Math 3AC - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 2

Exercice 1 (6 pts)

1. Comparer $a$ et $b$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} a-\frac{5}{7}=b-\frac{7}{9} \\ -2\left(\frac{a}{6}+\frac{11}{8}\right)=3\left(-\frac{14}{9}-\frac{b}{9}\right) \end{gathered}$$

$x$ et $y$ deux nombres réels tels que $x<y$.

2. Comparer $2x+3y$ et $x+4y$.

$c$ et $d$ deux nombres réels tels que $1\le c\le 2$ et $-3\le d\le -2$.

3. Encadrer $d+c$ et $c-d$.

4. Montrer que $-1\le \frac{c^2+d}{2}\le 1$.

Exercice 2 (5 pts)

1. Comparer $a$ et $b$ en justifiant la réponse :

$$\begin{gathered} \overline{)1} a=\sqrt{8} ; b=3\sqrt{2} \\ \overline{)2} a=5-2\sqrt{3} ; b=4-\sqrt{12} \\ \overline{)3} a=7\sqrt{2} ; b=10 \\ \overline{)4} a=-4\sqrt{2} ; b=-\sqrt{33} \end{gathered}$$

Exercice 3 (4 pts)

On considère la figure suivante telle que :

$AB=5 ; AD=6 ; AE=3 ; BE=6 ; \left(EB\right)//\left(DC\right)$

1. Calculer $AC$ et $DC$.

Soit $F$ un point de la demi-droite $\left[CD\right)$ tel que $DF=6$.

2. Comparer $\frac{CA}{CB}$ et $\frac{CD}{CF}$.

3. En déduire que $\left(BF\right)//\left(AD\right)$.

Exercice 4 (5 pts)

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6$ et $AD=9$.

$M$ est le milieu de $\left[AB\right]$ et $F$ un point de $\left[AD\right]$ tel que $AF=1$.

1. Montrer que $MC=3\sqrt{10}$ et $MF=\sqrt{10}$.

2. Déduire la nature du triangle $MFC$.

$K$ est la projection de $M$ sur $\left(FC\right)$.

3. Calculer $MK$.

4. Calculer la surface du triangle $MKC$.