Séance 15 - Statistiques

Mathématiques : Tronc Commun

Séance 15 (Statistiques)

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

Sommaire

I- Terminologie statistique et symboles

1-1/ Population – Unité statistique – Caractère – Valeurs – Classes

1-2/ Effectifs – Effectifs cumulés – Fréquences – Fréquences cumulées – Pourcentages

II- Paramètres de position

2-1/ Moyenne arithmétique (ou moyenne statistique)

2-2/ Médiane

III- Paramètres de dispersion

3-1/ Étendue

3-2/ Écart moyen

3-3/ Variance

3-4/ Écart type

IV- Diagrammes

4-1/ Diagramme en bâtons et polygone statistique

4-2/ Diagramme sectoriel

4-3/ Histogramme

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

I- Terminologie statistique et symboles

1-1/ Population – Unité statistique – Caractère – Valeurs – Classes

Activité

Exemple 1

Dix candidats ont passé un concours , les notes obtenues sur 150 points sont :

60 – 70 – 80 – 60 – 60 – 70 – 90 – 70 – 60 – 80

Exemple 2

Le tableau suivant présente les poids de 60 bébés âgés de 4 mois :

Poids des bébés en kg	[5;5,5[	[5,5;6[	[6;6,5[	[6,5;7[	[7;7,5[
Nombres de bébés	200	50	30	15	5

Exemple 3

Le tableau suivant donne le nombre des voitures vendues de chaque marque parmi 300 voitures vendues pendant un mois :

Marques des voitures	Dacia	Peugeot	Ford	Mercedes	BMW
Nombres des voitures vendues	200	50	30	15	5

Terminologie statistique

Termes	Exemple 1	Exemple 2	Exemple 3
Population statistique	10 candidats	60 bébés	300 voitures vendues
Effectif total (noté N)	N=10	N=60	N=300
Unité statistique ou « individu»	Candidat	Bébé	Voiture vendue
Caractère (ou variable statistique)	Note obtenue	Poids du bébé	Marque de la voiture
Types de caractères	Caractère quantitatif discret	Caractère quantitatif continue	Caractère qualitatif
$x_{i}$ : valeurs du caractère $[a_{p}, a_{p + 1} [$ : classes du caractère	Suivant le sens croissant : $x_{1} = 60; x_{2} = 70 x_{3} = 80; x_{4} = 90$	La 1ère classe est $[5; 5, 5 [$ La dernière classe est $[7; 7, 5 [$ Le représentant est $c_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$ le milieu de l’intervalle $[a_{i}; a_{i + 1} [$

Remarques

Le caractère quantitatif discret prend des valeurs isolées (comme les mois de naissances des élèves ou le nombre des membres de la famille pour chaque élève d’une classe de tronc commun .

Le caractère quantitatif continue prend des valeurs très proches (comme les poids ou les hauteurs des
élèves d’un lycée), dans ce cas les valeurs du caractères sont rassemblées dans des intervalles demi
ouverts de même longueur ou de même capacité, chaque intervalle est appelé classe.

Le caractère qualitatif ne peut pas s’exprimer par des nombres (comme les couleurs des yeux ou les marques des voitures préférées).

1-2/ Effectifs – Effectifs cumulés – Fréquences – Fréquences cumulées – Pourcentages

Effectifs

Le nombre de fois tel qu’une valeur $x_{i}$ est répétée s’appelle effectif, on la note $n_{i}$ .

La somme des effectifs $n_{i}$ est $N$ le nombre total de la population statistique.

Le couple $(x_{i}, n_{i})$ s’appelle une série statistique.

Toute valeur ou toute classe ayant le plus grand effectif s’appelle valeur (ou classe) modale.

On peut avoir plusieurs valeurs modes (valeurs modales) ou classes modes (ou classes modales).

Effectifs cumulés

$(x_{i}, n_{i})$ est une série statistique.

Le nombre $n_{1} + n_{2} + . . . + n_{i}$ s’appelle l’effectif cumulé de la valeur $x_{i}$ d’un caractère.

Fréquences

$(x_{i}, n_{i})$ est une série statistique.

Le nombre $\frac{n_{i}}{N}$ s’appelle la fréquence de la valeur $x_{i}$ d’un caractère.

On note : $f_{i} = \frac{n_{i}}{N}$

Fréquences cumulées

$(x_{i}, n_{i})$ est une série statistique.

Le nombre $f_{1} + f_{2} + . . . + f_{i}$ s’appelle la fréquence cumulée de la valeur $x_{i}$ d’un caractère.

Pourcentages

$(x_{i}, n_{i})$ est une série statistique.

Le nombre $f_{i} \times 100 %$ s’appelle le pourcentage de la valeur $x_{i}$ d’une caractère .

On note : $p_{i} = f_{i} \times 100 %$

La somme des pourcentage est égale à $100 % (p_{1} + p_{2} + . . . + p_{p} = 100 %)$ .

II- Paramètres de position

2-1/ Moyenne arithmétique (ou moyenne statistique)

Définition

La moyenne arithmétique d’une série statistique $(x_{i}, n_{i})$ est le nombre $x$ tel que :

$x = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . . + n_{p} x_{p}}{N}$

avec $p$ est le nombre des valeurs $x_{i}$ et $N = n_{1} + n_{2} + . . . . + n_{p}$ .

Remarque

Dans le cas d’une série statistique où les valeurs sont exprimées par classes $[a_{i}; a_{i + 1} [$ , les valeurs $x_{i}$ sont remplacés par les milieux $c_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$ des classes $[a_{i}; a_{i + 1} [$ .

Donc : $x = \frac{n_{1} c_{1} + n_{2} c_{2} + . . . . + n_{p} c_{p}}{N}$

avec $p$ est le nombre de classes.

Exemple

4-1/ Diagramme en bâtons et polygone statistique

Exemple

Valeurs $x_{i}$	$x_{1} = 30$	$x_{2} = 50$	$x_{3} = 170$	$x_{4} = 200$	$x_{5} = 320$
Effectifs $n_{i}$	$n_{1} = 12$	$n_{2} = 8$	$n_{3} = 14$	$n_{4} = 20$	$n_{5} = 6$
Fréquences $f_{i}$	$f_{1} = \frac{12}{60}$	$f_{2} = \frac{8}{60}$	$f_{3} = \frac{14}{60}$	$f_{4} = \frac{20}{60}$	$f_{5} = \frac{6}{60}$

Diagramme en bâtons des effectifs

Polygone statistique des effectifs

Diagramme en bâtons des fréquences

Polygone statistique des fréquences

4-2/ Diagramme sectoriel

Exemple

Valeurs $x_{i}$	$x_{1} = 30$	$x_{2} = 50$	$x_{3} = 170$	$x_{4} = 200$	$x_{5} = 320$
Effectifs $n_{i}$	$n_{1} = 12$	$n_{2} = 8$	$n_{3} = 14$	$n_{4} = 20$	$n_{5} = 6$
$α_{i} = \frac{360 ° \times n_{i}}{N}$	$α_{1} = 72 °$	$α_{2} = 48 °$	$α_{3} = 84 °$	$α_{4} = 120 °$	$α_{5} = 36 °$
$β_{i} = \frac{180 ° \times n_{i}}{N}$	$β_{1} = 36 °$	$β_{2} = 24 °$	$β_{3} = 42 °$	$β_{4} = 60 °$	$β_{5} = 18 °$