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Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Semestre 1 Devoir 1 Modèle 2

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

I- Exercice 1

 

  1. Calculer les limites suivantes :

limx→+∞√x-3√x-4√x=limx→+∞3√x-1-1√x-1-1=limx→+∞√x-33√x+4√x3√x-1=limx→+∞3√x3-x-1-2x-1=

 

II- Exercice 2

 

Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a,b] et à valeurs dans l’intervalle [a,b] :

(∀x∈[a,b] ; f(x)∈[a,b])

  1. Montrer que la fonction f admet au moins un point fixe (càd ∃c∈[a,b] ; f(c)=c).

 

III- Exercice 3

 

On considère la fonction f définie sur I=[π4,π2] par :

f(x)=x2-xsin(x)-cos(x)

  1. Montrer que f est strictement croissante sur I.
  1. Montrer qu’il existe un unique réel α de l’intervalle I tel que f(α)=0.
  1. Auquel des intervalles ]π4,π3[ et ]π3,π2[ appartient le réel α ? Justifier la réponse.
  1. Donner le tableau de signe de la fonction f sur I.

 

IV- Exercice 4

 

Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x)=x3+x

  1. Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque g définie sur un intervalle J à déterminer.
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
  1. Montrer que (∀x∈ℝ) (g(x))3+g(x)=x
  1. Montrer que (∀x∈ℝ+) g(x)≤x,  puis calculer la limite limx→+∞x(g(x))3.

 

V- Exercice 5

 

  1. Simplifier les nombres suivants :

A=√18×√3√256×4√643√1024×6√64×106B=15√3×3√9×(√9)34√27×√√3C=4√2048×4√1600008√4096×3√√256×√512

 

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