Séance 8-1 : Trigonométrie (Cours)

Sommaire

I- Formules de transformation de base

1-1/ Formules d’addition

1-2/ Transformation de $\cos \left(2a\right)$, $\sin \left(2a\right)$ et $\tan \left(2a\right)$ - Formules de linéarisation

1-3/ Formules de $\cos \left(a\right)$, $\sin \left(a\right)$ et $\tan \left(a\right)$ en fonction de $\tan \left(\frac{a}{2}\right)$

II- Transformation de produits en sommes

III- Transformation de sommes en produits

IV- Transformation de l’expression $a\cos \left(x\right)+b\sin \left(x\right)$

I- Formules de transformation de base

1-1/ Formules d’addition

Proposition

Soit $a$ et $b$ deux nombre réels.

On a les formules suivantes :

$$\begin{gathered} \cos \left(a-b\right)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b \\ \cos \left(a+b\right)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b \\ \sin \left(a-b\right)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin b \\ \sin \left(a+b\right)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b \end{gathered}$$

I- Formules de transformation de base

1-1/ Formules d’addition

Applications

1. En remarquant que $\frac{5\mathrm{\pi }}{12}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}$, calculer $\cos \frac{5\mathrm{\pi }}{12}$ et $\sin \frac{5\mathrm{\pi }}{12}$.

2. Calculer $\cos \frac{11\mathrm{\pi }}{12}$ et $\sin \frac{11\mathrm{\pi }}{12}$.

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$.

3. Établir les égalités suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \cos x-\sqrt{3}\sin x=2\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}-x\right) \\ \boxed{2} \cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ \boxed{3} \sqrt{3}\cos x+\sin x=2\sin \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) \\ \boxed{4} -\sqrt{6}\cos x-\sqrt{2}\sin x=2\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right) \end{gathered}$$

I- Formules de transformation de base

1-1/ Formules d’addition

Proposition

Soit $a$ et $b$ deux nombre réels tels que $a\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ et $b\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ avec $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

On a les formules suivantes :

- Si $a-b\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ avec $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, alors : $\tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

- Si $a+b\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ avec $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, alors : $\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}$

I- Formules de transformation de base

1-1/ Formules d’addition

Applications

1. En remarquant que $\frac{5\mathrm{\pi }}{12}=\frac{7\mathrm{\pi }}{12}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}$, calculer $\tan \frac{5\mathrm{\pi }}{12}$.

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ tel que $x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ et $x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }$ et $x\ne -\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }$.

2. Simplifier $\tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}-x\right).\tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}+x\right)$.

I- Formules de transformation de base

1-2/ Transformation de $\cos \left(2a\right)$, $\sin \left(2a\right)$ et $\tan \left(2a\right)$ - Formules de linéarisation

Proposition

Soit $a$ et $b$ deux nombre réels.

On a les formules suivantes :

- $\cos \left(2a\right)={\cos }^{2}a-si{n}^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2si{n}^{2}a$

- $\sin \left(2a\right)=2\sin a.\cos a$

- ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos \left(2a\right)}{2}$ et ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos \left(2a\right)}{2}$ et ${\tan }^{2}a=\frac{1-\cos \left(2a\right)}{1+\cos \left(2a\right)}$

- Si  $a\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ et $2a\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ pour tout $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, alors : $\tan \left(2a\right)=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$

I- Formules de transformation de base

1-2/ Transformation de $\cos \left(2a\right)$, $\sin \left(2a\right)$ et $\tan \left(2a\right)$ - Formules de linéarisation

Remarques

On a pour tout réel $a$ :

$1+\cos a=2{\cos }^2\left(\frac{a}{2}\right) ; 1-\cos a=2{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)$

$\sin a=2\cos \left(\frac{a}{2}\right)\sin \left(\frac{a}{2}\right)$

On rappelle que pour tout réel $a$, on a : $\sin a=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-a\right)=-\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+a\right)$

I- Formules de transformation de base

1-2/ Transformation de $\cos \left(2a\right)$, $\sin \left(2a\right)$ et $\tan \left(2a\right)$ - Formules de linéarisation

Applications

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$.

1. Établir les égalités suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} 1+\sin x={\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)}^2 \\ \boxed{2} 1+\cos x+2{\sin }^2\frac{x}{2}=2 \\ \boxed{3} 2\sin x+\sin \left(2x\right)=8\sin \left(\frac{x}{2}\right).{\cos }^3\left(\frac{x}{2}\right) \\ \boxed{4} 1-\cos x+\sin x=2\sin \frac{x}{2}.\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right) \\ \boxed{5} 1+\cos x-\sin x=2\sqrt{2}\cos \frac{x}{2}.\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \end{gathered}$$

Soit $\alpha$ un réel tel que : $\sin \alpha \ne -1$

2. Montrer que : $\frac{1-\sin \alpha }{1+\sin \alpha }={\tan }^2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\frac{\alpha }{2}\right)$

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ un réel tel $x\ne k\mathrm{\pi }$ que  pour tout $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

3. Montrer que $\frac{1-\cos x}{\sin x}=\tan \frac{x}{2}$ et $\sin x=\left(1+\cos x\right)\tan \frac{x}{2}$.

I- Formules de transformation de base

1-3/ Formules de $\cos \left(a\right)$, $\sin \left(a\right)$ et $\tan \left(a\right)$ en fonction de $\tan \left(\frac{a}{2}\right)$

Proposition

Soit $a$ un nombre réel tel que $a\ne \mathrm{\pi }+2k\mathrm{\pi }$ et $a\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$ pour tout $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

On pose : $t=\tan \left(\frac{a}{2}\right)$

On a : $\sin a=\frac{2t}{1+t^2}$ et $\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ et $\tan a=\frac{2t}{1-t^2}$

I- Formules de transformation de base

1-3/ Formules de $\cos \left(a\right)$, $\sin \left(a\right)$ et $\tan \left(a\right)$ en fonction de $\tan \left(\frac{a}{2}\right)$

Applications

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ tel que $\tan x=2$

1. Calculer $\cos \left(2x\right)$, $\sin \left(2x\right)$ et $\tan \left(2x\right)$.

Soit $x$ un nombre réel tel que $x\ne \mathrm{\pi }+2k\mathrm{\pi }$ pour tout $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

On pose $t=\tan \frac{x}{2}$

2. Montrer que $\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=t^2$ et $\frac{\sin x}{1+\cos x}=t$.

Soit $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $]0:\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$.

3. Prouver les inégalités suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} 1+\frac{1}{\tan a}<\frac{1}{\tan {\displaystyle \frac{a}{2}}} \\ \boxed{2} \tan \left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{\tan a+\tan b}{2} \end{gathered}$$

(Indication : on pourra poser $x=\tan \frac{a}{2}$ et $y=\tan \frac{b}{2}$).

II- Transformation de produits en sommes

Proposition

Soit $a$ et $b$ deux nombre réels.

On a les formules suivantes :

$$\begin{gathered} \cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)\right] \\ \sin a.\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right] \\ \sin a.\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right] \\ \cos a.\sin b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)-\sin \left(a-b\right)\right] \end{gathered}$$

II- Transformation de produits en sommes

Applications

1. Écrire sous forme de sommes les produits suivants :

$$\begin{gathered} A\left(x\right)=\cos x.\cos \left(5x\right) \\ B\left(x\right)=\sin \left(3x\right).\sin \left(4x\right) \\ C\left(x\right)=\cos \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right).\sin \left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \end{gathered}$$

III- Transformation de sommes en produits

Proposition

Soit $p$ et $q$ deux nombre réels.

On a les formules suivantes :

$$\begin{gathered} \cos p+\cos q=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right) \\ \cos p-\cos q=-2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right) \\ \sin p+\sin q=2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right) \\ \sin p-\sin q=2\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)\cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \end{gathered}$$

III- Transformation de sommes en produits

Applications

1. Écrire sous forme d'un produit les sommes suivantes :

$$\begin{gathered} A\left(x\right)=\sin x+\sin \left(2x\right)+\sin \left(3x\right) \\ B\left(x\right)= 1+\cos x+\cos \left(2x\right)+\cos \left(3x\right) \\ C\left(x\right)=1+\sin \left(2x\right)-\cos \left(2x\right) \\ D\left(x\right)=\sin x+\sin \left(5x\right)+\sin \left(7x\right) \end{gathered}$$

2. a- Écrire sous forme de produit l'expression $\cos x+\cos \left(2x\right)$ où $x\in \mathrm{ℝ}$.

2. b- En déduire les solutions dans $\mathrm{ℝ}$ de l'équation : $\cos x+\cos \left(2x\right)=0$

2. c- Résoudre dans l'intervalle $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$ l'inéquation : $\cos x+\cos \left(2x\right)\ge 0$

3. a- Factoriser l'expression $\sin x+\sin \left(2x\right)+\sin \left(3x\right)+\sin \left(4x\right)$ où $x\in \mathrm{ℝ}$.

3. b- Résoudre dans l'intervalle $\left[-\mathrm{\pi };0\right]$ l'inéquation : $\sin x+\sin \left(2x\right)+\sin \left(3x\right)+\sin \left(4x\right)<0$

4. a- Montrer que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ : $\sin \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)+\sin \left(3x\right)=2\sin \left(2x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)\cos \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$

4. b- Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l'équation : $\sin x+2\sin \left(3x\right)-\sqrt{3}\cos x=0$

4. c- Résoudre dans l'intervalle $[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$ l'inéquation : $\sin x+2\sin \left(3x\right)-\sqrt{3}\cos x\le 0$

IV- Transformation de l’expression $a\cos \left(x\right)+b\sin \left(x\right)$

Proposition

Soit $a$ et $b$ deux nombre réels tels que $\left(a;b\right)\ne \left(0;0\right)$.

Alors il existe un réel $\alpha$ tel que $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos \left(x-\alpha \right)$ avec $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

IV- Transformation de l’expression $a\cos \left(x\right)+b\sin \left(x\right)$

Applications

1. Mettre les expressions suivantes sous forme de $\rho \cos \left(\omega x+\phi \right)$ :

$$\begin{gathered} A\left(x\right)=\cos \left(2x\right)+\sin \left(2x\right) \\ B\left(x\right)=\cos x-\sqrt{3}\sin x \\ C\left(x\right)=3\cos \frac{x}{2}-\sqrt{3}\sin \frac{x}{2} \end{gathered}$$

2. a- Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \cos \left(2x\right)-\sqrt{3}\sin \left(2x\right)=\cos \left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$

2. b- En déduire les solutions dans $\mathrm{ℝ}$ de l'équation : $\cos \left(2x\right)-\sqrt{3}\sin \left(2x\right)=1$

2. c-  Résoudre dans l'intervalle $]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}]$ l’inéquation : $\cos \left(2x\right)-\sqrt{3}\sin \left(2x\right)\ge 1$

3. Résoudre dans l'intervalle $]-\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }[$ l'inéquation : $\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\ge -1$