Séance 12-2-2 : Calcul de probabilités - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

IIX- Exercices II

8-1/ Exercice 2-1

8-2/ Exercice 2-2

8-3/ Exercice 2-3

8-4/ Exercice 2-4

IIX- Exercices II

8-1/ Exercice 2-1

Soit $X$ la variable aléatoire définie par le tableau suivant :

1. Déterminer la valeur de $p_2$ et $p_4$ sachant que les événements $\left[X=2\right]$ et $\left[X=4\right]$ sont équiprobables.

2. Calculer les probabilités suivantes :

$P\left(X\ge 2\right) ; P\left(1\le X\le 3\right) ; P_{\left(X\ge 2\right)}\left(X\le 4\right)$

3. Calculer l'espérance $E\left(X\right)$ et l'écart-type $\sigma \left(X\right)$.

4. Déterminer la fonction de répartition $F_x$ de $X$, puis tracer sa courbe.

IIX- Exercices II

8-2/ Exercice 2-2

On considère le jeu suivant :

Le joueur lance d'abord un dé non truqué. S'il obtient 1, 2 ou 3, il gagne l'équivalent en dirhams (c'est-à-dire 1 Dh s'il obtient 1 par exemple). Sinon, il perd 2Dh.

On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain du joueur (négatif en cas de perte).

1. Donner la loi de probabilité de $X$ et sa fonction de répartition $F_x$.

2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$ et la variance $V\left(X\right)$.

On modifie le jeu de la façon suivante : les gains restent les mêmes pour les résultats 1, 2 ou 3, mais si le joueur obtient autre chose, il relance le dé. S'il obtient 3 ou moins, il gagne 3Dh, sinon il perd 5Dhs.

3. Décrire formellement l'univers du nouveau jeu.

On note $Y$ la variable aléatoire qui désigne le nouveau gain du joueur.

4. Donner la loi de $Y$ et calculer son espérance.

5. Quelle variante du jeu est la plus avantageuse pour le joueur ? Justifier.

IIX- Exercices II

8-3/ Exercice 2-3

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,4$.

1. Déterminer $X\left(\Omega \right)$ et l'expression de $P\left(X=k\right)$ pour tout $k\in X\left(\Omega \right)$.

2. En déduire les probabilités suivantes :

$$\begin{gathered} P\left(X=6\right) ; P\left(X\le 3\right) ; P\left(X\ge 2\right) \\ P\left(X=8,5\right) ; P\left(3\le X\le 6\right) ; P_{\left(X\ge 3\right)}\left(X\le 6\right) \end{gathered}$$

3. Déterminer les valeurs de l'entier naturel $n_0$ pour lesquelles : $P\left(X\ge n_0\right)\le 0,63$

4. Déterminer: l'espérance et la variance de $X$.

IIX- Exercices II

8-4/ Exercice 2-4

Considérerons l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé non pipé, l'issue de l'expérience étant l'apparition ou non du chiffre 6.

L'expérience est répétée 100 fois.

1. Préciser la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ égale au nombre de fois où le chiffre 6 est apparu au cours des 100 lancers.

2. Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$.