Maths 2Bac SM - Semestre 2 Devoir 3 Modèle 2

I- Exercice 1

On rappelle que $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;•\right)$ est un espace vectoriel réel.

Pour tout $(a;b)\in {\mathrm{ℝ}}^2$, on pose : $M\left(a;b\right)=\left(\begin{array}{cc}a+b& -b\\ -b& a-b\end{array}\right)$.

On considère l'ensemble : $V=\left\{M\left(a;b\right)/\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

On note $I=M\left(1;0\right)$ et $J=M\left(0;1\right)$.

1. Montrer que $\left(V;+;•\right)$ est un espace vectoriel réel.

2. Montrer que $\left(I;J\right)$ est une base de $V$, puis déterminer les coordonnées d'un élément $M\in V$ dans cette base.

3. Calculer $J^2$.

4. Montrer que $\left(V;+;\times \right)$ est un anneau.

5. L'anneau $\left(V;+;\times \right)$ est-il commutatif ?

6. L'anneau $\left(V;+;\times \right)$ est-il intègre ?

7. Déterminer les éléments inversibles dans $\left(V;+;\times \right)$.

Soit $M\in V$.

On pose $M^1=M$ et $M^{n+1}=M^n\times M$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*-\left\{1\right\}$.

8. Montrer que le système de coordonnées de $M^n$ dans la base $\left(I;J\right)$ sont $\left(a^n;n{a}^{n-1}b\right)$.

9. Déterminer le couples des coordonnées de la matrice $M+M^2+...+M^n$ dans la base $\left(I;J\right)$ en fonction de $a$, $b$ et $n$.

II- Exercice 2

1. Résoudre l'équation : $\left(E\right): y"-2y\text{'}+5y=0$

2. Déterminer la solution $f$ de l'équation $\left(E\right)$ qui vérifie les conditions $f\left(0\right)=f\text{'}\left(0\right)=1$.

3. En déduire que ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}{e}^x\cos \left(2x\right)dx=\frac{e^{\mathrm{\pi }}-1}{5}$.

Soit $\theta \in \mathrm{ℝ}$.

4. Résoudre et discuter selon les valeurs de $\theta$ l'équation différentielle suivante : $y"-\left(2\sin \theta \right)y\text{'}+y=0$

III- Exercice 3

Partie 1

Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher.

On tire successivement et avec remise 4 boules de l’urne et on considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules noires tirées de l'urne.

1. Préciser la loi de la variable aléatoire $X$.

2. Calculer l’espérance mathématique  de $X$.

Partie 2

On effectue l’expérience aléatoire suivante sur trois étapes comme suit :

• Étape 1 : On rire une boule de l'urne, on note sa couleur puis on la remet dans l’urne.
• Étape 2 : On ajoute dans l'urne 5 boules de même couleur de celle de la lère boule tirée.
• Étape 3 : On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne parmi les 12 boules.

On considère les événements suivants :

• $N$ : « La lère boule tirée de l'urne est noire »
• $R$ : « La lère boule tirée de l'urne est rouge »
• $E$ : « Les boules tirées dans la 3ème étapes sont toutes noires ».

1. Montrer que $P\left(E\cap N\right)=\frac{12}{55}$.

2. Calculer $P\left(E\right)$.

3. Calculer la probabilité de l'événement $R$ sachant l'événement $E$ est réalisé.