Séance 15-1 : Vecteurs de l’espace (Cours)

Sommaire

I- Vecteurs de l'espace

1-1/ Notion de vecteur dans l'espace

1-2/ Addition vectorielle dans l'espace

1-3/ Multiplication d'un vecteur par un réel

II- Vecteurs colinéaires - Droites de l'espace

2-1/ Colinéarité de deux vecteurs

2-2/ Définition vectorielle d'une droite de l'espace

III- Définition sectorielle d'un plan - Vecteurs coplanaires

3-1/ Définition vectorielle d'un plan de l'espace

3-2/ Vecteurs coplanaires

IV- Parallélisme dans l'espace

4-1/ Droites parallèles dans l’espace

4-2/ Droites et plans parallèles dans l'espace

4-3/ Plans parallèles dans l'espace

I- Vecteurs de l'espace

1-1/ Notion de vecteur dans l'espace

Définition

Soit $A$ et $B$ deux points de l’espace.

- Si $A\ne B$, alors le bipoint $\left(A;B\right)$ détermine un vecteur $\overrightarrow{AB}$ d’origine $A$ et d’extrémité $B$ tel que :

• Sa direction est celle de la droite $\left(AB\right)$ de l’espace ;
• Son sens est de $A$ vers $B$ ;
• Sa norme, notée $||\overrightarrow{AB}||$, est la longueur du segment $\left[AB\right]$, et on écrit : $||\overrightarrow{AB}||=AB$

- Si $A=B$, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est appelée le vecteur nul qu'on le note $\overrightarrow{0}$, et on écrit : $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

I- Vecteurs de l'espace

1-1/ Notion de vecteur dans l'espace

Remarques

- Soit $O$ un point de l'espace.

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ de l'espace, il existe un unique point $M$ de l'espace tel que : $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}$

- L'ensemble de tous les vecteurs de l'espace est noté ${\mathcal{V}}_3$.

- Le vecteur $-\overrightarrow{u}$ est le vecteur de même direction, de même norme que $\overrightarrow{u}$, mais de sens contraire :

- Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.

- Dire que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme, c'est-à-dire que les segments $\left[AD\right]$ et $\left[BC\right]$ ont le même milieu. Les droites $\left(AD\right)$ et $\left(BC\right)$ sont parallèles.

I- Vecteurs de l'espace

1-1/ Notion de vecteur dans l'espace

Applications

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle.

1. a- Construire les points $I$ et $J$ tels que $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{AC}$.

Soit $O$ et $O\text{'}$ respectivement les centres des parallélogrammes $ABCD$ et $EFGH$.

1. b- Montrer que $AOGO\text{'}$ est un parallélogramme.

Soit $ABCD$ un tétraèdre.

2. a- Construire le point $E$ tel que : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}$

2. b- Construire le point $F$ symétrique du point $C$ par rapport au point $A$, puis montrer que $FAEB$ est un parallélogramme.

2. c- Construire les points $H$ et $K$ tels que $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{BD}$.

I- Vecteurs de l'espace

1-2/ Addition vectorielle dans l'espace

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace ${\mathcal{V}}_3$.

On pose : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$.

La somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{AC}$, et on écrit : $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$

I- Vecteurs de l'espace

1-2/ Addition vectorielle dans l'espace

Proposition

1) Pour tous points $M$, $N$ et $P$ de l'espace, on a : $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ (Relation de Chasles).

2) Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ de l'espace ${\mathcal{V}}_3$, on a :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u} \\ \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right) \\ \overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{u}\right)=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

I- Vecteurs de l'espace

1-2/ Addition vectorielle dans l'espace

Applications

Soit $ABCDA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ un cube.

1. Déterminer les points $M$ et $N$ sachant que :

$\overrightarrow{A\text{'}M}=\overrightarrow{B\text{'}D}+\overrightarrow{D\text{'}C\text{'}}+\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{A\text{'}N}=\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D\text{'}A}$

Soit $ABCD$ un tétraèdre, $H$ le milieu du segment $\left[BC\right]$ et $K$ le milieu du segment $\left[AD\right]$.

2. Montrer que : $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{HK}$

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle, $I$ le milieu de $\left[AD\right]$ et $J$ le milieu de $\left[EG\right]$.

3. a- Montrer que $\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{EC}$.

3. b- Déterminer le point $M$ tel que $\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{IM}$.

I- Vecteurs de l'espace

1-3/ Multiplication d'un vecteur par un réel

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul.

Le produit du vecteur $\overrightarrow{u}$ par le réel $k$ est le vecteur $\overrightarrow{v}$ noté $k.\overrightarrow{u}$, ou simplement $k\overrightarrow{u}$, et qui vérifie les conditions suivantes :

• $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont la même direction ;
• $\overrightarrow{v}$ a le même sens que celui de $\overrightarrow{u}$ si $k>0$, et de sens contraire de $\overrightarrow{u}$ si $k<0$.
• $||\overrightarrow{v}||=\left|k\right|.||\overrightarrow{u}||$

On écrit : $\overrightarrow{v}=k.\overrightarrow{u}$

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ et tout réel $k$, on pose $0.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ et $k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

I- Vecteurs de l'espace

1-3/ Multiplication d'un vecteur par un réel

Proposition

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l’espace ${\mathcal{V}}_3$ et pour tout réels $\alpha$ et $\beta$, on a :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \alpha \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=\alpha \overrightarrow{u}+\alpha \overrightarrow{v} \\ \boxed{2} \left(\alpha +\beta \right)\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{u}+\mathrm{\beta }\overrightarrow{u} \\ \boxed{3} 1.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u} \\ \boxed{4} \alpha \left(\beta \overrightarrow{u}\right)=\alpha \mathrm{\beta }\overrightarrow{u} \\ \boxed{5} \alpha \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\iff \left(\alpha =0 ou \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\right) \end{gathered}$$

I- Vecteurs de l'espace

1-3/ Multiplication d'un vecteur par un réel

Remarques

- Aux règles de calcul citées dans la proposition précédente s'ajoutent les règles suivantes :

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l’espace, et pour tout réels $\alpha$ et $\beta$, on a :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \alpha \left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)=\alpha \overrightarrow{u}-\alpha \overrightarrow{v} \\ \boxed{2} \left(\alpha -\beta \right)\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{u}-\mathrm{\beta }\overrightarrow{u} \\ \boxed{3} -1.\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u} \\ \boxed{4} \alpha \left(-\beta \overrightarrow{u}\right)=\left(-\mathrm{\alpha }\right)\left(\mathrm{\beta }\overrightarrow{\mathrm{u}}\right)=-\mathrm{\alpha \beta }\overrightarrow{\mathrm{u}} \end{gathered}$$

- Si $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont trois vecteurs de l’espace ${\mathcal{V}}_3$, alors : $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}$

- Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe et $k$ un réel non nul. Alors :

$\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{CD}$ si et seulement si, $ABCD$ ou $ABDC$ est un trapèze de bases $\left[AB\right]$ et $\left[CD\right]$ avec : $AB=\left|k\right|CD$

II- Vecteurs colinéaires - Droites de l'espace

2-1/ Colinéarité de deux vecteurs

Définition

On dit que deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l’espace ${\mathcal{V}}_3$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que :

$\overrightarrow{v}=k.\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{u}=k.\overrightarrow{v}$

Remarques

- Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ est colinéaire avec tout vecteur de l’espace ${\mathcal{V}}_3$.

- On considère deux vecteurs non nuis $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u\text{'}}=\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u\text{'}}$ sont colinéaires si, et seulement si : $\left(AB\right)//\left(A\text{'}B\text{'}\right)$

- Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, c’est-à-dire : il existe $k\in \mathrm{ℝ}$ tel que : $\overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}$

II- Vecteurs colinéaires - Droites de l'espace

2-1/ Colinéarité de deux vecteurs

Applications

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

On considère les points $I$, $N$ et $P$ définis par :

$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{0} ; \overrightarrow{BI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$

1. a- Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{NP}$ sont colinéaires.

Soit $J$ le symétrique du point $B$ par rapport à $A$.

1. b- Montrer que les points $I$, $J$ et $P$ sont alignés.

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle.

2. a- Construire les points $K$, $L$ et $M$ défini par :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE} \\ \overrightarrow{EL}=\frac{3}{4}\overrightarrow{EF} \\ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{HF}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AE} \end{gathered}$$

2. b- Montrer que les points $K$, $L$ et $M$ sont alignés.

II- Vecteurs colinéaires - Droites de l'espace

2-1/ Colinéarité de deux vecteurs

Proposition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace ${\mathcal{V}}_3$ et $\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$.

1) Si $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ et $\left(a;b\right)\ne \left(0;0\right)$, alors les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

2) Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires, alors pour tout $\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ : $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\Rightarrow a=b=0$

II- Vecteurs colinéaires - Droites de l'espace

2-2/ Définition vectorielle d'une droite de l'espace

Proposition

Soit $A$ un point de l’espace et $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul de ${\mathcal{V}}_3$.

L’ensemble de points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{u}$ où $k\in \mathrm{ℝ}$, est la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.

Cette droite est notée : $\mathcal{D}\left(A;\overrightarrow{u}\right)$

II- Vecteurs colinéaires - Droites de l'espace

2-2/ Définition vectorielle d'une droite de l'espace

Remarques

- On a : $\mathcal{D}\left(A;\overrightarrow{u}\right)=\left\{M\in \mathcal{E}/\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{u} ; k\in \mathrm{ℝ}\right\}$

Soit $\mathcal{D}$ une droite de l’espace $\mathcal{E}$ et $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

• Si $A$ et $B$ sont deux points de la droite $\mathcal{D}$, alors : $\mathcal{D}\left(A;\overrightarrow{u}\right)=\mathcal{D}\left(B;\overrightarrow{u}\right)$
• Pour tout $\lambda \in \mathrm{ℝ}*$ : $\mathcal{D}\left(A;\overrightarrow{u}\right)=\mathcal{D}\left(A;\lambda \overrightarrow{u}\right)$

- Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de l’espace $\mathcal{E}$, alors : $M\in \left(AB\right)\iff \left\{\left(\exists k\in \mathrm{ℝ}\right) ;\overrightarrow{ AM}=k.\overrightarrow{AB}\right\}$

III- Définition sectorielle d'un plan - Vecteurs coplanaires

3-1/ Définition vectorielle d'un plan de l'espace

Théorème

- Tout plan de l'espace est déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires appelés vecteurs directeurs de ce plan.

- Soit $A$ un point de l'espace et $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires.

L'ensemble $\mathcal{P}$ des points $M$ de l'espace $\mathcal{E}$ tels que $\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}$ avec $\left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ est le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

On le note $\mathcal{P}\left(A;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$, et on écrit :

$\mathcal{P}\left(A;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=\left\{M\in \mathcal{E}/\overrightarrow{AM}=\alpha .\overrightarrow{u}+\beta .\overrightarrow{v} ; \left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

III- Définition sectorielle d'un plan - Vecteurs coplanaires

3-1/ Définition vectorielle d'un plan de l'espace

Remarques

- Soit $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l'espace.

On a Pour tout point $M$ de l'espace :

$M\in \left(ABC\right)\iff \left[\left(\exists \left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right); \overrightarrow{AM}=\alpha .\overrightarrow{AB}+\beta .\overrightarrow{AC}\right]$

- Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Alors, pour tout $E\in \mathcal{P}$ et pour tout $\left(\lambda ;\mu \right)\in {\left(\mathrm{ℝ}*\right)}^2$, on a : $\mathcal{P}=\mathcal{P}\left(E;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=\mathcal{P}\left(E;\lambda \overrightarrow{u};\overrightarrow{\mu v}\right)$

III- Définition sectorielle d'un plan - Vecteurs coplanaires

3-1/ Définition vectorielle d'un plan de l'espace

Applications

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

On pose : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{FG}$

1. Déterminer les plans $\mathcal{P}\left(C;\overrightarrow{u}-\frac{1}{2}\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\right)$ et $\mathcal{P}\left(E;\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v};v+\overrightarrow{w}\right)$.

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

$I$, $J$ et $O$ sont respectivement les milieux des segments $\left[BC\right]$, $\left[AE\right]$ et $\left[CF\right]$.

2)Déterminer les plans suivants :

$\mathcal{P}\left(O;\overrightarrow{AJ};\overrightarrow{EH}\right) ; \mathcal{P}\left(I;\overrightarrow{IJ};\overrightarrow{CG}\right) ; \mathcal{P}\left(J;\overrightarrow{OB};\overrightarrow{DH}\right)$

On considère les points $I$, $N$ et $P$ définis par :

$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{0} ; \overrightarrow{BI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$

III- Définition sectorielle d'un plan - Vecteurs coplanaires

3-2/ Vecteurs coplanaires

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l'espace ${\mathcal{V}}_3$.

On dit que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires, s’il existe quatre points coplanaires $A$, $B$, $C$ et $D$ appartenant à un même plan tels que :

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AD}$

III- Définition sectorielle d'un plan - Vecteurs coplanaires

3-2/ Vecteurs coplanaires

Remarques

- Le vecteur nul est coplanaire avec deux vecteurs quelconques de l'espace ${\mathcal{V}}_3$.

- Si deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires, alors pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ de l’espace ${\mathcal{V}}_3$, les trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.

- Si $ABCD$ est tétraèdre, alors les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas coplanaires.

III- Définition sectorielle d'un plan - Vecteurs coplanaires

3-2/ Vecteurs coplanaires

Proposition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires et $\overrightarrow{w}$ un vecteur de l’espace.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$

Remarques

Soit $A$, $B$, $C$ et $M$ quatre points de l'espace.

S'il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{AM}=x.\overrightarrow{AB}+y.\overrightarrow{AC}$, alors les points $A$, $B$, $C$ et $M$ sont coplanaires.

III- Définition sectorielle d'un plan - Vecteurs coplanaires

3-2/ Vecteurs coplanaires

Applications

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle.

1. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{FD}$, $2\overrightarrow{BD}$ et $2\overrightarrow{EA}$ sont coplanaires.

2. Les vecteurs $\frac{1}{2}\overrightarrow{FD}$, $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{EH}$ sont-ils coplanaires ? Justifier la réponse.

On pose : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{HB}$.

3. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont-ils coplanaires ?

IV- Parallélisme dans l'espace

4-1/ Droites parallèles dans l’espace

Proposition

Soit $A$ et $A\text{'}$ deux points de l’espace et $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls.

Les droites $\mathcal{D}\left(A;\overrightarrow{u}\right)$ et $\mathcal{D}\left(A\text{'};\overrightarrow{v}\right)$ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

IV- Parallélisme dans l'espace

4-1/ Droites parallèles dans l’espace

Application

Soit $ABCD$ un tétraèdre.

Les points $M$ et $N$ sont respectivement les milieux des segments $\left[AC\right]$ et $\left[AD\right]$.

Soit $K$ le point de l’espace vérifiant la relation : $2\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0}$

1. Montrer que $\left(MN\right)//\left(BK\right)$, puis que les droites $\left(KN\right)$ et $\left(BM\right)$ sont sécantes.

IV- Parallélisme dans l'espace

4-2/ Droites et plans parallèles dans l'espace

Proposition

Soit $\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$, et $\mathcal{P}$ un plan de vecteurs directeurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.

Pour que la droite $\mathcal{D}$ soit parallèle au plan $\mathcal{P}$, il faut et il suffit que les trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ soient coplanaires.

Autrement dit : $\mathcal{D}//\mathcal{P}\iff \left[\exists \left(\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) ; \overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\right]$

IV- Parallélisme dans l'espace

4-2/ Droites et plans parallèles dans l'espace

Application

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

$K$ et $L$ sont respectivement les milieux des segments $\left[BC\right]$ et $\left[AD\right]$.

Le point $M$ est le centre de gravité de $BCD$, etle point $N$ est le centre de gravité de $FGH$.

Soit $S$ un point du segment $\left[MN\right]$.

1. Montrer que la droite $\left(KS\right)$ est parallèle au plan $\left(BFL\right)$.

IV- Parallélisme dans l'espace

4-3/ Plans parallèles dans l'espace

Proposition

Soit $\mathcal{P}$ un plan de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, et $\mathcal{P}\text{'}$ un plan de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u\text{'}}$ et $\overrightarrow{v\text{'}}$.

Pour que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}\text{'}$ soient parallèles, il faut et il suffit que :

($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u\text{'}}$ et $\overrightarrow{v}$ soient coplanaires) et ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u\text{'}}$ et $\overrightarrow{v\text{'}}$soient coplanaires)

IV- Parallélisme dans l'espace

4-3/ Plans parallèles dans l'espace

Applications

Soit $ABCD$ un tétraèdre.

On considère les points $E$, $F$ et $G$ tels que :

$\overrightarrow{AE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{DG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

1. Montrer que les plans $\left(BCD\right)$ et $\left(EFG\right)$ sont parallèles.

Soit $ABCD$ un tétraèdre et $t\in \mathrm{ℝ}*$.

On considère les points $M$, $N$ et $K$ tels que :

$\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DA} ; \overrightarrow{CN}=\left(1-t\right)\overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{NK}=t\overrightarrow{CB}$

2. Montrer que les plans $\left(ABC\right)$ et $\left(MNK\right)$ sont parallèles.

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

Les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs des segments $\left[AE\right]$, $\left[AB\right]$, $\left[EH\right]$ et $\left[KJ\right]$.

3. a- Montrer que $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{IL}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$.

3. b- Montrer que les plans $\left(ABC\right)$ et $\left(IJK\right)$ se coupent selon une droite $\left(\Delta \right)$, dont on déterminera un point et un vecteur directeur.