Math 3AC - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 2

Exercice 1 (4 pts)

1. Calculer et simplifier :

$$\begin{gathered} A=\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\times \left(1+\frac{13}{2}\right) \\ B={\left(1-\frac{1}{3}\right)}^3\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3} \\ C=\frac{6}{7}\times \left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)÷\left(\frac{-5}{7}\right) \\ D={\left(1-3^{-1}\right)}^2\times {\left(\frac{3}{8}\right)}^2 \end{gathered}$$

Exercice 2 (8 pts)

On pose : $F=5^2-\frac{3^{n+3}}{3^{n+1}}$

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a  $F=16$.

On pose : $G=\frac{{\left(2a^3\times b^2\right)}^3\times {\left(3^{-1}\times b^{-1}\right)}^{-2}}{6^2\times {\left(b^2\right)}^4\times {\left(a^{-2}\right)}^{-3}}$

où $a$ et $b$ sont des nombres réels non nuls.

2. Montrer que $G=2a^3$.

3. Calculer $G$ pour $a=5\times {10}^{-3}$.

4. Déduire l’écriture scientifique de $G$.

5. Compléter en utilisant une puissance de $10$ :

$$\begin{gathered} H=0,0000013=13\times .......... \\ I=540000=0,54\times .......... \\ J=217\times {\left({10}^{-3}\right)}^4=0,0217\times .......... \end{gathered}$$

Exercice 3 (4 pts)

$x$ est un nombre réel.

On pose : $M=4x^2-1+\left(3+x\right)\left(1+2x\right)$

1. Montrer que $M=\left(3x+2\right)\left(2x+1\right)$.

2. Développer et réduire $M$.

3. Calculer $M$ pour $x=\frac{-1}{2}$.

Exercice 4 (2 pts)

$a$ et $b$ sont deux nombres réels, tels que $2a-b=-2$

On pose : $Z={\left(a+2\right)}^2-{\left(b+1\right)}^2-\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

1. Développer et réduire $Z$.

2. Déduire la valeur de $Z$.

Exercice 5 (2 pts)

$x$ et $y$ sont deux nombres réels, tels que $x\ne y$ et $x\ne -y$

1. Montrer que : $\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)=x^3-y^3+x^{2}y-x{y}^2$

2. En déduire une simplification de l’expression suivante :

$T=\frac{y^2}{x+y}+\frac{x^2}{x-y}-\frac{2x{y}^2}{x^2-y^2}$