Math 2Bac SPC - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 2

I- Exercice 1

1. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x}= \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}= \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}= \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{x^3-x-1}-2x-1= \end{gathered}$$

II- Exercice 2

Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ et à valeurs dans l’intervalle $[a,b]$ :

$\left(\forall x\in \left[a,b\right] ; f\left(x\right)\in \left[a,b\right]\right)$

1. Montrer que la fonction $f$ admet au moins un point fixe (càd $\exists c\in \left[a,b\right] ; f\left(c\right)=c$).

III- Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $I=\left[\frac{\mathrm{\pi }}{4},\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ par :

$f\left(x\right)=x^2-x\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)$

1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $I$.

2. Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha$ de l’intervalle $I$ tel que $f\left(\alpha \right)=0$.

3. Auquel des intervalles $]\frac{\mathrm{\pi }}{4},\frac{\mathrm{\pi }}{3}[$ et $]\frac{\mathrm{\pi }}{3},\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$ appartient le réel $\alpha$ ? Justifier la réponse.

4. Donner le tableau de signe de la fonction $f$ sur $I$.

IV- Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=x^3+x$

1. Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $g$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.

3. Montrer que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) {\left(g\left(x\right)\right)}^3+g\left(x\right)=x$

4. Montrer que $\left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}\right) g\left(x\right)\le x$,  puis calculer la limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{{\left(g\left(x\right)\right)}^3}$.

V- Exercice 5

1. Simplifier les nombres suivants :

$$\begin{gathered} A=\frac{\sqrt{18}\times \sqrt{\sqrt[3]{256}}\times \sqrt[4]{64}}{\sqrt[3]{1024}\times \sqrt[6]{64\times {10}^6}} \\ B=\frac{\sqrt[15]{3}\times \sqrt[3]{9}\times {\left(\sqrt{9}\right)}^3}{\sqrt[4]{27}\times \sqrt{\sqrt{3}}} \\ C=\frac{\sqrt[4]{2048}\times \sqrt[4]{160000}}{\sqrt[8]{4096}\times \sqrt[3]{\sqrt{256}\times \sqrt{512}}} \end{gathered}$$