Mathématiques : 2Bac SMA-SMB
Semestre 2 Devoir 2 Modèle 2
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
I- Exercice 1
soit n un élément de ℕ.
On considère dans ℤ2 l’équation : (x-2n)(y-2n)=2n2
On pose : δ=(x-2n)∧(y-2n)
- Montrer que δ2|2n2 et δ|(x∧y).
- Montrer que x2+y2=(x+y-2n)2, puis déduire que (x∧y)|δ.
- Montrer que (x∧y)|n.
II- Exercice 2
Soit J=]0;1[.
On considère dans J la loi * telle que : (∀(x,y)∈J2) x*y=xyxy+(x-1)(y-1)
- Montrer que * est interne dans J et commutative.
- Montrer que * est associative.
- Montrer que (J,*) est un groupe commutatif.
Soit f l’application définie de ℝ*+ vers J par : (∀x∈ℝ*+) f(x)=xx+1
- Montrer que f est un isomorphisme de (ℝ*+,×) vers (J,*).
- Déduire la structure de (J,*).
III- Exercice 3
On rappelle que (M2(ℝ);+;×) est un anneau de zéro O=(0000) et d’unité I=(1001), et que (ℂ;+;×) est un corps commutatif.
Pour tous a et b de ℝ, on pose : M(a;b)=(aa-bba+b)
On considère l’ensemble : E={M(a;b)/(a;b)∈ℝ2}
- Montrer que E est un sous-groupe de (M2(ℝ);+).
- Calculer J2=J×J où J=(1101), puis en déduire que E n’est pas une partie stable de (M2(ℝ);×).
On définit sur l’ensemble M2(ℝ) une loi de composition interne * par A*B=A×N×B avec N=(1-101).
On considère l’application φ de ℂ* dans M2(ℝ) et qui, à chaque nombre complexe non nul a+ib (a et b deux réels), la matrice M(a;b).
- Montrer que φ est un morphisme de (ℂ*;×) dans M2(ℝ).
On pose E*=E-{O}.
- Montrer que φ(ℂ*)=E*.
- Montrer que (E*;*) est un groupe commutatif.
- Montrer que pour tout (A;B;C)∈E3 : A*(B+C)=A*B+A*C.
- En déduire de ce qui précède que (E;+;*) est un corps commutatif.
