Séance 16-1 : Étude analytique de l'espace (Cours)

Sommaire

I- Coordonnées d’un point dans un repère - Coordonnées d’un vecteur dans une base

1-1/ Repère et base de l’espace

1-2/ Coordonnées d'un point dans un repère

1-3/ Coordonnées d'un vecteur dans une base

II- Condition de colinéarité de deux vecteurs

III- Condition de coplanarité de trois vecteurs

IV- Étude analytique d’une droite de l’espace

4-1/ Représentation paramétrique d'une droite

4-2/ Équations cartésiennes d'une droite

V- Étude analytique d’un plan de l’espace

5-1/ Représentation paramétrique d’un plan

5-2/ Équation cartésienne d'un plan

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-1/ Positions relatives de deux droites

6-2/ Positions relatives d'une droite et d'un plan

6-3/ Positions relatives de deux plans

I- Coordonnées d’un point dans un repère - Coordonnées d’un vecteur dans une base

1-1/ Repère et base de l’espace

Définition

Soit $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ trois vecteurs non coplanaires de l’espace ${\mathcal{V}}_3$ et $O$ un point de l’espace $\mathcal{E}$.

Le triplet $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ est appelé une base de l'espace ${\mathcal{V}}_3$.

Le quadruplet $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ est appelé un repère de l'espace $\mathcal{E}$.

Remarque

Quatre points non coplanaires $O$, $A$, $B$ et $C$ déterminent une base et un repère de l’espace.

Par exemple, $\left(O,\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\right)$ est un repère de l’espace $\mathcal{E}$.

I- Coordonnées d’un point dans un repère - Coordonnées d’un vecteur dans une base

1-2/ Coordonnées d'un point dans un repère

Définition

Soit $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ un repère de l’espace $\mathcal{E}$.

Pour tout point $M$ de l’espace , il existe un unique triplet $\left(x;y;z\right)$ tel que : $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

Le triplet $\left(x;y;z\right)$ est appelé triplet de coordonnées du point $M$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

$x$ est l’abscisse du point $M$, $y$ est l’ordonnée du point $M$ et $z$ est la cote du point $M$.

On écrit : $M\left(x;y;z\right)$ ou $M\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

I- Coordonnées d’un point dans un repère - Coordonnées d’un vecteur dans une base

1-2/ Coordonnées d'un point dans un repère

Remarques

- Tous les résultats de la géométrie plane s’étendent à l’espace par l'adjonction d’une troisième coordonnées, la cote.

- Soit $x$, $y$ et $z$ des nombres réels. Alors :

I- Coordonnées d’un point dans un repère - Coordonnées d’un vecteur dans une base

1-3/ Coordonnées d'un vecteur dans une base

Proposition

Soit $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ une base de l'espace ${\mathcal{V}}_3$.

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ de l'espace ${\mathcal{V}}_3$, il existe un unique triplet $\left(x;y;z\right)$ tel que : $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

Le triplet $\left(x;y;z\right)$ est appelé triplet de coordonnées ou de composantes du vecteur $\overrightarrow{u}$ dans la base $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

On écrit : $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$ ou $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

I- Coordonnées d’un point dans un repère - Coordonnées d’un vecteur dans une base

1-3/ Coordonnées d'un vecteur dans une base

Proposition

Soit $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'};z\text{'}\right)$ deux vecteurs de ${\mathcal{V}}_3$ muni d’une base $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ et $\lambda \in \mathrm{ℝ}$.

Alors :

- $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff \left(x=x\text{'} et y=y\text{'} et z=z\text{'}\right)$

- $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\left(x+x\text{'}; y+y\text{'}; z+z\text{'}\right)$ et $\lambda \overrightarrow{u}\left(\lambda x;\lambda y;\lambda z\right)$

Soit $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ deux points de $\mathcal{E}$ muni d’un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Alors :

- Le triplet de coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est : $\left(x_B-x_A;y_B-y_B;z_B-z_A\right)$

- Le triplet de coordonnées du milieu du segment $\left[AB\right]$ est : $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

I- Coordonnées d’un point dans un repère - Coordonnées d’un vecteur dans une base

1-3/ Coordonnées d'un vecteur dans une base

Applications

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

On note $O$ le centre du carré, $I$ le milieu du segment $\left[BG\right]$ et $J$ le centre de gravité du triangle $BFH$.

1. Déterminer les coordonnées des points $D$, $H$, $G$, $O$, $I$ et $J$ dans le repère $(A,\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$.

Dans l'espace muni d’un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points :

$E\left(-1;2;4\right) ; F\left(\frac{1}{2};-1;3\right) ; G\left(0;-1;-\frac{3}{2}\right)$

2. Déterminer les coordonnées de chacun des vecteurs $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EG}$, $\overrightarrow{GF}$ et $\overrightarrow{OG}$.

Dans l'espace muni d’un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points :

$A\left(-1;1;2\right) ; B\left(3;\frac{1}{2};-1\right) ; C\left(0;-1;1\right)$

3. a- Déterminer les coordonnées de chacun des vecteurs : $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}$

3. b- Déterminer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$ milieux respectifs des segments $\left[AB\right]$, $\left[BC\right]$ et $\left[AC\right]$.

II- Condition de colinéarité de deux vecteurs

Théorème

Soit $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'};z\text{'}\right)$ deux vecteurs de ${\mathcal{V}}_3$ muni d’une base $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si :

${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}x& x\text{'}\\ y& y\text{'}\end{array}\right|=0$ et ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}x& x\text{'}\\ z& z\text{'}\end{array}\right|=0$ et ${\Delta }_3=\left|\begin{array}{cc}y& y\text{'}\\ z& z\text{'}\end{array}\right|=0$

Les réels ${\Delta }_1=xy\text{'}-x\text{'}y$, ${\Delta }_2=xz\text{'}-x\text{'}z$ et ${\Delta }_3=yz\text{'}-y\text{'}z$ sont appelés les déterminants extraits des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

II- Condition de colinéarité de deux vecteurs

Applications

On considère les vecteurs $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{c}=\left(m^2-1\right)\overrightarrow{i}+2m\overrightarrow{j}+2\left(m^2-m-1\right)\overrightarrow{k}$.

1. a- Les vecteurs $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ sont-ils colinéaires ? Justifier la réponse.

1. b- Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles les vecteurs $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{c}$ sont colinéaires.

2. Étudier l'alignement des points $A\left(1;2;3\right)$, $B\left(-1;3;2\right)$ et $C\left(3;-2;1\right)$.

III- Condition de coplanarité de trois vecteurs

Définition

Soit $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$, $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'};z\text{'}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(x";y";z"\right)$ trois vecteurs de ${\mathcal{V}}_3$ muni d’une base $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ dans cet ordre est le réel noté $det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)$ et défini par:

$det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)=\left|\begin{array}{ccc}x& x\text{'}& x"\\ y& y\text{'}& y"\\ z& z\text{'}& z"\end{array}\right|=x\left|\begin{array}{cc}y\text{'}& y"\\ z\text{'}& z"\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{cc}x\text{'}& x"\\ z\text{'}& z"\end{array}\right|+z\left|\begin{array}{cc}x\text{'}& x"\\ y\text{'}& y"\end{array}\right|$

III- Condition de coplanarité de trois vecteurs

Applications

On considère les vecteurs :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k} ; \overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{w}=5\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k} ; \overrightarrow{a}=\left(m-1\right)\overrightarrow{i}+2m\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k} \end{gathered}$$

1. Déterminer $det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)$.

2. Déterminer les valeurs du réel $m$ pour lesquelles $det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{a}\right)=0$.

III- Condition de coplanarité de trois vecteurs

Théorème

Soit $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$, $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'};z\text{'}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(x";y";z"\right)$ trois vecteurs de ${\mathcal{V}}_3$ muni d’une base $\left(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si, et seulement si : $det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)=0$

III- Condition de coplanarité de trois vecteurs

Applications

Dans l'espace rapporté à un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points :

$$\begin{gathered} A\left(-3;2;0\right) ; B\left(1;-1;2\right) ; C\left(4;-3;5\right) ; D\left(-1;1;1\right) \\ E\left(2m-1;m+1;3\right) où m\in \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

1. Étudier la coplanarité des points $A$, $B$,$C$ et $D$.

2. Déterminer les valeurs de réel m qui pour lesquelles les points $A$, $B$,$C$ et $E$ sont coplanaires.

IV- Étude analytique d’une droite de l’espace

4-1/ Représentation paramétrique d'une droite

Théorème

L’espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ un point de $\mathcal{E}$ et $\overrightarrow{u}\left(a;b;c\right)$ un vecteur non nul.

Le point $M\left(x;y;z\right)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow{u}$ si, et seulement si :

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{array}\end{array}\right. \left(t\in \mathrm{ℝ}\right)$

Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

IV- Étude analytique d’une droite de l’espace

4-1/ Représentation paramétrique d'une droite

Remarques

- Une droite de l'espace possède une infinité de représentations paramétriques.

- Le réel $t$ dans le théorème précédent est appelé le paramètre de la droite $\mathcal{D}$. C'est le paramètre le plus souvent utilisé dans les sciences physiques pour étudier les mouvements temporels.

Mais rien n'empêche d'utiliser d'autres paramètres généraux comme : $k ; \alpha ; \beta ; \lambda ; ...$

- Pour une demi-droite, il suffit de remplacer $t\in \mathrm{ℝ}$ par $t\in I$ où $I$ est un intervalle de la forme $[\alpha ;+\infty [$ ou $]\alpha ;+\infty [$ ou $]-\infty ;\alpha ]$ ou $]-\infty ;\alpha [$.

- Pour un segment, il suffit de remplacer $t\in \mathrm{ℝ}$ par $t\in \left[\alpha ;\beta \right]$.

IV- Étude analytique d’une droite de l’espace

4-1/ Représentation paramétrique d'une droite

Applications

Dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, on considère les  points $A\left(1;-2;3\right)$, $B\left(0;1;-1\right)$ et $C\left(2;0;3\right)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\left(AB\right)$.

2. Le point $C$ appartient-il à la droite $\left(AB\right)$ ? Justifier votre  réponse.

On considère la droite $\mathcal{D}$ définie par sa représentation paramétrique : $\mathcal{D} : \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=3-5t\\ z=3t\end{array}\end{array}\right. \left(t\in \mathrm{ℝ}\right)$

3. a- Déterminer un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ et point appartenant à $\mathcal{D}$.

3. b- Montrer que $A\in \mathcal{D}$.

IV- Étude analytique d’une droite de l’espace

4-2/ Équations cartésiennes d'une droite

Théorème

L'espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dirigée par $\overrightarrow{u}\left(a;b;c\right)$.

- Si $abc\ne 0$, alors le système $\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}$ est appelé équation cartésienne de $\mathcal{D}$.

- Si $ab\ne 0$ et $c=0$, alors le système $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}\\ z-z_A=0\end{array}\right.$ est appelé équation cartésienne de $\mathcal{D}$.

- Si $a=0$ et $b=0$, alors le système $\left\{\begin{array}{l}x=x_A\\ y=y_A\end{array}\right.$ est appelé équation cartésienne de $\mathcal{D}$.

IV- Étude analytique d’une droite de l’espace

4-2/ Équations cartésiennes d'une droite

Applications

Soit $\mathcal{D}$ la droite définie par les deux équations cartésiennes :

$\frac{2x-1}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{3-4z}{4}$

1. a- Déterminer un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ et un point appartenant à $\mathcal{D}$.

1. b- En déduire une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

2. Déterminer deux équations cartésiennes de la droite $\left(OE\right)$ où $E\left(-2;5;-7\right)$.

V- Étude analytique d’un plan de l’espace

5-1/ Représentation paramétrique d’un plan

Théorème

L’espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ un point de $\mathcal{E}$, et $\overrightarrow{u}\left(a;b;c\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(a\text{'};b\text{'};c\text{'}\right)$ deux vecteurs non nuls.

Le point $M\left(x;y;z\right)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ si, et seulement si :

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=x_A+at+a\text{'}k\\ y=y_A+bt+b\text{'}k\\ z=z_A+ct+c\text{'}k\end{array}\end{array}\right. \left(\left(t,k\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right)$

Ce système est appelé une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$.

V- Étude analytique d’un plan de l’espace

5-1/ Représentation paramétrique d’un plan

Applications

Dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A\left(-1;1;1\right)$, $B\left(0;2;-1\right)$ et .

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas coplanaires.

2. Déterminer une représentation paramétrique du plan $\left(ABC\right)$.

3. Le point $D\left(2;-2;-3\right)$ appartient-il au plan $\left(ABC\right)$ ? Justifier.

V- Étude analytique d’un plan de l’espace

5-2/ Équation cartésienne d'un plan

Théorème

L’espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\alpha ;\beta ;\gamma \right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\alpha \text{'};\beta \text{'};\gamma \text{'}\right)$.

Le plan $\mathcal{P}$ est l'ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace qui vérifiant l'équation donnée par :

$det\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=\left|\begin{array}{ccc}x-x_A& \alpha & \alpha \text{'}\\ y-y_A& \beta & \beta \text{'}\\ z-z_A& \gamma & \gamma \text{'}\end{array}\right|=0$

Cette équation est de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec :

$a=\left|\begin{array}{cc}\beta & \beta \text{'}\\ \gamma & \gamma \text{'}\end{array}\right| ; b=\left|\begin{array}{cc}\alpha & \alpha \text{'}\\ \gamma & \gamma \text{'}\end{array}\right| ; c=\left|\begin{array}{cc}\alpha & \alpha \text{'}\\ \beta & \beta \text{'}\end{array}\right| ; d=-\left(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A\right)$

L’écriture $ax+by+cz+d=0$ est appelée équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.

V- Étude analytique d’un plan de l’espace

5-2/ Équation cartésienne d'un plan

Remarques

Tout plan admet une infinité d'équations cartésiennes.

Une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$ est donnée par :

$M\in \left(ABC\right)\iff det\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=0$

Soit $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ un repère de l'espace $\mathcal{E}$.

- L'équation du plan $\mathcal{P}\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$ est donnée par : $z=0$

- L'équation du plan $\mathcal{P}\left(O;\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$ est donnée par : $x=0$

- L'équation du plan $\mathcal{P}\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{k}\right)$ est donnée par : $y=0$

V- Étude analytique d’un plan de l’espace

5-2/ Équation cartésienne d'un plan

Applications

Dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A\left(1;-1;1\right)$, $B\left(2;0;-1\right)$ et $C\left(-1;0;3\right)$.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.

2. Le point $E\left(3;1;-\frac{1}{2}\right)$ appartient-il au plan $\left(ABC\right)$ ?

3. Déterminer la valeur du réel $m$ pour laquelle le point $F\left(m-1;-2;5\right)$ appartient au plan $\left(ABC\right)$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ défini par l'équation cartésienne : $2x+8y+6z-11=0$

4. a- Justifier que $E\in \mathcal{P}$.

4. b- Déterminer deux vecteurs directeurs du plan $\mathcal{P}$.

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-1/ Positions relatives de deux droites

Proposition

Soit $\left(\Delta \right)=\mathcal{D}\left(A;\overrightarrow{u}\right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)=\mathcal{D}\left(B;\overrightarrow{v}\right)$ deux droites de l'espace $\mathcal{E}$.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et $A\in \left(\Delta \text{'}\right)$ ou $B\in \left(\Delta \right)$, alors $\left(\Delta \right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)$ sont confondues.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et $A\notin \left(\Delta \text{'}\right)$, alors $\left(\Delta \right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)$ sont strictement parallèles.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires et $det\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=0$, alors $\left(\Delta \right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)$ sont sécantes.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires et $det\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)\ne 0$, alors $\left(\Delta \right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)$ ne sont pas coplanaires.

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-1/ Positions relatives de deux droites

Proposition

Soit $\left(\Delta \right)=\mathcal{D}\left(A;\overrightarrow{u}\right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)=\mathcal{D}\left(B;\overrightarrow{v}\right)$ deux droites de l'espace $\mathcal{E}$.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et $A\in \left(\Delta \text{'}\right)$ ou $B\in \left(\Delta \right)$, alors $\left(\Delta \right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)$ sont confondues.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et $A\notin \left(\Delta \text{'}\right)$, alors $\left(\Delta \right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)$ sont strictement parallèles.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires et $det\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=0$, alors $\left(\Delta \right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)$ sont sécantes.

- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires et $det\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)\ne 0$, alors $\left(\Delta \right)$ et $\left(\Delta \text{'}\right)$ ne sont pas coplanaires.

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-1/ Positions relatives de deux droites

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer la position relative des droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \left(D\right): \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=1+t \\ y=2-2t \\ z=-2+3t\end{array}\end{array}\right. \left(t\in \mathrm{ℝ}\right) et \left(\Delta \right): \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=1+\alpha \\ y=2-2\alpha \\ z=3-2\alpha \end{array}\end{array}\right. \left(\alpha \in \mathrm{ℝ}\right) \\ \boxed{2} \left(D\right): \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=2-\frac{1}{2}k\\ y=\frac{1}{2}+k\\ z=\frac{3}{2}+k\end{array}\end{array}\right. \left(k\in \mathrm{ℝ}\right) et \left(\Delta \right): \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=1+t \\ y=-1-\frac{1}{2}t\\ z=-t \end{array}\end{array}\right. \left(t\in \mathrm{ℝ}\right) \\ \boxed{3} \left(D\right): \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=-1+\alpha \\ y=2\alpha \\ z=-2+\alpha \end{array}\end{array}\right. \left(\alpha \in \mathrm{ℝ}\right) et \left(\Delta \right): \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=\beta \\ y=-2\beta \\ z=1+\beta \end{array}\end{array}\right. \left(\beta \in \mathrm{ℝ}\right) \end{gathered}$$

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-2/ Positions relatives d'une droite et d'un plan

Proposition

Soit $\mathcal{D}=\mathcal{D}\left(A;\overrightarrow{u}\right)$ une droite, et $\mathcal{P}=\mathcal{P}\left(B;\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)$ un plan de l'espace $\mathcal{E}$.

- Si $det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)=0$ et $A\in \mathcal{P}$, alors : $\mathcal{D}\subset \mathcal{P}$

- Si $det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)=0$ et $A\notin \mathcal{P}$, alors $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.

- Si $det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)\ne 0$, alors $\mathcal{D}$ perce le plan $\mathcal{P}$ en un point.

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-2/ Positions relatives d'une droite et d'un plan

Proposition

L’espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\alpha ;\beta ;\gamma \right)$, et $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne : $ax+by+cz+d=0$

La droite  est parallèle au plan $\mathcal{P}$ si, et seulement si : $a\alpha +b\beta +c\gamma =0$

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-2/ Positions relatives d'une droite et d'un plan

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer la position relative de la droite $\mathcal{D}$ et de plan $\mathcal{P}$ :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \mathcal{D}: \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=t \\ y=1+4t \\ z=-1-t\end{array}\end{array}\right. \left(t\in \mathrm{ℝ}\right) et \mathcal{P}: -2x+2z+1=0 \\ \boxed{2} \left(D\right): \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=2+k \\ y=-1+k \\ z=-7-3k\end{array}\end{array}\right. \left(k\in \mathrm{ℝ}\right) et \mathcal{P}: \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=2+\alpha +\beta \\ y=1+\alpha \\ z=3+\alpha +\beta \end{array}\end{array}\right. \left(\left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) \\ \boxed{3} \left(D\right): \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=-4+5k\\ y=-1-2k\\ z=-3+k \end{array}\end{array}\right. \left(k\in \mathrm{ℝ}\right) et \mathcal{P}: x+3y+z+4=0 \end{gathered}$$

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-3/ Positions relatives de deux plans

Proposition

L’espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère $\left(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}\text{'}$ deux plans définis par leurs équations cartésiennes :

$\mathcal{P} : ax+by+cz+d=0$ et $\mathcal{P}\text{'} : a\text{'}x+b\text{'}y+c\text{'}z+d\text{'}=0$

Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}\text{'}$ sont parallèles si, et seulement si :

$\left|\begin{array}{cc}b& c\\ b\text{'}& c\text{'}\end{array}\right|=0$ et $\left|\begin{array}{cc}a& c\\ a\text{'}& c\text{'}\end{array}\right|=0$ et $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a\text{'}& b\text{'}\end{array}\right|=0$

En particulier, si $abc\ne 0$, alors : $\mathcal{P}//\mathcal{P}\text{'}\iff \frac{a\text{'}}{a}=\frac{b\text{'}}{b}=\frac{c\text{'}}{c}$

VI- Positions relatives de droites et plans dans l’espace

6-3/ Positions relatives de deux plans

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer la position relative des plan $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \mathcal{P} : x-3z+3=0 et \mathcal{Q} : 3y-10z+6=0 \\ \boxed{2} \mathcal{P} : \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=1+2\alpha -\beta \\ y=2+\alpha +\beta \\ z=-1-\beta \end{array}\end{array}\right. \left(\left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) et \mathcal{Q} : \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=5+5k \\ y=3+t+k \\ z=2+t+3k\end{array}\end{array}\right. \left(\left(t;k\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) \\ \boxed{3} \mathcal{P} : \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=1+2\alpha -\beta \\ y=-2-\alpha \\ z=\alpha +\beta \end{array}\end{array}\right. \left(\left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) et \mathcal{Q} : -2x+2y+z+1=0 \end{gathered}$$