Séance 12-3 : Calcul de probabilités - Problème de synthèse

Sommaire

IX- Problème de synthèse

IX- Problème de synthèse

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 4.

On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ tels que :

• L'urne $U_1$ contient une boule rouge et $\left(n-1\right)$ boules noires.
• L'urne $U_2$ contient deux boules rouges et $\left(n-2\right)$ boules noires.
• L'urne $U_3$ contient trois boules rouges et $\left(n-3\right)$ boules noires.

On considère l'expérience aléatoire suivante :

On choisit au hasard une urne par les trois urnes et on y tire simultanément deux boules.

On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules rouges tirées de l'urne.

1. Déterminer les valeurs prises par $X$.

2. Montrer que $P\left(X=2\right)=\frac{8}{3n\left(n-1\right)}$

3. Montrer que $P\left(X=1\right)=\frac{4n\left(3n-7\right)}{3n\left(n-1\right)}$

4. En déduire la loi de probabilité de $X$.

5. Sachant qu'on a obtenu deux boules rouges, quelle est la probabilité que le tirage a été effectué dans l’urne $U_3$ ?