Maths 2Bac SM - Semestre 2 Devoir 2 Modèle 2

I- Exercice 1

soit $n$ un élément de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

On considère dans ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^2$ l’équation : $\left(x-2n\right)\left(y-2n\right)=2n^2$

On pose : $\delta =\left(x-2n\right)\wedge \left(y-2n\right)$

1. Montrer que ${\delta }^2|2n^2$ et $\delta |\left(x\wedge y\right)$.

2. Montrer que $x^2+y^2={\left(x+y-2n\right)}^2$, puis déduire que $\left(x\wedge y\right)|\delta$.

3. Montrer que $\left(x\wedge y\right)|n$.

II- Exercice 2

Soit $J=]0;1[$.

On considère dans $J$ la loi $*$ telle que : $\left(\forall \left(x,y\right)\in J^2\right) x*y=\frac{xy}{xy+\left(x-1\right)\left(y-1\right)}$

1. Montrer que $*$ est interne dans $J$ et commutative.

2. Montrer que $*$ est associative.

3. Montrer que $\left(J,*\right)$ est un groupe commutatif.

Soit $f$ l’application définie de $\mathrm{ℝ}{*}^{+}$ vers $J$ par : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}{*}^{+}\right) f\left(x\right)=\frac{x}{x+1}$

4. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $\left(\mathrm{ℝ}{*}^{+},\times \right)$ vers $\left(J,*\right)$.

5. Déduire la structure de $\left(J,*\right)$.

III- Exercice 3

On rappelle que $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ est un anneau de zéro $O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ et d’unité $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, et que $\left(\mathrm{ℂ};+;\times \right)$ est un corps commutatif.

Pour tous $a$ et $b$ de $\mathrm{ℝ}$, on pose : $M\left(a;b\right)=\left(\begin{array}{cc}a& a-b\\ b& a+b\end{array}\right)$

On considère l’ensemble : $E=\left\{M\left(a;b\right)/\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

1. Montrer que $E$ est un sous-groupe de $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+\right)$.

2. Calculer $J^2=J\times J$ où $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, puis en déduire que $E$ n’est pas une partie stable de $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$.

On définit sur l’ensemble ${\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right)$ une loi de composition interne $*$ par $A*B=A\times N\times B$ avec $N=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

On considère l’application $\phi$ de $\mathrm{ℂ}*$ dans ${\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right)$ et qui, à chaque nombre complexe non nul $a+ib$ ($a$ et $b$ deux réels), la matrice $M(a;b)$.

3. Montrer que $\phi$ est un morphisme de $\left(\mathrm{ℂ}*;\times \right)$ dans ${\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right)$.

On pose $E*=E-\left\{O\right\}$.

4. Montrer que $\phi \left(\mathrm{ℂ}*\right)=E*$.

5. Montrer que $\left(E*;*\right)$ est un groupe commutatif.

6. Montrer que pour tout $\left(A;B;C\right)\in E^3 : A*\left(B+C\right)=A*B+A*C$.

7. En déduire de ce qui précède que $\left(E;+;*\right)$ est un corps commutatif.