Séance 11-1-1 : Dérivabilité d'une fonction numérique - Partie 1 (Cours)

Sommaire

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-1/ Nombre dérivé en un point

1-2/ Approximation affine d'une fonction dérivable

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

2-1/ Définitions et notations

2-2/ Interprétation géométrique (demi-tangente en un point d'une courbe)

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-1/ Fonction dérivé

3-2/ Opérations sur les fonctions dérivables

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-1/ Nombre dérivé en un point

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un élément de $I$.

On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $\mathcal{l}$ tel que : $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\mathcal{l}$

Le nombre $\mathcal{l}$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$. Il est noté $f\text{'}\left(a\right)$.

On écrit $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=f\text{'}\left(a\right)$ ou encore $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=f\text{'}\left(a\right)$.

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-1/ Nombre dérivé en un point

Remarques

- Dans le taux de variation $\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$, $x-a$ représente une variation de $x$ et $f\left(x\right)-f\left(a\right)$ la variation correspondante de $y$.

Quand les accroissements de $x$ et $y$ deviennent petits, le taux d'accroissement tend vers $f\text{'}\left(a\right)$.

C'est pour cette raison qu'on trouve parfois, notamment en physique, la notation $\frac{df}{dx}\left(a\right)$ pour le nombre dérivé de $f$ en $a$.

- La notion de dérivabilité, étant définie à l'aide d'une limite, est une notion locale.

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-1/ Nombre dérivé en un point

Applications

1. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ au point $a$ dans chacun des cas suivants :

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-2/ Approximation affine d'une fonction dérivable

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$.

La droite $\left(T\right)$ d'équation $y=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$ est appelée la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$.

La fonction $x\mapsto f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$ s'appelle l'approximation affine de $f$ au voisinage de $a$.

On écrit alors : $f\left(x\right)\approx f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$ au voisinage de $a$ ou $f\left(h\right)\approx hf\text{'}\left(a\right)+f\left(a\right)$ au voisinage de $0$.

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-2/ Approximation affine d'une fonction dérivable

Remarques

- On a déjà vu dans les activités les approximations suivantes, valables pour $h$ voisin de $0$ :

$\sqrt{1+h}\approx 1+\frac{h}{2} ; \frac{1}{1+h}\approx 1-h ; {\left(1+h\right)}^2\approx 1+2h ; {\left(1+h\right)}^3\approx 1+3h$

- L'approximation affine locale consiste donc à assimiler ${\mathcal{C}}_f$ à $\left(T\right)$ pour $h$ proche de $0$ (et donc pour $x$ proche de $a$).

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-2/ Approximation affine d'une fonction dérivable

Applications

1. Donner des valeurs approchées des nombres suivants :

$$\begin{gathered} {\left(0,998\right)}^3 ; {\left(2,00578\right)}^2 ; {\left(1,04958\right)}^3 \\ \sqrt{1,00791} ; \frac{1}{1,0434} ; \frac{1}{{\left(0,999\right)}^2} \end{gathered}$$

2. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ au pointé d'abscisse $a$, dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f\left(x\right)=2x^2+x-1 et a=1 \\ \boxed{2} f\left(x\right)=3x^2+2 et a=-1 \\ \boxed{3} f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^3+x^2 et a=2 \\ \boxed{4} f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2} et a=1 \end{gathered}$$

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

2-1/ Définitions et notations

Définition

- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $[a,a+r[$ où $r\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

On dit que $f$ est dérivable à droite de $a$ s'il existe un réel ${\mathcal{l}}_1$ tel que : $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}={\mathcal{l}}_1$

Le nombre ${\mathcal{l}}_1$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à droite en $a$. Il est noté $f{\text{'}}_d\left(a\right)$.

On écrit : $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=f{\text{'}}_d\left(a\right)$

- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $]a-r;a]$ où $r\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

On dit que $f$ est dérivable à gauche de $a$ s'il existe un réel ${\mathcal{l}}_2$ tel que : $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}={\mathcal{l}}_2$

Le nombre ${\mathcal{l}}_2$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à gauche en $a$. Il est noté $f{\text{'}}_g\left(a\right)$.

On écrit : $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=f{\text{'}}_g\left(a\right)$

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

2-1/ Définitions et notations

Applications

1. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite et à gauche au point $a$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f\left(x\right)=\left|x^2-1\right| et a=-1 \\ \boxed{2} f\left(x\right)=\left|x^2+3x\right| et a=-3 \\ \boxed{3} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^3+1 ; x\le 1\\ f\left(x\right)=x^2+2-\frac{1}{x} ; x>1\end{array}\right. et a=1 \\ \boxed{4} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{x^3+x^2} ; x\ge -1\\ f\left(x\right)=\sin \left(\mathrm{\pi x}\right) ; x<-1\end{array}\right. et a=-1 \end{gathered}$$

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

2-1/ Définitions et notations

Proposition

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, $n$ un entier naturel non nul et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

On a alors les propriétés suivantes :

- $\left(f+g\right)\text{'}=f\text{'}+g\text{'} ; \left(\alpha f\right)\text{'}=\alpha f\text{'} ; \left(f.g\right)\text{'}=f\text{'}.g+f.g\text{'} ; \left(f^n\right)\text{'}=n.f\text{'}.f^{n-1}$

- Si la fonction $g$ ne s’annule pas sur $I$, alors : ${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\text{'}}=-\frac{g\text{'}}{g^2}$ et ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}.g-f.g\text{'}}{g^2}$

- Enfin, si $f$ est strictement positive sur $I$, alors : ${\left(\sqrt{f}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}}{2\sqrt{f}}$

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

2-1/ Définitions et notations

Applications

1. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite et à gauche au point $a$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f\left(x\right)=\left|x^2-3x\right| et a=3 \\ \boxed{2} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^3 ; x\ge -1\\ f\left(x\right)=x^2-2 ; x<-1\end{array}\right. et a=-1 \\ \boxed{3} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x\sqrt{x} ; x\ge 0\\ f\left(x\right)=x^2 ; x<0\end{array}\right. et a=0 \\ \boxed{4} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^3-x ; x\ge 1\\ f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{3} ; x<1\end{array}\right. et a=1 \end{gathered}$$

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

2-2/ Interprétation géométrique (demi-tangente en un point d'une courbe)

- Si $f$ est une fonction dérivable à droite au point $a$, alors sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ admet une demi-tangente $\left(T_1\right)$ au point $A\left(a;f\left(a\right)\right)$ de coefficient directeur $f{\text{'}}_d\left(a\right)$.

L'équation de la demi-tangente $\left(T_1\right)$ est donnée par :

$\left\{\begin{array}{l}y=f{\text{'}}_d\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)\\ x\ge a\end{array}\right.$

- Si $f$ est une fonction dérivable à gauche au point $a$, alors sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ admet une demi-tangente $\left(T_2\right)$ au point $A\left(a;f\left(a\right)\right)$ de coefficient directeur $f{\text{'}}_g\left(a\right)$.

L'équation de la demi-tangente $\left(T_2\right)$ est donnée par :

$\left\{\begin{array}{l}y=f{\text{'}}_g\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)\\ x\le a\end{array}\right.$

- Si $f$ est une fonction dérivable à gauche et à droite en $a$ telle que $f{\text{'}}_d\left(a\right)\ne f{\text{'}}_g\left(a\right)$, alors $f$ n'est dérivable en $a$.

On dit que $A\left(a;f\left(a\right)\right)$ est un point anguleux de ${\mathcal{C}}_f$.

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

2-2/ Interprétation géométrique (demi-tangente en un point d'une courbe)

Remarques

- Si $f{\text{'}}_d\left(a\right)=0$ (resp. $f{\text{'}}_g\left(a\right)=0$), alors la demi-tangente $\left(T_1\right)$ (resp. $\left(T_2\right)$) est horizontale, c'est-à-dire, parallèle à l'axe des abscisses.

- Si $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\pm \infty$ ou $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\pm \infty$, alors la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ admet une demi-tangente verticale au point $A\left(a;f\left(a\right)\right)$ (parallèle à l'axe des ordonnées).

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=-\infty \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=-\infty \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=-\infty \\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=-\infty \end{gathered}$$

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

2-2/ Interprétation géométrique (demi-tangente en un point d'une courbe)

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite et à gauche au point $a$, puis définir les demi-tangentes de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ au point $A\left(a;f\left(a\right)\right)$ :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f\left(x\right)=\left|x^2+x\right| et a=0 \\ \boxed{2} f\left(x\right)=x\left|x-2\right| et a=2 \\ \boxed{3} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^3-x ; x\le -1\\ f\left(x\right)=x^2+x ; x>-1\end{array}\right. et a=-1 \\ \boxed{4} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=-x^3+3x ; x\le -2\\ f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2} ; -2<x\le 2\end{array}\right. et a=-2 \end{gathered}$$

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-1/ Fonction dérivé

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$.

On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point $x$ de $I$.

On note $f\text{'}$ la fonction qui, à à chaque $x\in I$, associe le nombre dérivée de $f$ en $x$.

On l'appelle la fonction dérivée de $f$, ou plus simplement la dérivée de $f$.

On écrit aussi : $f\text{'}=\frac{df}{dx}$

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-1/ Fonction dérivé

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $\left[a;b\right]$.

On dit que $f$ est dérivable sur $\left[a;b\right]$ si elle est dérivable sur l'intervalle ouvert $]a;b[$ et dérivable à droite en $a$ et à gauche en $b$.

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-1/ Fonction dérivé

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$, puis définir sa fonction dérivée $f\text{'}$ sur l'intervalle $I$ :

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-1/ Fonction dérivé

Tableau des dérivées usuelles

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

3-2/ Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, $n$ un entier naturel non nul et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

On a alors les propriétés suivantes :

- ${\left(f+g\right)}^{\text{'}}=f\text{'}+g\text{'} ; {\left(\alpha f\right)}^{\text{'}}=\alpha f\text{'} ; {\left(f.g\right)}^{\text{'}}=f\text{'}.g+f.g\text{'} ; {\left(f^n\right)}^{\text{'}}=n.f\text{'}.f^{n-1}$

- Si la fonction $g$ ne s’annule pas sur $I$, alors : ${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\text{'}}=-\frac{g\text{'}}{g^2}$ et ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=-\frac{f\text{'}.g-f.g\text{'}}{g^2}$

- Enfin, si $f$ est strictement positive sur $I$, alors : ${\left(\sqrt{f}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}}{2\sqrt{f}}$

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-2/ Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition

Toute fonction polynomiale est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$.

Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

3-2/ Opérations sur les fonctions dérivables

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer le domaine de définition des fonctions $f$ et $f\text{'}$, puis définir la fonction dérivée $f\text{'}$ :

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

3-2/ Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a\ne 0$.

Soit $J$ l'ensemble des réels $x$ tels que $\left(ax+b\right)\in I$. Alors :

La fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=u\left(ax+b\right)$ est dérivable sur l'intervalle $J$, et de plus :

$\left(\forall x\in J\right) f\text{'}\left(x\right)=au\text{'}\left(ax+b\right)$

II- Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche

3-2/ Opérations sur les fonctions dérivables

Applications

1. Définir la fonction dérivée de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :