$

حسب المبيان عندما يكون $[N H_{3}] = [N H_{4}^{+}]$ نحصل على $p H = p K_{A 1}$

مبيانيا نجد: $p K_{A 1} = 9, 2$

$ب$ نسبة التقدم النهائي $τ_{2}$

$τ_{2} = \frac{x_{é q}}{x_{m a x}} = \frac{{[N H_{4}^{+}]}_{f}}{C_{2}} = \frac{{[N H_{4}^{+}]}_{f}}{{[N H_{4}^{+}]}_{f} + {[N H_{3}]}_{f}}$

مبيانيا عند $p H_{2} = 10, 4$ نسبة الحمض هي: $τ_{2} = 6 %$

$3 - 2 - 1$ مقارنة $τ_{1}$ و $τ_{2}$

نلاحظ أن $τ_{2} > τ_{1}$

نستنتج ان نسبة التقدم النهائي تتعلق بالحالة البدئية وهي تتزايد مع التخفيف

$2$ دراسة تفاعل الأمونياك مع الأيون مثيل أمونيوم

نمزج في كأس حجما $V_{1}$ من المحلول المائي $S_{1}$ للأمونياك ذي التركيز المولي $C_{1}$ مع حجم $V = V_{1}$ لمحلول مائي $S$ لكلورور المثيل أمونيوم $C H_{3} N H_{3 (a q)}^{+} + C l_{(a q)}^{-}$ تركيزه المولي $C = C_{1}$

$1 - 2$ المعادلة الكيميائية لتفاعل الأمونياك مع الأيون مثيل أمونيوم

$N H_{3 (a q)} + C H_{3} N H_{3 (a q)}^{+} ⇄ N H_{4 (a q)}^{+} + C H_{3} N H_{2 (a q)}$

$2 - 2$ ثابتة التوازن $K$

$K = \frac{{[N H_{4}^{+}]}_{é q} . {[C H_{3} N H_{2}]}_{é q}}{{[N H_{3}]}_{é q} . {[C H_{3} N H_{3}^{+}]}_{é q}} K = \frac{{[C H_{3} N H_{2}]}_{é q} . {[H_{3} O^{+}]}_{é q}}{{[C H_{3} N H_{3}^{+}]}_{é q}} . \frac{{[N H_{4}^{+}]}_{é q}}{{[N H_{3}]}_{é q} . {[H_{3} O^{+}]}_{é q}} K = \frac{K_{A 2}}{K_{A 1}} K = \frac{10^{- p K_{A 2}}}{10^{- p K_{A 1}}} K = 10^{p K_{A 2} - p K_{A 1}}$

ت.ع: $K' = 10^{9, 2 - 10, 7} \approx 3, 16 . 10^{- 2}$

$3 - 2$ إثبات تعبير تركيز كل من $N H_{4}^{+}$ و $C H_{3} N H_{2}$

الجدول الوصفي:

حسب الجدول الوصفي:

${[C H_{3} N H_{2}]}_{é q} = {[N H_{4}^{+}]}_{é q} = \frac{x_{é q}}{2 V}$

و

${[C H_{3} N H_{3}^{+}]}_{é q} = {[N H_{3}]}_{é q} = \frac{C . V - x_{é q}}{2 V} = \frac{n - x_{é q}}{2 V}$

$K' = \frac{{[N H_{4}^{+}]}_{é q} . {[C H_{3} N H_{2}]}_{é q}}{{[N H_{3}]}_{é q} . {[C H_{3} N H_{3}^{+}]}_{é q}} K' = \frac{{[N H_{4}^{+}]}_{é q}^{2}}{{[N H_{3}]}_{é q}^{2}} K' = {(\frac{x_{é q}}{n - x_{é q}})}^{2} \Rightarrow \sqrt{K'} = \frac{x_{é q}}{n - x_{é q}} \Rightarrow x_{é q} = \frac{n \sqrt{K'}}{1 + \sqrt{K'}} = \frac{C . V . \sqrt{K'}}{1 + \sqrt{K'}} \Rightarrow {[N H_{4}^{+}]}_{é q} = {[C H_{3} N H_{2}]}_{é q} = \frac{x_{é q}}{2 V} = \frac{C . V . \sqrt{K'}}{2 V (1 + \sqrt{K'})}$

نستنتج

${[C H_{3} N H_{2}]}_{é q} = {[N H_{4}^{+}]}_{é q} = \frac{C}{2} . \frac{\sqrt{K'}}{1 + \sqrt{K'}}$

$4 - 2$ تحديد $p H$ الخليط عند التوازن.

لدينا $p H = p K_{A 1} + \log \frac{{[N H_{3}]}_{é q}}{{[N H_{4}^{+}]}_{é q}}$

${[N H_{4}^{+}]}_{é q} = \frac{C}{2} . \frac{\sqrt{K'}}{1 + \sqrt{K'}} و {[N H_{3}]}_{é q} = \frac{C . V - x_{é q}}{2 V} {[N H_{3}]}_{é q} = \frac{C}{2} (1 - \frac{\sqrt{K'}}{1 + \sqrt{K'}}) {[N H_{3}]}_{é q} = \frac{C}{2 (1 + \sqrt{K'})} \Rightarrow \frac{{[N H_{3}]}_{é q}}{{[N H_{4}^{+}]}_{é q}} = \frac{\frac{1}{1 + \sqrt{K'}}}{\frac{\sqrt{K'}}{1 + \sqrt{K'}}} = \frac{1}{\sqrt{K'}}$

$p H = p K_{A 1} + \log \frac{1}{\sqrt{K'}} = p K_{A 1} - \log \sqrt{K'}$

ت.ع: $p H = 9, 2 - \frac{1}{2} \log (3, 16 . 10^{- 2}) \approx 9, 95$

الجزء الثاني: التحليل الكهربائي لمحلول مائي لنترات الفضة

$1$ معادلة التفاعل الحاصل عند الأنود ( أكسدة انودية)

$6 H_{2} O_{(l)} ⇄ O_{2 (g)} + 4 H_{3} O_{(a q)}^{+} + 4 e^{-}$

$2$ إثبات تعبير التقدم $x$ بالاستعانة بالجدول الوصفي

حسب الجدول الوصفي:

${[H_{3} O^{+}]}_{t} = \frac{n_{0} + 4 x}{V} = {[H_{3} O^{+}]}_{0} + \frac{4 x}{V} \Rightarrow \frac{4 x}{V} = {[H_{3} O^{+}]}_{t} - {[H_{3} O^{+}]}_{0} \Rightarrow x = \frac{V}{4} (10^{- p H_{t}} - 10^{- p H_{0}})$

$3$ تحديد اللحظة $t_{1}$ التي يأخذ فيها $p H$ الخليط القيمة $p H_{1} = 1, 5$

لدينا حسب الجدول الوصفي:

$\{\begin{cases} n (e^{-}) = 4 x \\ n (e^{-}) = \frac{I . t_{1}}{F} \end{cases} \Rightarrow x = \frac{I . t_{1}}{4 F}$

ولدينا $x = \frac{V}{4} (10^{- p H_{t}} - 10^{- p H_{0}})$

إذن

$t_{1} = \frac{F . V}{I} (10^{- p H} - 10^{- p H_{0}})$

ت.ع:

$t_{1} = \frac{96500.0, 4}{0, 266} (10^{- 1, 5} - 10^{- 3}) \approx 4443, 75 s \approx 14 h 14 m i n$
2
التمرين 2
التحولات النووية: النشاط الإشعاعي للبولونيوم

تتفتت نواة البولونيوم ${}_{84}^{210}P o$ تلقائيا لتتحول الى نواة الرصاص ${}_{z}^{206}P b$ مع انبعاث دقيقة $α$

يهدف هذا التمرين إلى دراسة الحصيلة الطاقية لهذا التحول وكذا تطوره مع الزمن.

معطيات:

طاقة الربط لنواة البولونيوم $210$ : $E_{l} ({}^{210}P o) = 1, 6449 . 10^{3} M e V$

طاقة الربط لنواة الرصاص $206$ : $E_{l} ({}^{206}P b) = 1, 6220 . 10^{3} M e V$

طاقة الربط للدقيقة $α$ : $E_{l} (α) = 28, 2989 M e V$

نرمز بـ $t_{\frac{1}{2}}$ لعمر النصف لنويدة البولونيوم $210$

$1$ اكتب معادلة هذا التحول النووي محددا العدد $z$

$2$ حدد بالوحدة $M e V$ الطاقة $|Δ E|$ الناتجة عن تفتت نواة واحدة من ${}_{84}^{210}P o$

$3$ ليكن $N_{0} (P o)$ عدد نوى البولونيوم في عينة عند اللحظة $t = 0$ و $N (P o)$ عدد النوى المتبقية في نفس العينة عند لحظة $t$ .

$1 - 3$ نرمز بـ $N_{D}$ لعدد نوى البولونيوم المتفتتة عند اللحظة $t = 4 . t_{\frac{1}{2}}$

اختر الاقتراح الصحيح من بين الاقتراحات التالية:

أ- $N_{D} = \frac{N_{0} (P o)}{8}$

ب- $N_{D} = \frac{N_{0} (P o)}{16}$

ج- $N_{D} = \frac{N_{0} (P o)}{4}$

د- $N_{D} = \frac{15 N_{0} (P o)}{16}$

$2 - 3$ يمثل المنحنى جانبه تغيرات $\ln (\frac{N_{0} (P o)}{N (P o)})$ بدلالة الزمن

اعتمادا على هذا المنحنى، حدد بالوحدة $(j o u r)$ عمر النصف $t_{\frac{1}{2}}$

$3 - 3$ علما أن العينة لا تحتوي على الرصاص عند اللحظة $t = 0$ ، حدد بالوحدة $(j o u r)$ اللحظة $t_{1}$ التي يكون عندها: $\frac{N (P b)}{N (P o)} = \frac{2}{5}$ حيث $N (P b)$ هو عدد نوى الرصاص المتكونة عند هذه اللحظة.

التحولات النووية: النشاط الإشعاعي للبولونيوم

$1$ معادلة التحول النووي

${}_{84}^{210}P o \to {}_{z}^{206}P b + {}_{2}^{4}H e$

حسب قانون انحفاظ الشحنة $84 = z + 2$ أي: $z = 82$

النواة المتولدة هي: ${}_{82}^{206}P b$

$2$ الطاقة الناتجة $|Δ E|$ عن تفتت نواة واحدة من ${}_{84}^{210}P o$

$|Δ E| = |E_{l} ({}_{84}^{210}P o) - E_{l} ({}_{84}^{210}P b) - E_{l} ({}_{2}^{4}H e)|$

$|Δ E| = |- 5, 3989|$

$|Δ E| \approx 5, 4 M e V$

$3$

$1 - 3$ اختيار الأقتراح الصحيح

عدد النوى المتبقية عند اللحظة $t$ تكتب: $N = N_{0} . e^{- \frac{t . \ln 2}{t_{\frac{1}{2}}}}$

عند اللحظة $t = 4 t_{\frac{1}{2}}$ نحصل على: $N = N_{0} . e^{- 4 \ln 2} = N_{0} . 2^{- 4} = \frac{N_{0}}{16}$

عدد النوى المتفتتة هو: $N_{D} = N_{0} - N = \frac{15}{16} N_{0}$

الجواب الصحيح هو $د$

$2 - 3$ تحديد عمر النصف $t_{\frac{1}{2}}$ مبيانيا

قانون التناقص الإشعاعي يكتب: $N (P_{0}) = N_{0} (P_{0}) . e^{- λ t}$

$\Rightarrow \frac{N_{0} (P_{0})}{N (P_{0})} = e^{λ t} : (1)$

$\Rightarrow λ . t = \ln (\frac{N_{0} (P_{0})}{N (P_{0})})$

$\Rightarrow λ = \frac{Δ \ln (\frac{N_{0} (P_{0})}{N (P_{0})})}{Δ t} = \frac{\frac{1}{4} \ln 2}{34, 5}$

$\Rightarrow \frac{\ln 2}{t_{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{4} \ln 2}{34, 5}$

$\Rightarrow t_{\frac{1}{2}} = 4 \times 34, 5 = 138 j o u r s$

$3 - 3$ تحديد $t_{1}$

العلاقة $(1)$ تكتب $\frac{N_{0} (P_{0})}{N (P_{0})} = e^{λ t_{1}}$

$\Rightarrow λ . t_{1} = \ln (\frac{N_{0} (P_{0})}{N (P_{0})})$

$\Rightarrow t_{1} = \frac{t_{\frac{1}{2}}}{\ln 2} . \ln (\frac{N_{0} (P_{0})}{N (P_{0})})$

$\Rightarrow t_{1} = \frac{t_{\frac{1}{2}}}{\ln 2} . \ln (\frac{N (P o) + N (P b)}{N (P o)})$

$t_{1} = \frac{138}{\ln 2} . \ln (\frac{7}{5}) = 67 j o u r s$
3
التمرين 3
الكهرباء

يستعمل المكثف و الوشيعة و الموصل الأومي في الدارات الكهربائية لمختلف الأجهزة كالمضخات و أجهزة الراديو و التلفزة …

يهدف هذا التمرين إلى دراسة:

استجابة ثنائي قطب $R L$ لرتبة توتر

تفريغ مكثف في ثنائي القطب $R L$

تذبذبات قسرية في دارة $R L C$ على التوالي

$1$ استجابة ثنائي القطب $R L$ لرتبة توتر

ننجز التركيب الكهربائي الممثل في الشكل $1$ والمكون من:

مولد للتوتر قوته الكهرمحركة $E$ ومقاومته الداخلية مهملة

موصلين أوميين مقاومتاهما $r$ و $R_{0} = 45 Ω$

وشيعة $(b)$ معامل تحريضها $L_{0}$ ومقاومتها $r_{0}$

قاطع التيار $K$

نغلق القاطع $K$ في لحظة نختارها أصلا للتواريخ $(t = 0)$

يمكن نظام مسك معلوماتي ملائم من خط المنحنى $(C 1)$ الذي يمثل التوتر $u_{A M} (t)$ والمنحنى $(C 2)$ الذي يمثل التوتر $u_{B M} (t)$ (الشكل 2)

$1 - 1$ أثبت المعادلة التفاضلية التي تحققها شدة التيار $i (t)$

$2 - 1$ أوجد قيمة $E$

$3 - 1$ حدد قيمة $r$ وبين أن $r_{0} = 5 Ω$

$4 - 1$ يمثل المستقيم $(T)$ المماس للمنحنى $(C 2)$ عند $t = 0$ (الشكل $2$ )

تحقق أن $L_{0} = 0, 18 H$

$2$ تفريغ مكثف في ثنائي القطب $R L$

نركب على التوالي عند لحظة $t = 0$ مكثفا سعته $C = 14, 1 μ F$ مشحونا كليا مع الوشيعة $(b)$ السابقة وموصل أومي مقاومته $R = 20 Ω$ (الشكل 3)

يمكن نظام مسك معلوماتي ملائم من خط المنحنى الممثل للتوتر $u_{c} (t)$ بين مربطي المكثف والمنحنى الممثل للتوتر $u_{R} (t)$ بين مربطي الموصل الأومي (الشكل $4$ )

$1 - 2$ أي نظام من الأنظمة الثلاثة للتذبذب يوافق منحنيي الشكل $4$ ؟

$2 - 2$ أثبت المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر $u_{c} (t)$

$3 - 2$ أوجد الطاقة $|E_{j}|$ المبددة بمفعول جول في الدارة بين اللحظتين $t_{1} = 0$ و $t_{2} = 14 m s$

$3$ التذبذبات القسرية في دارة $R L C$ على التوالي

تتكون الدارة الكهربائية الممثلة في الشكل $5$ من:

مولد يزود الدارة بتوتر جيبي $u_{A B} (t) = 3 \sqrt{2} \cos (2 π . N . t)$ معبر عنه بالوحدة $V$ ، تردده $N$ قابل للضبط

موصل أومي مقاومته $R_{1}$

مكثف سعته $C_{1}$

الوشيعة $(b)$ السابقة

أمبيرمتر

معامل الجودة للدارة هو $Q = 7$ وعرض المنطقة الممررة ذات $- 3 d B$ هو $14, 3 H z$

عند الرنين يشير الأمبيرمتر الى القيمة $I_{0} = 1, 85 . 10^{2} m A$

$1 - 3$ حدد تردد التذبذبات الكهربائية عند الرنين

$2 - 3$ أوجد قيمة كل من $R_{1}$ و $C_{1}$

$3 - 3$ احسب القدرة الكهربائية المتوسطة المستهلكة بمفعول جول في الدارة عندما يأخذ التردد إحدى قيمتي الترددين اللذين يحدان المنطقة الممررة

الكهرباء

$1$ استجابة ثنائي القطب $R L$ لرتبة توتر

$1 - 1$ إثبات المعادلة التفاضلية التي تحققها شدة التيار $i (t)$

حسب قانون إضافية التوترات:

$E = u_{R 0} + u_{L} + U_{r} E = R_{0} . i + r_{0} . i + L_{0} \frac{d i}{d t} + r . i E = (R_{0} + r_{0} + r) . i + L_{0} \frac{d i}{d t}$

المعادلة التفاضلية تكتب:

$\frac{L_{0}}{R_{0} + r_{0} + r} . \frac{d i}{d t} + i = \frac{E}{R_{0} + r_{0} + r} \Rightarrow τ . \frac{d i}{d t} + i = I$

شدة التيار في النظام الدائم: $I = \frac{E}{R_{0} + r_{0} + r}$

ثابتة الزمن: $τ = \frac{L_{0}}{R_{0} + r_{0} + r}$

$2 - 1$ قيمة $E$

حسب المنحنى $(C_{1})$ الذي يمثل التوتر $u_{A M}$ , عند اللحظة $t = 0$ يكون $i = 0$ ومنه مبيانيا نجد:

$u_{A M} = E = 12 V$

$3 - 1$ قيمة $r$

التوتر $u_{A M} = E - r . I$ في النظام الدائم يكتب $u_{A M \infty} = E - r . I$ أي $r = \frac{E - u_{A M \infty}}{I}$

التوتر $u_{B M} = R_{0} . I$ في النظام الدائم يكتب $u_{B M \infty} = R_{0} . I$ أي $I = \frac{u_{B M \infty}}{R_{0}}$

من العلاقتين نستنتج أن

$r = \frac{E - u_{A M \infty}}{R_{0}} . u_{B M}$

ت.ع: $r = \frac{12 - 10}{9} . 45 = 10 Ω$

إثبات أن $r_{0} = 5 Ω$

في النظام الدائم المعادلة التفاضلية تكتب:

$I = \frac{E}{R_{0} + r_{0} + r} \Rightarrow r_{0} = \frac{E}{I} - R_{0} - r \Rightarrow r_{0} = \frac{E}{u_{B M}} R_{0} - R_{0} - r$

ت.ع: $r_{0} = \frac{12}{9} 45 - 45 - 10 = 5 Ω$

$4 - 1$ التحقق من قيمة $L_{0}$

ثابتة الزمن $τ$ نعبر عنها ب $τ = \frac{L_{0}}{R_{0} + r_{0} + r}$ أي $L_{0} = τ . (R_{0} + r_{0} + r)$

مبيانيا نجد $τ = 3 m s$

$L_{0} = 3 . 10^{- 3} . (45 + 5 + 10) = 0, 18 H$

$2$ تفريغ مكثف في ثنائي القطب $R L$

$1 - 2$ النظام الذي يوافق منحنيي الشكل $4$

النظام شبه دوري

$2 - 2$ إثبات المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر $u_{c} (t)$

حسب قانون إضافية التوترات

$u_{L} + u_{R} + u_{C} = 0 \Rightarrow L_{0} \frac{d i}{d t} + (R + r_{0}) . i + u_{C} = 0$

ولدينا

$i = \frac{d q}{d t} = C . \frac{d u_{C}}{d t} \frac{d i}{d t} = C . \frac{d^{2} u_{C}}{d t^{2}}$

إذن

$L_{0} . C . \frac{d^{2} u_{C}}{d t^{2}} + (R + r_{0}) . C . \frac{d u_{C}}{d t} + u_{C} = 0$

المعادلة التفاضلية تكتب:

$\frac{d^{2} u_{C}}{d t^{2}} + \frac{R + r_{0}}{L_{0}} . \frac{d u_{C}}{d t} + \frac{1}{L_{0} . C} . u_{C} = 0$

$3 - 2$ الطاقة $|E_{J}|$ المبددة بمفعول جول بين اللحظتين $t_{1} = 0$ و $t_{2} = 14 m s$

الطاقة الكلية تكتب: $E_{T} = E_{e} + E_{m} = \frac{1}{2} C . {u_{C}}^{2} + \frac{1}{2} L_{0} . i^{2}$

عند اللحظة $t_{1} = 0$ حسب الشكل $4$

$\{\begin{cases} u_{C} (0) = 12 \\ i (0) = 0 \end{cases} \Rightarrow E_{T 1} = E_{e 1} E_{T 1} = \frac{1}{2} C . u_{C} {(0)}^{2} E_{T 1} = 1, 015 . 10^{- 3} J$

عند اللحظة $t_{2} = 14 m s$ حسب الشكل $4$

$\{\begin{cases} u_{C} (t_{2}) = 3, 2 V \\ u_{R} (t_{2}) = - 0, 5 V \end{cases} \Rightarrow E_{T 2} = E_{e 2} + E_{m 2} E_{T 2} = \frac{1}{2} C . u_{C} {(t_{2})}^{2} + \frac{1}{2} L_{0} . i {(t_{2})}^{2} E_{T 2} = \frac{1}{2} C . u_{C} {(t_{2})}^{2} + \frac{1}{2} L_{0} . {(\frac{u_{R} (t_{2})}{R})}^{2} E_{T 2} = \frac{1}{2} . 14, 1 . 10^{- 6} . {(- 3, 2)}^{2} + \frac{1}{2} . 0, 18 . {(\frac{- 0, 4}{20})}^{2} E_{T 2} = 1, 284 . 10^{- 4} J$

إذن

$|E_{J}| = |E_{T 1} - E_{T 2}| \approx 9 . 10^{- 4} J$

$3$ التذبذبات القسرية في دارة $R L C$ على التوالي

$1 - 3$ تردد التذبذبات الكهربائية عند الرنين

حسب تعبير معامل الجودة:

$Q = \frac{N_{0}}{Δ N} \Rightarrow N_{0} = Q . Δ N \approx 100 H z$

$2 - 3$ تحديد قيمة $R_{1}$

عند الرنين، ممانعة الدارة تساوي $Z_{0} = R_{1} + r_{0}$

حسب تعبير التوتر $u_{A B} (t) = 3 \sqrt{2} \cos (2 π . N . t)$ فإن التوتر الفعال هو $U = 3 V$

$Z_{0} = R_{1} + r_{0} = \frac{U}{I_{0}} \Rightarrow R_{1} = \frac{U}{I_{0}} - r_{0} = 11, 2 Ω$

تحديد قيمة $C_{1}$

عند الرنين تعبير التردد الخاص يكتب

$N_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L_{0} . C_{1}}} \Rightarrow {N_{0}}^{2} = \frac{1}{4 π^{2} L_{0} . C_{1}} \Rightarrow C_{1} = \frac{1}{4 π^{2} L_{0} . {N_{0}}^{2}} = 14 μ F$

$3 - 3$ القدرة الكهربائية المتوسطة المستهلكة بمفعول جول،عندما يأخذ التردد إحدى قيمتي المنطقة المررة

قيمة شدة التيار (انظر الشكل) $I = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$

$P = R_{T} . I^{2} P = (R_{1} + r_{0}) . {(\frac{I_{0}}{\sqrt{2}})}^{2} P = \frac{1}{2} (R_{1} + r_{0}) . {I_{0}}^{2} P \approx 0, 28 W$
4
التمرين 4
الميكانيك

(الجزآن الأول والثاني مستقلان)

الجزء الأول: دراسة حركة سقوط كرتين في الهواء

اهتم العالم الإيطالي غاليلي بدراسة حركة سقوط أجسام مختلفة. وقد تمت هذه الدراسة، حسب بعض المصادر، بتحرير هذه الأجسام من فوق برج بيز المائل

للتحقق من بعض النتائج المتوصل إليها، سندرس في هذا الجزء السقوط في الهواء لكرتين لهما نفس الشعاع و كتلتان حجميتان مختلفتان

ندرس حركة كل كرة في معلم $R (O, \vec{k})$ مرتبط بمرجع أرضي نعتبره غاليليا

نمعلم موضع مركز قصور كل كرة في كل لحظة بالأنسوب $z$ على المحور الرأسي $(O, \vec{k})$ الموجه نحو الأعلى حيث أصله منطبق مع سطح الأرض (الشكل $1$ )

تخضع كل كرة أثناء سقوطها في الهواء الى وزنها $\vec{P}$ وإلى قوة الاحتكاك المانع $\vec{f}$ (نهمل دافعة أرخميدس أمام هاتين القوتين)

نقبل أن شدة $\vec{f}$ تكتب: $f = 0, 22 . ρ_{a i r} . π . R^{2} . {v_{z}}^{2}$ ، حيث $ρ_{a i r}$ الكتلة الحجمية للهواء و $R$ شعاع الكرة و $v_{z}$ القيمة الجبرية لسرعة مركز القصور $G$ للكرة عند لحظة $t$

معطيات:

حجم كرة شعاعها $R$ هو $V = \frac{4}{3} . π . R^{3}$

شدة الثقالة: $g = 9, 8 m . s^{- 1}$

الكتلة الحجمية للهواء: $ρ_{a i r} = 1, 3 K g . m^{- 3}$

لدراسة هاتين الحركتين تم استعمال كرتين متجانستين $(a)$ و $(b)$ لهما نفس الشعاع $R = 6 c m$ وكتلتان حجميتان على التوالي $ρ_{1} = 1, 14 . 10^{4} K g . m^{- 3}$ و $ρ_{1} = 94 K g . m^{- 3}$

تم تحرير الكرتين $(a)$ و $(b)$ عند نفس اللحظة $t = 0$ ، بدون سرعة بدئية، من نفس المستوى الأفقي الذي تنتمي إليه النقطة $H$ . يوجد هذا المستوى على ارتفاع $h = 69 m$ من سطح الأرض (الشكل $1$ )

$1$ بين أن المعادلة التفاضلية التي تحققها السرعة $v_{z}$ لمركز قصور كرة تكتب: $\frac{d v_{z}}{d t} = - g + 0, 165 . \frac{ρ_{a i r}}{R . ρ_{i}} . {v_{z}}^{2}$

مع $ρ_{i}$ الكتلة الحجمية للكرة $(a)$ أو $(b)$

$2$ استنتج تعبير السرعة الحدية لحركة كرة

$3$ تمثل منحنيات الشكلين $2$ و $3$ تطور الأنسوب $z (t)$ والسرعة $v_{z} (t)$ خلال الزمن لمركز القصور $G$ لكل كرة أثناء السقوط

$1 - 3$ اعتمادا على تعبير السرعة الحدية بين أن المنحنى $(C 1)$ يوافق تغيرات سرعة الكرة $(b)$

$2 - 3$ فسر لماذا يوافق المنحنى $(C' 2)$ تغيرات أنسوب الكرة $(a)$

$4$ اعتمادا على المنحنى $(C 2)$ ، حدد طبيعة حركة الكرة $(a)$ واكتب معادلتها الزمنية $z (t)$

$5$ حدد فرق الارتفاع $d$ بين مركزي قصور الكرتين لحظة وصول الكرة الأولى سطح الأرض (نهمل أبعاد الكرتين)

$6$ علما أن القيمة الجبرية لسرعة الكرة $(b)$ عند لحظة $t_{n}$ هي $v_{z n} = - 11, 47 m . s^{- 1}$ ، أوجد باستعمال طريقة أولير قيمة التسارع $a_{z n}$ للحركة عند اللحظة $t_{n}$ و السرعة $v_{z (n + 1)}$ عند اللحظة $t_{n + 1}$ (نأخذ خطوة الحساب $Δ t = 125 m s$ )

الجزء الثاني: دراسة حركة نواس اللي

يهدف هذا الجزء إلى دراسة حركة نواس اللي وتحديد بعض المقادير المرتبطة بها.

نتوفر على نواس اللي المكون من سلك فلزي ثابتة ليه $C$ مثبت في حامل عند نقطة $P$ ، ومن قضيب $M N$ متجانس معلق بالطرف الحر للسلك في مركز قصوره $G$ (الشكل $4$ )

القضيب $M N$ قابل للدوران بدون احتكاك حول المحور $(Δ)$ المنطبق مع السلك الفلزي

عزم قصور القضيب بالنسبة للمحور $(Δ)$ هو $J_{Δ} = 4 . 10^{- 4} K g . m^{2}$

ندرس حركة النواس في معلم مرتبط بمرجع أرضي نعتبره غاليليا

نمعلم موضع القضيب $M N$ في كل لحظة $t$ بأفصوله الزاوي $θ$ بالنسبة لموضع التوازن المستقر (الشكل $4$ )

نختار موضع التوازن المستقر مرجعا لطاقة الوضع اللي $(E_{p t} = 0)$ ، والمستوى الأفقي المار من $G$ مرجعا لطاقة الوضع الثقالية $(E_{p p} = 0)$

نأخذ $π^{2} = 10$

ينجز النواس تذبذبات وسعها $θ_{m} = \frac{π}{4} r a d$ . مكنت دراسة تجريبية من الحصول على منحنى الشكل $5$ الذي يمثل تغيرات السرعة الزاوية للمتذبذب بدلالة الزمن

$1$ بتطبيق العلاقة الأساسية للديناميك في حالة الدوران، أثبت المعادلة التفاضلية لحركة النواس

$2$ يكتب حل هذه المعادلة التفاضلية على الشكل: $θ (t) = θ_{m} . \cos (\frac{2 π}{T_{0}} t + φ)$ حيث $T_{0}$ الدور الخاص للنواس

$1 - 2$ بين أن التعبير العددي للسرعة الزاوية المعبر عنها بـ $r a d . s^{- 1}$ يكتب: $\dot{θ} (t) = 4 . \sin (1, 6 πt + \frac{7 π}{6})$

$2 - 2$ حدد قيمة ثابتة اللي $C$ للسلك

$3$ أوجد قيمة الطاقة الميكانيكية للمتذبذب واستنتج قيمة طاقة الوضع عند أصل التواريخ $t = 0$

الميكانيك

(الجزآن الأول والثاني مستقلان)

الجزء الأول: دراسة حركة سقوط كرتين في الهواء

$1$ إثبات المعادلة التفاضلية التي تحققها السرعة $V_{z}$ لمركز قصور الكرة

المجموعة المدروسة: {الكرة}

جرد القوى: بعد إهمال دافعة أرخميدس تخضع الكرة لقوتين

وزن الكرة: $\vec{P}$

قوة الاحتكاك المائع: $\vec{f}$

تطبيق القانون الثاني لنيوتن: $\sum \vec{F_{e x t}} = m_{1} . \vec{a_{G}}$ أي: $\vec{P} + \vec{f} = m_{1} . \vec{a_{G}}$

الاسقاط على المحور $O z$ :

$- m_{1} . g + f = m_{1} . a_{z} \Rightarrow - g + \frac{f}{m_{1}} = a_{z} = \frac{d V_{z}}{d t}$

ولدينا $m_{1} = ρ_{1} . V = \frac{4}{3} {πR}^{3} . ρ_{1}$ و $f = 0, 22 . ρ_{a i r} . π . R^{2} . {V_{z}}^{2}$

إذن

$\frac{f}{m_{1}} = \frac{0, 22 . ρ_{air} . π . R^{2}}{\frac{4}{3} π . R^{3} . ρ_{1}} {V_{z}}^{2} = 0, 165 \frac{ρ_{air}}{R . ρ_{1}} {V_{z}}^{2}$

$\Rightarrow \frac{{dV}_{z}}{dt} = - g + 0, 165 \frac{ρ_{air}}{R . ρ_{1}} {V_{z}}^{2}$

$2$ تعبير السرعة الحدية لحركة الكرة $(b)$

عندما تأخذ الكرة السرعة الحدية $V_{L}$ يكون $\frac{{dV}_{z}}{dt} = 0$

المعادلة التفاضلية تكتب:

$- g + 0, 165 \frac{ρ_{air}}{R . ρ_{1}} {V_{L}}^{2} = 0 \Rightarrow {V_{L}}^{2} = \frac{g . R . ρ_{1}}{0, 165 . ρ_{air}} \Rightarrow V_{L} = \sqrt{\frac{g . R . ρ_{1}}{0, 165 . ρ_{air}}}$

$3$

$1 - 3$ تحديد السرعة الحدية للكرة $(b)$

$V_{L} = \sqrt{\frac{g . R . ρ_{1}}{0, 165 . ρ_{air}}} = \sqrt{\frac{9, 8 . 10^{- 2} . 94}{0, 165.1, 3}} = 16 m . s^{- 1}$

بما ان منحى حركة الكرة معاكس لمنحى المحور $O z$ ، فإن $V_{L z} = - 16 \frac{m}{s}$

حسب الشكل $3$ السرعة الحدية $V_{L z} = - 16 \frac{m}{s}$ للمنحنى $(C_{1})$ يوافق تغيرات سرعة الكرة $(b)$

$2 - 3$ تفسير موافقة المنحنى $(C_{2})$ تغيرات أنسوب الكرة $(a)$

بمقارنة الكتلة الحجمية للكرتين نلاحظ ان $ρ_{1} > ρ_{2}$

أثناء السقوط، أنسوب الكرة الاثقل هو الاكبر $z (a) > z (b)$ و هو ما يوافق الشكل $3$

إذن المنحنى $(C_{2})$ يوافق تغيرات أنسوب الكرة $(a)$

$4$ طبيعة حركة الكرة $(a)$

حسب مبيان الشكل $3$ يتبين أن منحنى $(C_{2})$ عبارة عن دالة خطية معادلتها تكتب $V_{z} = k . t$

إذن حركة الكرة $(a)$ مستقيمية متغيرة (متسارعة) بانتظام.

المعامل الموجه يكتب $k = \frac{Δ V_{z}}{Δ t} = \frac{18, 4 - 0}{1, 9 - 0} = 9, 68 m . s^{- 2}$

معادلة السرعة تكتب $V_{z} = 9, 68 t$

التكامل يعطي $z = \frac{9, 68}{2} t^{2} + z_{0}$

ولدينا $z_{0} = h = 69 m$

إذن المعادلة الزمنية تكتب

$z (t) = 4, 84 t^{2} + 69$

$5$ تحديد فرق الارتفاع $d$ بين مركزي الكرتين لحظة وصول الكرة الأولى إلى سطح الارض

حسب مبيان الشكل $2$ تصل الكرة $(a)$ إلى سطح الارض عند اللحظة $t = 3, 8 s$

عند هذه اللحظة يكون أنسوب الكرة $(b)$ هو $26 m$ وبالتالي المسافة $d = 26 m$

$6$ قيمة التسارع $a_{n}$

حسب المعادلة التفاضلية لسرعة للكرة $(b)$ :

$a_{z} = \frac{{dV}_{z}}{dt} = - g + 0, 165 \frac{ρ_{air}}{R . ρ_{1}} {V_{z}}^{2} a_{z} = - 9, 8 + 3, 8 . 10^{- 2} {V_{z}}^{2}$

باستعمال طريقة اولير

$a_{n} = - 9, 8 + 3, 8 . 10^{- 2} {V_{n}}^{2} a_{n} \approx - 4, 8 m . s^{- 2}$

حساب السرعة $V_{n + 1}$

$V_{n + 1} = a_{n} . Δ t + V_{n} V_{n + 1} = - 4, 8.0, 125 - 11, 47 V_{n + 1} \approx - 12, 07 m . s^{- 1}$

الجزء الثاني: دراسة حركة نواس اللي

$1$ إثبات المعادلة التفاضلية لحركة النواس

المجموعة المدروسة: {القضيب}

جرد القوى التي يخضع لها القضيب:

الوزن: $\vec{P}$

تاثير السلك: $\vec{T}$

تأثير مزدوجة اللي ذات العزم $M_{T} = - C . θ$

تطبيق العلاقة الأساسية لديناميك الدوران: $M_{Δ} (\vec{P}) + M_{Δ} (\vec{T}) + M_{T} = J_{Δ} . \ddot{θ}$

خطا تأثير القوتين $\vec{P}$ و $\vec{T}$ يتقاطعان مع محور الدوران $(Δ)$ إذن $M_{Δ} (\vec{P}) = M_{Δ} (\vec{T}) = 0$

$\Rightarrow - C . θ = J_{Δ} . \ddot{θ} \Rightarrow \ddot{θ} + \frac{C}{J_{Δ}} . θ = 0$

$2$

$1 - 2$ إثبات التعبير العددي للسرعة الزاوية

حل المعادلة الزمنية يكتب: $θ (t) = θ_{m} \cos (\frac{2 π}{T_{0}} . t + φ)$

اشتقاق الافصول الزاوي:

$\dot{θ} (t) = - \frac{2 π}{T_{0}} . θ_{m} . \sin (\frac{2 π}{T_{0}} . t + φ) \dot{θ} (t) = {\dot{θ}}_{m} . \sin (\frac{2 π}{T_{0}} . t + φ + π)$

مبيانيا قيمة الدور الخاص: $T_{0} = 1, 25 s$ ومنه $\frac{2 π}{T_{0}} = 1, 6 π$

${\dot{θ}}_{m} = \frac{2 π}{T_{0}} . θ_{m} \approx 4 r a d . s^{- 1}$ مع $- {\dot{θ}}_{m} \leq \dot{θ} \leq {\dot{θ}}_{m}$

عند اللحظة $t = 0$ لدينا

$\dot{θ} (t) = - \frac{2 π}{T_{0}} . θ_{m} . \sin φ \dot{θ} (t) = - \frac{{\dot{θ}}_{m}}{2} \Rightarrow - {\dot{θ}}_{m} \sin φ = - \frac{{\dot{θ}}_{m}}{2} \Rightarrow \sin φ = \frac{1}{2} = \sin (\frac{π}{6}) \Rightarrow φ = \pm \frac{π}{6} = \frac{π}{6} (\dot{θ} (0) < 0)$

تعبير السرعة الزاوية:

$\dot{θ} (t) = 4 . \sin (1, 6 π . t + \frac{7 π}{6})$

$2 - 2$ تحديد قيمة $C$

حسب تعبير الدور الخاص لنواس اللي

$T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{J_{Δ}}{C}} \Rightarrow {T_{0}}^{2} = 4 π^{2} \frac{J_{Δ}}{C} \Rightarrow C = 4 π^{2} \frac{J_{Δ}}{{T_{0}}^{2}}$

ت.ع: $C = 4 π^{2} \frac{4 . 10^{- 4}}{1, 25^{2}} = 1, 01 . 10^{- 2} N . m^{- 1}$

$3$ الطاقة الميكانيكية للمتذبذب

باعتبار الاحتكاكات مهملة، فإن الطاقة الميكانيكية للنواس تنحفظ:

$E_{m} = E_{c} + E_{p t} = \frac{1}{2} J_{Δ} . {\dot{θ}}^{2} + \frac{1}{2} C . θ^{2}$

عندما تكون الطاقة الحركية قصوية $E_{c_{m a x}}$ تكون طاقة وضع اللي منعدمة $E_{p t_{m i n}}$ ، والعكس صحيح

استنتاج طاقة وضع اللي عند اللحظة $t = 0$

الطاقة الميكانيكية تنحفظ:

$E_{m} = E_{m 0} = E_{c 0} + E_{p t 0} \Rightarrow E_{p t 0} = E_{m 0} - E_{c 0}$

مبيانيا حسب الشكل $5$ نجد $\dot{θ} (0) = - \frac{{\dot{θ}}_{m}}{2}$

إذن

$E_{p t 0} = E_{m} - E_{c 0} E_{p t 0} = \frac{1}{2} J_{Δ} . {\dot{θ}}_{m}^{2} - \frac{1}{2} J_{Δ} . \dot{θ} {(0)}^{2} E_{p t 0} = \frac{1}{2} J_{Δ} ({\dot{θ}}_{m}^{2} - \frac{1}{4} {\dot{θ}}_{m}^{2}) E_{p t 0} = \frac{3}{4} . \frac{1}{2} J_{Δ} . {\dot{θ}}_{m}^{2} E_{p t 0} = \frac{3}{4} . E_{m}$

ت.ع: $E_{p t 0} = 2, 4 m J$