Maths 2Bac SM - Semestre 2 Devoir 1 Modèle 2

Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Semestre 2 Devoir 1 Modèle 2

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

I- Exercice 1

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par : $f (x) = \frac{1}{x} \ln^{2} (x)$

Calculer $\lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ et $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ et interpréter les résultats.

Dresser le tableau de variation de $f$ .

Montrer que $f$ admet deux points d’inflexion.

Représenter $(C_{f})$ dans un repère orthonormée $(O; \vec{i}; \vec{j})$ avec $||\vec{i}|| = 1 c m$ (on prend $e^{2} ≅ 7, 4$ et $\frac{4}{e^{2}} ≅ 0, 6$ ).

Calculer l’aire de la partie du plan limitée par $(C_{f})$ , $(O; \vec{i})$ , les droites d’équation $x = 1$ et $x = e^{2}$ .

Partie 2

$(\forall p \in ℕ *)$ , on pose $I_{p} = \int_{1}^{e^{2}} \frac{{(\ln x)}^{p}}{x^{2}} d x$ .

Calculer $I_{1}$ .

Montrer que $(\forall p \in ℕ *) I_{p + 1} = \frac{2^{p + 1}}{e^{2}} + (p + 1) I_{p}$ .

En déduire $I_{2}$ , $I_{3}$ et $I_{4}$ .

Interpréter géométriquement $π . I_{4}$ .

Partie 3

On pose $F (x) = \int_{\ln x}^{1 + \ln x} f (t) d t$ .

Montrer que $F$ est définie sur $I =] 1; + \infty [$ .

Monter que $(\forall x \in I) (\exists β \in [\ln x : \ln x + 1]) / F (x) = f (β)$ , puis calculer $\lim_{x \to + \infty} F (x)$ .

$(\forall α \in] 0; 1 [)$ , on pose $A (x) = \int_{α}^{1} f (t) d t$ .

Calculer $A (x)$ en fonction de $α$ , puis calculer $\lim_{x \to 1^{+}} F (x)$ .

Montrer que $F$ est dérivable sur $I$ , puis calculer $F' (x)$ .

On considère la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ définie par : $u_{n} = \int_{1}^{\frac{1}{n} + 1} f (n t) d t$

Montrer que $u_{n} = \frac{1}{n} . \int_{1}^{1 + n} f (t) d t$ .

Calculer $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

II- Exercice 2

Le plan $Ρ$ est rapporté à un repère orthonormée $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .

On considère l’application $F : P \to P$ , qui laisse invariant $Ω (i)$ et qui associe à chaque point $M (Z)$ de $P - \{Ω\}$ le point $M ’ (Z ’)$ tel que $Ω M M'$ est un triangle rectangle en $M$ et $(\vec{Ω M}, \vec{Ω M'}) \equiv \frac{π}{3} [2 π]$ .

Déterminer l’écriture complexe de $F$ .

Montrer que $Ω$ est le seul point invariant par $F$ .

Soit $R (Ω, \frac{π}{3})$ la rotation de centre $Ω$ et d’angle $\frac{π}{3}$ .

Montrer que $F = R \circ h$ avec $h$ une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport.

Soit $H$ la projection orthogonale de $M$ sur $(Ω M')$ , et on pose : $F (H) = M "$

Montrer que $Ω$ , $M$ , $M'$ et $M "$ sont cocycliques.

III- Exercice 3

Soit $m$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ .

Montrer que $m^{2}$ et $m - 1$ sont premiers entre eux.

En déduire que l’équation $(E) : m^{2} x + (m - 1) y = 1$ admet au moins une solution.

Résoudre dans $ℤ^{2}$ l’équation $(E)$ .

On pose $m = 7$ .

Montrer que $4 \circ 1$ est un nombre premier.

En déduire que $2011^{49^{2}} \equiv 2011 [401]$ .

IV- Exercice 4

On pose $E$ l’ensemble de couples $(a, b)$ tel que $a \neq - 1$ , et on considère l’application $f_{(a, b)}$ définie par :

$f_{(a, b)} : \subseteq \to : \subseteq Z = x + i y \to Z' = x' + i y' / \{\begin{cases} x' = (1 + a) x + x \\ y' = y + b \end{cases}$

Vérifier que $(\forall (a, b) \in E) (\forall (a', b') \in E) f_{(a', b')} \circ f_{(a, b)} = f_{(a + a' + a a', b + b')}$ ,

Montrer que $" \circ "$ est une loi de composition interne dans l’ensemble $A = \{f_{(a, b)} / (a, b) \in E\}$ .

Montrer que $(\forall (a, b) \in E) {f^{- 1}}_{(a, b)} = f_{(\frac{- a}{1 + a}, - b)}$ .

Montrer que $(A, \circ)$ est un groupe commutatif.

On définie sur $E$ la loi de composition interne $" T "$ par $(\forall (a, b) \in E) (\forall (a', b') \in E) (a, b) T (a', b') = (a + a' + a a', b + b')$ .

On considère l’application : $h : A \to E f_{(a, b)} \to (a, b)$

Montrer que $h$ est un isomorphisme de $(A, \circ)$ vers $(E, T)$ .

En déduire la structure que $(E, T)$ .

Déterminer l’élément neutre de $(E, T)$ , et le symétrique d’un élément $(a, b)$ de $(E, T)$ .

On pose : $H = \{(x, \ln x + 1) / x > - 1\}$

Montrer que $(H, T)$ est un groupe commutatif.

Retour