Math 2Bac SPC - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 2

I- Exercice 1

Partie 1

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-x$

1. Vérifier que $\left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right): f\left(x\right)=x\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-1\right)$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$, et étudier la branche infinie de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

3. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

4. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$  pour tout $x\in ]0,+\infty [$.

5. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

6. Montrer que $\left(\forall x\in ]0;1[\right): f\left(x\right)-x=x\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-2\right)$.

7. En déduire que $\left(\forall x\in ]0;1[\right): f\left(x\right)>x$.

8. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]1,+\infty [$.

9. Montrer que le réel $\alpha$ vérifie ${\alpha }^3-4{\alpha }^2-\alpha =0$, puis en déduire la valeur de $\alpha$.

Partie 2

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=\frac{1}{8}\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right.\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): \frac{1}{8}\le u_n<1$

2. Déterminer le sens des variations de la suite $\left(u_n\right)$.

3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

II- Exercice 2

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=\frac{1+u_n}{\sqrt{3+{u_n}^2}}\\ u_0=0\end{array}\right.\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$.

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): 0\le u_n\le 1$.

2. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): u_{n+1}\ge \frac{1+u_n}{2}$.

3. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

4. Vérifier que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): 1-u_{n+1}\le \frac{1}{2}\left(1-u_n\right)$.

5. En déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): u_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

6. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.