Séance 17-1 : Produit scalaire dans l'espace (Cours)

Sommaire

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définitions et notations

1-2/ Orthogonalité de deux vecteurs

1-3/ Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

1-4/ Norme d'un vecteur de l'espace

II- Étude analytique du produit scalaire

2-1/ Base orthonormale - Repère orthonormal

2-2/ Expression analytique du produit scalaire

2-3/ Ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM}=k$

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-1/ Vecteur normal à un plan

3-2/ Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal

3-3/ Parallélisme et orthogonalité

3-4/ Distance d’un point à un plan de l’espace

IV- La sphère dans l’espace

4-1/ Définition

4-2/ Équation cartésienne d’une sphère

4-3/ Représentation paramétrique d'une sphère

4-4/ Ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace tels que $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$

4-5/ Ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$

4-6/ Intersection d'une sphère et d'une droite

4-7/ Intersection d'une sphère et d'un plan

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définitions et notations

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace, et $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non nuls, le produit scalaire des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ dans l'espace est le produit scalaire des deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans le plan $\left(ABC\right)$ si $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, ou dans tout plan comprenant $A$, $B$ et $C$, on le note : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$

- Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, on convient que : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définitions et notations

Remarques

Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $\left(AB\right)$.

- Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont le même sens, alors $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH$, cela correspond au cas où l’angle géométrique $\widehat{BAC}$ est aigu.

- Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont des sens contraires, alors $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$, cela correspond au cas où l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est obtus.

Toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan restent valables dans l'espace.

I- Produit scalaire dans l’espace

1-1/ Définitions et notations

Applications

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle tel que $AE=5$, $AB=8$ et $AD=6$.

1. Calculer les produits scalaires suivants : $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BG} ; \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HF} ; \overrightarrow{AE}.\overrightarrow{DG}$

Soit $ABCEFG$ un prisme droit tel que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

On suppose que $AC=3$ et $AB=4$ et $AE=8$.

2. Calculer les produits scalaires suivants : $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AF} ; \overrightarrow{CG}.\overrightarrow{AF} ; \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{EG}$

I- Produit scalaire dans l’espace

1-2/ Orthogonalité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l'espace sont orthogonaux si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.

On écrit : $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$

I- Produit scalaire dans l’espace

1-3/ Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

Proposition

Soit $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace ${\mathcal{V}}_3$ et $k$ un nombre réel.

On a les propriétés suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u} \\ \boxed{2} \left(k\overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}.\left(k\overrightarrow{v}\right)=k\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right) \\ \boxed{3} \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} \end{gathered}$$

On dit que le produit scalaire est une opération symétrique et bilinéaire.

I- Produit scalaire dans l’espace

1-3/ Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

Applications

Soit $ABCD$ un tétraèdre régulier dont toutes les arêtes ont la même longueur $a$.

Soit $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $\left[BC\right]$ et $\left[AD\right]$ :

1. Calculer $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}$, puis en déduire $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AD}$.

2. Calculer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$, et en déduire $\overrightarrow{AJ}.\overrightarrow{CK}$ en fonction de $a$.

I- Produit scalaire dans l’espace

1-4/ Norme d'un vecteur de l'espace

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur de l'espace.

Le produit scalaires $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}$ s'appelle le carré scalaire du vecteur $\overrightarrow{u}$, et se note ${\overrightarrow{u}}^2$.

Le nombre réel positif $\sqrt{{\overrightarrow{u}}^2}$ est appelé la norme du vecteur $\overrightarrow{u}$, et on écrit : $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{{\overrightarrow{u}}^2}$

Remarque

En posant $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, on a : ${\overrightarrow{u}}^2={\overrightarrow{AB}}^2=A{B}^2={||\overrightarrow{AB}||}^2$

I- Produit scalaire dans l’espace

1-4/ Norme d'un vecteur de l'espace

Proposition

Soit  $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace ${\mathcal{V}}_3$ et $k$ un nombre réel.

On a :

1) $||\overrightarrow{u}||=0\iff \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

2) $||k.\overrightarrow{u}||=\left|k\right|.||\overrightarrow{u}||$

3) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||.\cos \left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)$

4) Inégalité triangulaire : $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||\le ||\overrightarrow{u}||+||\overrightarrow{v}||$

5) Inégalité de Cauchy-Schwarz : $\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right|\le ||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||$

6) Identités remarquables :

$$\begin{gathered} {||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||}^2={||\overrightarrow{u}||}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{||\overrightarrow{v}||}^2 \\ {||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||}^2={||\overrightarrow{u}||}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{||\overrightarrow{v}||}^2 \\ {||\overrightarrow{u}||}^2-{||\overrightarrow{v}||}^2=\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right).\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right) \end{gathered}$$

II- Étude analytique du produit scalaire

2-1/ Base orthonormale - Repère orthonormal

Définition

Soit $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ un repère de l'espace $\mathcal{E}$.

- On dit que la base $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ est orthonormale (ou orthonormée) lorsque :

$\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$ et $||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=||\overrightarrow{k}||=1$

- On dit que le repère $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ est orthonormal (ou orthonormé) lorsque la base $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ est orthonormale.

II- Étude analytique du produit scalaire

2-2/ Expression analytique du produit scalaire

Proposition

Soit  $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace ${\mathcal{V}}_3$.

Si $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'};z\text{'}\right)$, alors : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx\text{'}+yy\text{'}+zz\text{'}$ et $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

II- Étude analytique du produit scalaire

2-2/ Expression analytique du produit scalaire

Proposition

Soit $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ deux points de l'espace $\mathcal{E}$.

Alors : $AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$

II- Étude analytique du produit scalaire

2-2/ Expression analytique du produit scalaire

Applications

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{w}=\left(4-3m\right)\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}+\left(1-m\right)\overrightarrow{k} \left(m\in \mathrm{ℝ}\right)$.

1. a- Calculer : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} ; \overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} ; ||\overrightarrow{u}|| ; ||\overrightarrow{v}||$

1. b- Déterminer la valeur de réel $m$ pour laquelle $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont orthogonaux.

1. c- Calculer $\cos \left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)$.

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle tel que $AB=AE=2$ et $AD=4$.

Soit $I$ le centre du carré $ABFE$ et $J$ le milieu du segment $\left[EH\right]$.

2. a- Vérifier que le repère $\left(A;\frac{1}{2}\overrightarrow{AB};\frac{1}{4}\overrightarrow{AD};\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}\right)$ est orthonormé.

2. b- Déterminer, dans ce repère, les coordonnées des points $I$, $J$ et $G$.

2. c- Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{JI}.\overrightarrow{JG}$ et les distances $JI$ et $JG$.

II- Étude analytique du produit scalaire

2-3/ Ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM}=k$

Proposition

Soit $\overrightarrow{u}\left(a;b;c\right)$ un vecteur non nul de l'espace ${\mathcal{V}}_3$, $A$ un point et $k$ un nombre réel.

L'ensemble des points $M$ de l'espace  tels que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM}=k$ est un plan dont une équation cartésienne est de la forme :

$ax+by+cz+d=0$

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-1/ Vecteur normal à un plan

Définition

Un vecteur $\overrightarrow{n}$ non nul de l'espace est normal à un plan $\mathcal{P}$ lorsque toute droite de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$.

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-2/ Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal

Proposition

Soit $a$,$b$, $c$ et $d$ des nombres réels tels que $\left(a;b;c\right)\ne \left(0;0;0\right)$.

- Un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)$ a une équation cartésienne de la forme : $ax+by+cz+d=0$

- Réciproquement, l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan dont un vecteur normal est $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)$.

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-2/ Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal

Applications

1. Déterminer un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \mathcal{P} : 2x-y+8z-1=0 \\ \boxed{2} \mathcal{P} : 3x-2z+10=0 \\ \boxed{3} \mathcal{P} : 2y+3=0 \end{gathered}$$

2. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{Q}$ passant par $B\left(-1;0;3\right)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(2;-3;4\right)$.

On considère les points $A\left(1;-1;1\right)$, $B\left(0;2;-1\right)$ et $C\left(-1;1;0\right)$.

3. a- Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

3. b- Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\left(1;3;4\right)$ est normal au plan $\left(ABC\right)$.

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-3/ Parallélisme et orthogonalité

Proposition

Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}\text{'}$ deux plans et $\mathcal{D}$ une droite dans l'espace.

Soit $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n\text{'}}$ deux vecteurs normaux respectivement à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}\text{'}$, et $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

Alors :

1) Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}\text{'}$ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n\text{'}}$ sont colinéaires.

2) Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}\text{'}$ sont orthogonaux si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n\text{'}}$ sont orthogonaux.

3) La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux.

4) La droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-3/ Parallélisme et orthogonalité

Applications

On considère les deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ définis par les équations cartésiennes :

$$\begin{gathered} \mathcal{P} : 2x-3y+z+1=0 \\ \mathcal{Q} : \left(m-1\right)x+2y+\left(2m-3\right)z+7=0 \end{gathered}$$

1. Déterminer la valeur de $m$ qui pour laquelle les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont orthogonaux.

2. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}\text{'}$ passant par $A\left(-1;-1;0\right)$ et parallèle au plan $\mathcal{P}$.

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-4/ Distance d’un point à un plan de l’espace

Définition

Soit $\mathcal{P}$ un plan et $A$ un point de l'espace.

La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$, notée $d\left(A;\mathcal{P}\right)$, est la distance $AH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$ : $d\left(A;\mathcal{P}\right)=AH$

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-4/ Distance d’un point à un plan de l’espace

Définition

La distance du point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ est donnée par la formule suivante :

$d\left(A;\mathcal{P}\right)=\frac{\left|a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

III- Plan défini par un point et un vecteur normal

3-4/ Distance d’un point à un plan de l’espace

Applications

On considère les plans $\mathcal{P} : x+y-z+1=0$ et $\mathcal{Q} : 2x+y+2z-3=0$.

1. a- Calculer $d\left(A;\mathcal{P}\right)$ et $d\left(A;\mathcal{Q}\right)$ sachant que $A\left(2;1;-1\right)$.

1. b- Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace $\mathcal{E}$ tels que $d\left(M;\mathcal{P}\right)=d\left(M;\mathcal{Q}\right)$.

On considère les points $A\left(1;-1;2\right)$ et $B\left(2;0;1\right)$, et les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ donnés par les équations :

 $\mathcal{P} : x+y-z-1=0$ et $\mathcal{Q} : 2x+y-z+1=0$

2. a- Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.

2. b- Montrer que le point $H\left(2;0;1\right)$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.

2. c- Calculer $d\left(A;\mathcal{Q}\right)$. Que peut-en déduire ?

On considère dans l'espace $\mathcal{E}$ le point $A\left(-1;1;1\right)$ et plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $2x-y+z-2=0$

3. a- Déterminer les coordonnées du point $H$ projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.

Pour tout réel $m$, on pose : ${\mathcal{Q}}_m=\left\{M\in \mathcal{E}/\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AH}=m\right\}$

3. b- Déterminer analytiquement l'ensemble ${\mathcal{Q}}_m$.

3. c- Déterminer m tel que $d\left(A;{\mathcal{Q}}_m\right)=d\left(A;\mathcal{P}\right)$

IV- La sphère dans l’espace

4-1/ Définition

Définition

Soit $\Omega$ un point de l'espace et $R$ un réel positif.

La sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que : $\Omega M=R$

On la note : $S\left(\Omega ;R\right)$

Soit $A$ et $B$ deux points de la sphère $\mathcal{S}$.

Le segment $\left[AB\right]$ est appelé diamètre de la sphère $\mathcal{S}$ lorsque le centre $\Omega$ de la sphère $\mathcal{S}$ est le milieu du segment $\left[AB\right]$.

IV- La sphère dans l’espace

4-2/ Équation cartésienne d’une sphère

Proposition

Soit $R$ un réel positif et $\Omega \left(a;b;c\right)$ un point de l'espace.

Une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est donnée par :

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

IV- La sphère dans l’espace

4-2/ Équation cartésienne d’une sphère

Applications

1. Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \Omega \left(2;0;-1\right) et R=\sqrt{2} \\ \boxed{2} \Omega \left(-3;1;-2\right) et R=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

IV- La sphère dans l’espace

4-3/ Représentation paramétrique d'une sphère

Proposition

Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega \left(a;b;c\right)$ et de rayon $R$.

Le point $M(x;y;z)$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$ si, est seulement si :

$\left\{\begin{array}{c}x=a+R\sin \phi .\cos \theta \\ y=b+R\sin \phi .\sin \theta \\ z=c+R\cos \phi \end{array}\right. \left(\phi ;\theta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$

Ce système est appelé une représentation paramétrique de la sphère $\mathcal{S}$.

IV- La sphère dans l’espace

4-3/ Représentation paramétrique d'une sphère

Applications

1. Déterminer une représentation paramétrique de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega \left(\frac{3}{2};-1;\frac{1}{2}\right)$ et de rayon $R=\sqrt{3}$.

IV- La sphère dans l’espace

4-4/ Ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace tels que $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$

Proposition

Soit $\mathcal{S}$ l’ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace tels que :

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$

où $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels.

1) Si $a^2+b^2+c^2-d>0$, alors $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $\Omega \left(a;b;c\right)$ et de rayon $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

2) Si $a^2+b^2+c^2-d=0$, alors : $\mathcal{S}=\left\{\Omega \left(a;b;c\right)\right\}$

3) Si $a^2+b^2+c^2-d<0$, alors : $\mathcal{S}=\varnothing$

IV- La sphère dans l’espace

4-4/ Ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace tels que $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$

Applications

1. Déterminer l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace $\mathcal{E}$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} {\mathcal{S}}_1 : x^2+y^2+z^2-4x+6y=0 \\ {\mathcal{S}}_2 : x^2+y^2+z^2+x-3y+4z+\frac{13}{2}=0 \\ {\mathcal{S}}_3 : x^2+y^2+z^2-x-3y+2z-\frac{7}{2}=0 \\ {\mathcal{S}}_4 : x^2+y^2+z^2+x-3y-2z+9=0 \end{gathered}$$

IV- La sphère dans l’espace

4-5/ Ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$

Proposition

Soit $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace $\mathcal{E}$.

1) L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ est la sphère de diamètre $\left[AB\right]$.

2) Une équation cartésienne de la sphère  est donnée par :

$\left(x-x_A\right)\left(x-x_B\right)+\left(y-y_A\right)\left(y-y_B\right)+\left(z-z_A\right)\left(z-z_B\right)=0$

IV- La sphère dans l’espace

4-5/ Ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$

Applications

On Applications considère dans l'espace $\mathcal{E}$ les points suivants :

$A\left(2;0;1\right) ; B\left(1;-1;1\right) ; C\left(0;0;-1\right)$

1. a- Déterminer une équation cartésienne de la sphère  de diamètre $\left[AB\right]$.

1. b- Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$. Que peut-en déduire ?

2. a- Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ de diamètre $\left[AC\right]$.

2. b- En déduire le centre et le rayon de la sphère $\mathcal{S}$.

IV- La sphère dans l’espace

4-6/ Intersection d'une sphère et d'une droite

Proposition

Soit $\mathcal{S}\left(\Omega ;R\right)$ une sphère et $\mathcal{D}$ une droite de l’espace $\mathcal{E}$.

On désigne par $d$ la distance du point $\Omega$ à la droite $\mathcal{D}$, et $H$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\mathcal{D}$.

On a les propriétés suivantes :

1) Si $d>R$, alors $\mathcal{D}\cap \mathcal{S}=\varnothing$. On dit que la droite $\mathcal{D}$ est à l’extérieur de la sphère $\mathcal{S}$.

2) Si $d=R$, alors $\mathcal{D}\cap \mathcal{S}=\left\{H\right\}$. On dit que la droite $\mathcal{D}$ est tangente à la sphère $\mathcal{S}$ au point $H$.

3) Si $d<R$, alors $\mathcal{D}\cap \mathcal{S}=\left\{A,B\right\}$. On dit que la droite $\mathcal{D}$ est perce la sphère $\mathcal{S}$ aux points $A$ et $B$.

IV- La sphère dans l’espace

4-7/ Intersection d'une sphère et d'un plan

Proposition

Soit $\mathcal{S}\left(\Omega ;R\right)$ une sphère et $\mathcal{D}$ une droite de l’espace $\mathcal{E}$.

On désigne par $d$ la distance du point $\Omega$ au plan $\mathcal{P}$, et $H$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\mathcal{P}$.

On a les propriétés suivantes :

1) Si $d>R$, alors $\mathcal{P}\cap \mathcal{S}=\varnothing$. On dit que le plan $\mathcal{P}$ est à l’extérieur de la sphère $\mathcal{S}$.

2) Si $d=R$, alors $\mathcal{P}\cap \mathcal{S}=\left\{H\right\}$. On dit que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ au point $H$.

3) Si $d<R$, alors $\mathcal{P}\cap \mathcal{S}=\mathcal{C}$ où $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $H$ et de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$. On dit que le plan $\mathcal{P}$ coupe la sphère $\mathcal{S}$ selon le cercle $\mathcal{C}\left(H;\sqrt{R^2-d^2}\right)$.

IV- La sphère dans l’espace

4-7/ Intersection d'une sphère et d'un plan

Applications

1. Étudier l’intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \mathcal{S} : x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0 et \mathcal{P} : x-2y+2z-3=0 \\ \boxed{2} \mathcal{S} : x^2+y^2+z^2+6y-4z+9=0 et \mathcal{P} : x-2y+2z-3=0 \\ \boxed{3} \mathcal{S} : x^2+y^2+z^2+2y-4z-7=0 et \mathcal{P} : x+y+z-4=0 \\ \boxed{4} \mathcal{S} : x^2+y^2+z^2-2x-4z+1=0 et \mathcal{P} : x-2y+2z+1=0 \\ \boxed{5} \mathcal{S} : x^2+y^2+z^2-2x-4z+1=0 et \mathcal{P} : 2x+y+z=0 \end{gathered}$$

2. Donner une équation de la sphère de centre $\Omega \left(-1;2;3\right)$ et tangente au plan $\mathcal{P}$ d’équation : $x-2y+2z+1=0$

IV- La sphère dans l’espace

4-7/ Intersection d'une sphère et d'un plan

Proposition

Soit $\mathcal{S}$ une sphère de centre $\Omega$ et soit $A\in \mathcal{S}$.

Il existe un seul plan $\mathcal{P}$ tangent à la sphère $\mathcal{S}$ en $A$, il est défini par : $M\in \mathcal{P}\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{A\Omega }=0$

Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donnée par :

$M(x;y;z)\in \mathcal{P}\iff \left(x_{\Omega }-x_A\right)\left(x-x_A\right)+\left(y_{\Omega }-y_A\right)\left(y-y_A\right)+\left(z_{\Omega }-z_A\right)\left(z-z_A\right)=0$