Maths 2Bac SM - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 2

I- Exercice 1 (7 pts)

Pour $n\ge 1$, on considère le polynôme : $P_n\left(X\right)=X^n+X^{n-1}+...+X-1$

1. Démontrer que $P_n$ possède une seule racine dans ${\mathrm{ℝ}}^{+}$, que l'on note $u_n$.

2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, et en déduire qu'elle converge.

3. Démontrer que, pour tout $n\ge 1$, $u_n\ge \frac{1}{2}$.

Soit $\rho \in ]\frac{1}{2};1[$.

4. Démontrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{P}_n\left(\rho \right)>0$.

5. Démontrer que $\left(u_n\right)$ converge vers $\frac{1}{2}$.

II- Exercice 2 (13 pts)

Partie 1

soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $g\left(x\right)=-\frac{1}{x+1}+\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$

1. Calculer les limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)$.

2. Montrer que $g\text{'}\left(x\right)=-\frac{-1}{x{\left(x+1\right)}^2}$, et donner le tableau de variation de $g$.

3. Déduire que $\left(\forall x>0\right) g\left(x\right)>0$.

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ si $x\ne 0$ et $f\left(0\right)=0$.

1. Montrer que $f$ est continue à droite de $0$.

2. Montrer que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$, et donner une interprétation géométrique du résultat.

3. Étudier la branche infinie de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au voisinage de $+\infty$.

4. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ et étudier le sens de variation de $f$, puis donner le tableau de variation.

5. Construire la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

Partie 3

Soit ${\left(u_n\right)}_{n>0}$ une suite telle que $u_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$, et on pose $v_n=\ln u_n$.

1. Vérifier que $v_n=f\left(n\right)$, et déduire que ${\left(u_n\right)}_{n>0}$ est croissante.

2. Montrer que $\left(\forall x>0\right) \ln \left(1+x\right)<x$, et déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) u_n<e$, puis calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

On pose $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{v_k}{k}$.

3. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ et déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{S_n}{n}$.