Séance 5-1 : Les suites numériques (Cours)

Mathématiques : 1Bac SM

Séance 5-1 : Les suites numériques (Cours)

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

Sommaire

I- Généralités sur les suites numériques

1-1/ Définitions et notations

1-2/ Modes usuels de génération d'une suite numérique

II- Suite majorée - suite minorée - suite bornée

III- Monotonie d'une suite numérique

IV- Suite arithmétique - suite géométrique

4-1/ Suite arithmétique

4-2/ Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

4-3/ Suite géométrique

4-4/ Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

I- Généralités sur les suites numériques

1-1/ Définitions et notations

Définition

On appelle suite numérique toute fonction $u$ de $ℕ$ (ou une partie $I$ de $ℕ$ ) à valeurs dans $ℝ$ .

L'image d'un entier $n$ de $ℕ$ (ou de $I$ ) par la suite $u$ est notée $u_{n}$ .

Le nombre $u_{n}$ s'appelle le terme général de la suite $u$ , c'est aussi le terme de rang $n$ de la suite $u$ .

Remarques

La notation $u_{n}$ se lit aussi : « $u$ indice $n$ ».

Il ne faut pas confondre la suite $(u_{n})$ et son terme général $u_{n}$ , terme d'indice $n$ de la suite $(u_{n})$ .

Les suites rencontrées en pratique sont souvent définies sur $ℕ$ ou $ℕ *$ . On peut toujours ramener l'étude d'une suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ à une suite ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ , indexée par $ℕ$ en posant : $(\forall n \in ℕ) x_{n} = u_{n + n_{0}}$

1-2/ Modes usuels de génération d'une suite numérique

Une suite $(u_{n})$ peut être définie :

- Par une formulation explicite de son terme général $u_{n}$ :

En particulier $u_{n} = f (n)$ , où $f$ est une fonction numérique donnée.

- Par la donnée de son premier terme (ou de ses premiers termes) et une relation de récurrence :

$\{\begin{cases} u_{0} \in ℝ \\ u_{n + 1} = f (u_{n}) \end{cases}$ ou $\{\begin{cases} u_{0}, u_{1} \in ℝ \\ u_{n + 2} = f (u_{n}, u_{n + 1}) \end{cases}$ ...etc.

Application

Soit ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par $u_{1} = \frac{1}{4}$ et $u_{n + 1} = \frac{n + 1}{4 n} u_{n}$ pour tout $n \in ℕ *$ .

Calculer $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ et $u_{5}$ .

II- Suite majorée - suite minorée - suite bornée

Définition

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que : $(\forall n \in I) u_{n} \leq M$

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que : $(\forall n \in I) u_{n} \geq m$

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Remarques

- On prendra garde au fait que, dans la définition, les réels $M$ et $m$ sont des constantes et dépendent pas de l'indice de la suite.

Par exemple, la suite $(u_{n})$ définie par $u_{n} = \sqrt{n}$ vérifie l'iné-galité $u_{n} \leq n$ pour tout $n \in ℕ$ , mais n'est pas une suite majorée.

- S'il existe un réel $S \in ℝ^{+}$ tel que pour tout $n \in ℕ$ , on a $|u_{n}| \leq S$ , alors la suite $(u_{n})$ est bornée.

Applications

Soit $(a_{n})$ la suite numérique définie par : $a_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 1}$

Montrer que la suite $(a_{n})$ est majorée par $5$ et minorée par $2$ .

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{3 u_{n} + 2}{u_{n} + 2}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Montrer que : $(\forall n \in ℕ) 1 \leq u_{n} < 2$

Soit $(v_{n})$ la suite numérique définie par $v_{0} = 2$ et $v_{n + 1} = \sqrt{6 + v_{n}}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Montrer que : $(\forall n \in ℕ) 1 < v_{n} < 3$

Soit ${(w_{n})}_{n \geq 2}$ la suite numérique définie par : $w_{n} = \frac{5^{n} + 3^{n}}{5^{n} - 2 \times 3^{n}}$

Vérifier que pour tout entiers $n \geq 2$ : $w_{n} = 1 + \frac{3}{{(\frac{5}{3})}^{n} - 2}$ , puis en déduire que la suite ${(w_{n})}_{n \geq 2}$ est bornée.

III- Monotonie d'une suite numérique

Définition

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est croissante si : $(\forall (n; m) \in I^{2}) (m \geq n \Rightarrow u_{m} \geq u_{n})$

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est décroissante si : $(\forall (n; m) \in I^{2}) (m \geq n \Rightarrow u_{m} \leq u_{n})$

Remarques

- Si la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est croissante alors : $(\forall n \in I) u_{n} \geq u_{n_{0}}$

- Si la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est décroissante alors : $(\forall n \in I) u_{n} \leq u_{n_{0}}$

- On définit de même une suite strictement croissante et strictement décroissante. Il suffit de remplacer dans la définition précédente, les symboles $« \leq »$ et $« \geq »$ par les symboles $« < »$ et $« > »$ .

Proposition

La suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est croissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$

La suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est strictement croissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) u_{n + 1} - u_{n} > 0$

La suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est décroissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) u_{n + 1} - u_{n} \leq 0$

La suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est strictement croissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) u_{n + 1} - u_{n} < 0$

La suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est constante si, et seulement si : $(\forall n \in I) u_{n + 1} = u_{n}$

La suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est monotone si, et seulement si, elle est croissante ou décroissante.

Remarques

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ une suite numérique telle que : $(\forall n \in I) u_{n} > 0$

On a pour tout $n \in I$ : le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ est celui donc de $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} - 1$

$[u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} (\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} - 1)]$

Ainsi, pour étudier la monotonie de la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ , on peut comparer $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ et $1$ et on a :

- La suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est croissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \geq 1$

- La suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est décroissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq 1$

Applications

Étudier la monotonie des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par $u_{n} = \frac{2 n + 1}{3 n + 1}$ et $v_{n} = 3^{2 n - 1}$ .

On considère la suite numérique $(w_{n})$ définie par $w_{0} = 6$ et $w_{n + 1} = 4 - \frac{3}{w_{n}}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Montrer par récurrence que : $(\forall n \in ℕ) w_{n} > 3$

Montrer que la suite $(w_{n})$ est décroissante, puis en déduire que : $(\forall n \in ℕ) 3 < w_{n} \leq 6$

Soient $(a_{n})$ et $(b_{n})$ les deux suites numériques définies par $a_{0} = 4$ et $b_{0} = 1$ , et pour tout $n \in ℕ$ :

$a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}$ et $b_{n + 1} = \sqrt{a_{n} b_{n}}$ .

Montrer par récurrence que pour tout $n \in ℕ$ : $a_{n} \geq b_{n}$

Montrer que la suite $(b_{n})$ est croissante et que la suite $(a_{n})$ est décroissante.

Soit $(t_{n})$ une suite réelle vérifiant pour tout $n \in ℕ$ : $0 \leq t_{n} \leq 1$ et $(1 - t_{n}) t_{n + 1} > \frac{1}{4}$ .

Prouver que la suite $(t_{n})$ est strictement croissante.

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \sqrt{u_{n}} + 2)$ pour tout $n \in ℕ$ .

Montrer que : $(\forall n \in ℕ) 1 \leq u_{n} \leq 4$

Montrer que $(\forall n \in ℕ) u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2} (2 - \sqrt{u_{n}}) (1 + \sqrt{u_{n}})$ , puis déduire la monotonie de $(u_{n})$ .

Montrer que : $(\forall n \in ℕ) 4 - u_{n + 1} \leq \frac{3}{4} (4 - u_{n})$

En déduire par récurrence que : $(\forall n \in ℕ) 4 - u_{n} \leq 3 {(\frac{3}{4})}^{n}$

IV- Suite arithmétique - suite géométrique

4-1/ Suite arithmétique

Définition

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (indépendant de $n$ ) tel que :

$(\forall n \in I) u_{n + 1} - u_{n} = r$

Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ .

Applications

Soit $(w_{n})$ la suite numérique définie par : $w_{n} = - \sqrt{3} n + \frac{3}{2}$

Montrer que la suite $(w_{n})$ est arithmétique et déterminer sa raison $r$ .

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} - 1}{u_{n}}$ pour tout $n \in ℕ$ .

On pose pour tout $n \in ℕ$ : $v_{n} = \frac{1}{u_{n} - 1}$

Montrer que la suite $(v_{n})$ est arithmétique et déterminer sa raison $r$ .

Soit $(b_{n})$ la suite numérique définie par : $(\forall n \in ℕ) b_{0} + b_{1} + . . . . + b_{n} = 4 n^{2} - 3 n$

Montrer que la suite $(b_{n})$ est arithmétique dont on déterminera la raison et le premier terme.

Proposition

Pour que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ soit arithmétique, il faut et il suffit que :

$(\forall n \geq n_{0}) 2 u_{n + 1} = u_{n} + u_{n + 2}$

Remarque

Pour que trois réels $x$ , $y$ et $z$ , choisis dans cet ordre, soient des termes consécutifs d'une suite arithmétique, il faut et il suffit que : $x + z = 2 y$

Proposition

Si ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite arithmétique de raison $r$ , alors pour tout $(n; p) \in I^{2}$ :

$u_{n} = u_{p} + (n - p) r$

Remarques

Si la suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ , alors : $(\forall n \in ℕ) u_{n} = u_{0} + n r$

Si la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est arithmétique de raison $r$ , alors : $(\forall n \in ℕ) u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ une suite arithmétique de raison $r$ .

- Si $r > 0$ , alors la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est strictement croissante.

- Si $r < 0$ , alors la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est strictement décroissante.

Applications

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que : $\{\begin{cases} u_{0} - u_{4} = 6 \\ 2 u_{0} + u_{4} = 3 \end{cases}$

Déterminer $u_{0}$ , $u_{4}$ et $r$ .

Déterminer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis en déduire $u_{100}$ .

Soit $(v_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que : $\{\begin{cases} v_{2} + v_{3} + v_{4} = 15 \\ v_{6} = 20 \end{cases}$

Déterminer $v_{0}$ et $r$ , puis en déduire l'expression du terme général $v_{n}$ en fonction de $n$ .

Soit $(w_{n})$ la suite numérique définie par $w_{0} = 1$ et $w_{n + 1} = \frac{5 w_{n}}{2 w_{n} + 5}$ .

On pose : $(\forall n \in ℕ) t_{n} = \frac{1}{w_{n}}$

Calculer $w_{1}$ et $w_{2}$ .

Vérifier que la suite $(t_{n})$ est arithmétique dont on déterminera la raison et le premier terme.

Exprimer $t_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de $n$ .

4-2/ Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Proposition

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ une suite arithmétique.

On pose $S_{n} = u_{p} + u_{p - 1} + . . . . + u_{n}$ où $(n; p) \in ℕ^{2}$ et $n \geq p \geq n_{0}$ .

Alors : $S_{n} = \frac{n - p + 1}{2} (u_{p} + u_{n})$

Remarques

- La somme $S_{n} = u_{p} + u_{p - 1} + . . . . + u_{n}$ peut aussi s'écrire simplement : $S_{n} = \sum_{k = p}^{n} u_{k}$

Cette somme contient $(n - p + 1)$ termes.

- Dans le cas où $p = 0$ , on obtient : $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k} = \frac{n + 1}{2} (u_{0} + u_{n})$

- Dans le cas où $p = 1$ , on obtient : $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$

- De façon générale, la somme de termes successifs d'une suite arithmétique est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne arithmétique des termes extrêmes.

$u_{p} + u_{p - 1} + . . . . + u_{n} = \frac{(n - p + 1) (u_{p} + u_{n})}{2}$

$= \frac{(n o m b r e d e t e r m e s) \times (1 e r t e r m e + d e r n i e r t e r m e)}{2}$

Applications

Calculer la somme : $S_{n} = - 3 + 1 + 5 + . . . . + (4 n + 1)$

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que :

$u_{1} + u_{2} + . . . . + u_{26} = 1144$ et $u_{26} = 94$

Calculer $u_{1}$ et $r$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Soit $(a; b) \in ℝ * \times ℝ$ .

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par : $(\forall n \in ℕ) u_{n} = a n + b$

Montrer que la suite $(u_{n})$ est arithmétique puis exprimer en fonction de $n$ la somme : $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}$

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2 n - 2$ pour tout $n \in ℕ$ .

On pose pour tout $n \in ℕ$ : $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$

Vérifier que la suite $(v_{n})$ est arithmétique dont on déterminera la raison et le premier terme.

Calculer la somme $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} v_{k}$ en fonction de $n$ .

En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

4-3/ Suite géométrique

Définition

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (indépendant de $n$ ) tel que :

$(\forall n \in I) u_{n + 1} = q u_{n}$

Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ .

Applications

Soient $(a_{n})$ et $(b_{n})$ deux suites numériques définies par $a_{n} = {(\sqrt{2} - 1)}^{n}$ et $b_{n} = 3 \times \frac{\sqrt{5}}{2^{n - 1}}$ .

Montrer que $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont géométriques.

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \frac{1}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{9 u_{n}}{4 u_{n} + 3}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Montrer par récurrence que : $(\forall n \in ℕ) u_{n} \neq 0$

Pour tout $n \in ℕ$ , on pose : $v_{n} = 2 - \frac{3}{u_{n}}$

Montrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

Soit $(x_{n})$ la suite numérique définie par $x_{0} = 2$ et $x_{n + 1} = \frac{10 + x_{n}}{3}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Pour tout $n \in ℕ$ , on pose : $y_{n} = x_{n} - 5$

Montrer que la suite $(y_{n})$ est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

Proposition

Pour que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ soit géométrique, il faut et il suffit que :

$(\forall n \geq n_{0}) {u^{2}}_{n + 1} = u_{n} \times u_{n + 2}$

Remarque

Pour que trois réels $x$ , $y$ et $z$ , choisis dans cet ordre, soient des termes consécutifs d'une suite géométrique, il faut et il suffit que : $x . z = y^{2}$

Remarques

Si la suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $q$ , alors : $(\forall n \in ℕ) u_{n} = u_{0} . q^{n}$

Si la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est arithmétique de raison $q$ , alors : $(\forall n \in ℕ) u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}$

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ une suite arithmétique de raison $q$ .

- Si $u_{n_{0}} > 0$ et $q > 1$ , alors la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est strictement croissante.

- Si $u_{n_{0}} > 0$ et $0 < q < 1$ , alors la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est strictement décroissante.

Applications

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique à termes positifs tels que $u_{4} = 0, 84$ et $u_{6} = 5, 25$ .

Calculer la raison $q$ de cette suite et le premier terme $u_{0}$ .

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Préciser la monotonie de la suite $(u_{n})$ .

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par $u_{4} = \frac{1}{2}$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3$ pour tout $n \in ℕ$ .

On pose pour tout $n \in ℕ$ : $v_{n} = u_{n} - 3$

Montrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

Exprimer $v_{n}$ et $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Soit $a$ , $b$ et $c$ trois termes consécutifs d'une suite géométrique tels que : $\{\begin{cases} a + b + c = 36, 75 \\ a b c = 343 \end{cases}$

Déterminer $a$ , $b$ et $c$ .

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 0$ et $u_{1} = 1$ et $u_{n + 2} = \frac{1}{3} (7 u_{n + 1} - 2 u_{n})$ pour tout $n \in ℕ$ .

Pour tout $n \in ℕ$ , on pose $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 2 u_{n}$ et $w_{n + 1} = u_{n + 1} - \frac{1}{3} u_{n}$ .

Calculer $v_{1}$ et $w_{1}$ .

Montrer que les suites ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(w_{n})}_{n \geq 1}$ sont géométriques.

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

4-4/ Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

Proposition

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$ .

On pose $S_{n} = u_{p} + u_{p - 1} + . . . . + u_{n}$ où $(n; p) \in ℕ^{2}$ et $n \geq p \geq n_{0}$ .

Alors : $S_{n} = u_{p} \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q}$

Remarques

- Dans le cas où $p = 0$ , on obtient $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k} = u_{0} \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ et $S_{n - 1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} u_{k} = u_{0} \times \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

- Dans le cas où $p = 1$ , on obtient : $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} = u_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Si ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite géométrique de raison $q = 1$ , alors : $\sum_{k = p}^{n} u_{k} = (n - p + 1) u_{p}$

De façon générale, la somme de termes successifs d'une suite géométrique peut être retenue par :

$u_{p} + u_{p - 1} + . . . . + u_{n} = u_{p} \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q}$

$= 1^{e r} t e r m e d e l a s o m m e \times \frac{1 - q^{n o m b r e d e t e r m e s}}{1 - q}$

IV- Suite arithmétique - suite géométrique $q \neq 1$

Applications

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{3}{5} u_{n} + \frac{2}{5}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Montrer que la suite $(v_{n})$ définie pour tout $n \in ℕ$ par $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ est géométrique.

Calculer en fonction de $n$ la somme $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} v_{k}$ , puis en déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison .

On pose pour tout $n \in ℕ *$ : $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k}$

Montrer que : $(\forall n \in ℕ) S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n}) = {(S_{2 n} - S_{n})}^{2}$

Montrer que :

$\sqrt{u_{1} u_{2}} + \sqrt{u_{3} u_{4}} + . . . + \sqrt{u_{2 n - 1} u_{2 n}} = \sqrt{u_{1} + u_{3} + . . . + u_{2 n - 1}} \times \sqrt{u_{2} + u_{4} + . . . + u_{2 n}}$

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