Séance 12-1 : Étude des fonctions numériques (Cours)

Sommaire

I- Branches infinies d’une courbe

1-1/ Définition

1-2/ Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées

1-3/ Asymptote parallèle à l'axe des abscisses

1-4/ Asymptote oblique

1-5/ Directions asymptotiques

II- Éléments de symétrie d’une courbe (de fonction)

2-1/ Axe de symétrie d'une courbe

2-2/ Centre de symétrie d'une courbe

III- Concavité d’une courbe - Point d’inflexion

3-1/ Convexité et concavité d’une courbe (de fonction)

3-2/ Point d'inflexion d'une courbe (de fonction)

IV- Plan d'étude d'une fonction numérique

I- Branches infinies d’une courbe

1-1/ Définition

Définition

On dit que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ admet une branche infinie, lorsque l'une des coordonnées d'un point de ${\mathcal{C}}_f$ tend vers l'infini.

Remarque

On sait que le couple de coordonnées d'un point $M$ de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est $\left(x;f\left(x\right)\right)$ avec $x\in D_f$.

Il s'ensuit donc que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet une branche infinie, si l'une, au moins, des conditions suivantes est vérifiée :

• L'ensemble $D_f$ contient un intervalle de la forme $]\alpha ;+\infty [$.
• L'ensemble $D_f$ contient un intervalle delà forme $]-\infty ;\alpha [$.
• La fonction $f$ admet une limite infinie en un point (à gauche ou à droite).

I- Branches infinies d’une courbe

1-2/ Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées

Définition

Soit $a$ un nombre réel.

Si $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ou $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ ou $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ou $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

alors on dit que la droite $\left(\Delta \right)$ d'équation $x=a$ est une asymptote verticale de la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

I- Branches infinies d’une courbe

1-2/ Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées

Applications

1. Pour chacun des cas suivants, déterminer les asymptotes verticales (parallèles à l'axe des ordonnées) à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ :

I- Branches infinies d’une courbe

1-3/ Asymptote parallèle à l'axe des abscisses

Définition

Soit $b$ un nombre réel.

Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=b$ ou $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=b$, alors on dit que la droite $\left(\Delta \right)$ d'équation $y=b$ est une asymptote horizontale de la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

I- Branches infinies d’une courbe

1-3/ Asymptote parallèle à l'axe des abscisses

Remarque

Pour étudier la position relative de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$, et son asymptote d’équation $y=b$, on étudie le signe de la différence $f\left(x\right)-b$ sur l'intervalle $I$.

Si, par exemple, on a pour tout $x\in I$ : $f\left(x\right)-b>0$, alors la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus de l'asymptote d’équation $y=b$ sur l'intervalle $I$.

I- Branches infinies d’une courbe

1-3/ Asymptote parallèle à l'axe des abscisses

Applications

1. Pour chacun des cas suivants, déterminer les asymptotes horizontales (parallèles à l'axe des abscisses) à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ :

I- Branches infinies d’une courbe

1-4/ Asymptote oblique

Définition

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a\ne 0$.

Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ ou $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$, alors on dit que la droite $\left(D\right)$ d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique de la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

I- Branches infinies d’une courbe

1-4/ Asymptote oblique

Remarques

- Soit $\left(D\right): y=ax+b$ une asymptote oblique de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au voisinage de $+\infty$.

On a $\left(D\right): ax-y+b=0$

La distance du point $M\left(x;f\left(x\right)\right)$ à la droite $\left(D\right)$ est :

$d\left(M;\left(D\right)\right)=\frac{\left|ax+b-f\left(x\right)\right|}{\sqrt{a^2+1}}$

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, cette distance tend vers $0$, c’est-à-dire que la droite $\left(D\right)$ est presque confondue à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au voisinage de $+\infty$.

- Pour étudier la position relative de la courbe d’une fonction $f$, sur un intervalle $I$, et son asymptote oblique $\left(D\right)$ d’équation $y=ax+b$, on étudie le signe de la différence $f\left(x\right)-\left(ax+b\right)$ sur l’intervalle $I$. Ainsi :

• Si $f\left(x\right)-\left(ax+b\right)>0$, alors ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus de l'asymptote $\left(D\right)$.
• Si $f\left(x\right)-\left(ax+b\right)<0$, alors ${\mathcal{C}}_f$ est en-dessous de l’asymptote $\left(D\right)$.
• Si $f\left(x_0\right)-\left(a{x}_0+b\right)=0$ pour un certain point $x_0\in I$, alors ${\mathcal{C}}_f$ et $\left(D\right)$ sont sécantes.

I- Branches infinies d’une courbe

1-4/ Asymptote oblique

Applications

1. Pour chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de l'asymptote oblique à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$ :

I- Branches infinies d’une courbe

1-4/ Asymptote oblique

Proposition

Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition.

Pour que la droite $\left(D\right): y=ax+b \left(a\ne 0\right)$ soit une asymptote oblique de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, il faut et il suffit qu'il existe une fonction $u$ définie sur $D_f$ telle que :

$\left(\forall x\in D_f\right) f\left(x\right)=ax+b+u\left(x\right)$ et ($\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=0 ou \underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)=0$)

I- Branches infinies d’une courbe

1-4/ Asymptote oblique

Proposition

La droite $\left(D\right): y=ax+b \left(a\ne 0\right)$ est une asymptote oblique de la courbe${\mathcal{C}}_f$  si, et seulement si :

($\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=a et \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-ax\right)=b$) ou ($\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=a et \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-ax\right)=b$)

I- Branches infinies d’une courbe

1-4/ Asymptote oblique

Applications

1. Pour chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de l'asymptote oblique à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$ :

I- Branches infinies d’une courbe

1-5/ Directions asymptotiques

Définition

Soit $f$ une fonction numérique d'une variable réelle telle que : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

- Si $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\pm \infty$, alors on dit que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées (ou une branche parabolique dirigée vers l’axe des ordonnées).

- Si $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=0$, alors on dit que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses (ou une branche parabolique dirigée vers l’axe des abscisses).

- Si $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=a\ne 0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\pm \infty$, alors on dit que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet une branche parabolique de direction la droite $\left(D\right): y=ax$ (ou une branche parabolique dirigée vers la droite $\left(D\right): y=ax$).

I- Branches infinies d’une courbe

1-5/ Directions asymptotiques

Applications

1. Pour chacun des cas suivants, déterminer les branches infinies de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ :

I- Branches infinies d’une courbe

1-5/ Directions asymptotiques

Formulaire des branches infinies

II- Éléments de symétrie d’une courbe (de fonction)

2-1/ Axe de symétrie d'une courbe

Proposition

Soit $f$ une fonction numérique et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Pour que la droite $\left(\Delta \right)$ d'équation $x=a$ soit un axe de symétrie de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, il faut et il suffit que pour tout $x\in D_f$ :

$\left(2a-x\right)\in D_f$ et $f\left(2a-x\right)=f\left(x\right)$

II- Éléments de symétrie d’une courbe (de fonction)

2-1/ Axe de symétrie d'une courbe

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, montrer que la droite $\left(\Delta \right)$ est un axe de symétrie de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ :

II- Éléments de symétrie d’une courbe (de fonction)

2-2/ Centre de symétrie d'une courbe

Définition

Soit $f$ une fonction numérique et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Pour que le point $\Omega \left(a;b\right)$ soit un centre de symétrie de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, il faut et il suffit que pour tout $x\in D_f$ :

$\left(2a-x\right)\in D_f$ et $f\left(2a-x\right)=2b-f\left(x\right)$

II- Éléments de symétrie d’une courbe (de fonction)

2-2/ Centre de symétrie d'une courbe

Remarques

- Si $f$ est une fonction paire, alors sa courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

- Si $f$ est une fonction impaire, alors ${\mathcal{C}}_f$ admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

- Si la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ admet la droite d'équation $x=a$ comme axe de symétrie ou admet le point de coordonnées $\left(a,b\right)$ comme centre de symétrie, alors on peut restreindre l'étude de la fonction / sur l'ensemble $D_{étude}=D_f\cap [a;+\infty [$.

II- Éléments de symétrie d’une courbe (de fonction)

2-2/ Centre de symétrie d'une courbe

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, montrer que le point $\Omega$ est un centre de symétrie de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f\left(x\right)=\frac{x-1}{2x+1} et \Omega \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right) \\ \boxed{2} f\left(x\right)=\cos x et \Omega \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2};0\right) \\ \boxed{3} f\left(x\right)=x^3-3x-2 et \Omega \left(0;-2\right) \\ \boxed{4} f\left(x\right)=\sin x et \Omega \left(k\mathrm{\pi };0\right) \left(k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right) \end{gathered}$$

III- Concavité d’une courbe - Point d’inflexion

3-1/ Convexité et concavité d’une courbe (de fonction)

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

On dit que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est convexe si elle est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes, et on dit qu'elle est concave si elle est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.

III- Concavité d’une courbe - Point d’inflexion

3-1/ Convexité et concavité d’une courbe (de fonction)

Remarque

La convexité et la concavité de de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ dépendent de la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et sa tangente $\left(T\right)$ au point $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ sur un voisinage de $x_0$, c'est-à-dire dépend du signe du nombre $I\left(x\right)=f\left(x\right)-y$ où $y=f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$ est l'équation delà tangente $\left(T\right)$.

III- Concavité d’une courbe - Point d’inflexion

3-2/ Point d'inflexion d'une courbe (de fonction)

Définition

On appelle point d'inflexion de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, tout point où elle change de concavité.

III- Concavité d’une courbe - Point d’inflexion

3-2/ Point d'inflexion d'une courbe (de fonction)

Proposition

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

- Pour que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ soit convexe sur $I$, il faut et il suffit que : $\left(\forall x\in I\right) f"\left(x\right)\ge 0$

- Pour que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de/ soit concave sur $I$, il faut et il suffit que : $\left(\forall x\in I\right) f"\left(x\right)\le 0$

- Pour que le point $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ soit un point d'inflexion de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, il faut et il suffit que la dérivée seconde $f"$ s’annule en $x_0$ et change de signe de part et d’autre de $x_0$.

III- Concavité d’une courbe - Point d’inflexion

3-2/ Point d'inflexion d'une courbe (de fonction)

Applications

1. Étudier la concavité de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ dans chacun des cas suivants :

IV- Plan d'étude d'une fonction numérique

Pour étudier une fonction numérique, on suit généralement les étapes suivantes :

1) Déterminer $D_f$ ensemble de définition de la fonction $f$ ;

2) Étudier la parité, la périodicité de la fonction $f$, rechercher des centres ou des axes de symétrie, puis déterminer son ensemble d'étude $D_E$ ;

3) Calculer les limites de / aux bornes des intervalles de son ensemble de définition $D_f$ ;

4) Étudier la dérivabilité de $f$ sur $D_E$ ;

5) Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variation sur $D_f$ ;

6) Étudier les branches infinies de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ;

7) Étudier les positions relatives de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ par rapport aux asymptotes s'ils existent ;

8) Déterminer les tangentes à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ en des points particuliers ;

9) Étudier la concavité de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ en déterminant ses points d'inflexion s'ils existent en calculant
la dérivée seconde ;

10) Construire la courbe ${\mathcal{C}}_f$. Pour cela :

• Souvent choisir un repère orthonormé.
• Construire les tangentes et les asymptotes.
• Construire la courbe ${\mathcal{C}}_f$ en tenant compte de tableau de variations, la concavité et les images de quelques points remarquables.