Maths 2Bac SM - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 2

I- Exercice 1 (12 pts)

Partie 1

On considère dans $\mathrm{ℝ}$ l'équation suivante :

$\left(E\right) : x^3+3x-4=0$

1. Montrer que l’équation $\left(E\right)$ admet une solution unique dans $\mathrm{ℝ}$.

On pose : $\alpha =\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

2. Établir que $\alpha$ est une solution de $\left(E\right)$, puis en déduire que $\alpha =1$.

Partie 2

On considère la fonction numérique  définie par :

$g\left(x\right)=\frac{2}{3}.\frac{Arc\tan \left(\sqrt[4]{x}-1\right)}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}$

1. Déterminer $D_g$, le domaine de définition de $g$.

2. Calculer les limites $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

3. Montrer que $g$ admet un prolongement par continuité en $1$ qu'on déterminera.

Partie 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\left(x-1\right)E\left(\frac{1}{x-1}\right) si x\ne 0\\ f\left(1\right)=1\end{array}\right.$

1. Étudier la continuité de $f$ en $1$.

2. Calculer les limites $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

II- Exercice 2 (8 pts)

Soit $\alpha$ un réel de l’intervalle $]0;1[$.

On considère les suites numériques $\left(a_n\right)$ et $\left(S_n\right)$ définies par : $a_n={\left(1-\alpha \right)}^n$ et $S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$.

1. Montrer que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(S_n\right)$ convergent puis calculer les limites $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0>0$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n>0$.

3. Montrer que $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

4. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n\le u_0+\frac{1}{\alpha u_0}$.

5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.