Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM
Séance 11 (Vecteurs de l’espace)
Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak
Sommaire
I- Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs
1-1/ Éléments caractéristiques d’un vecteur
1-2/ Égalité de deux vecteurs
1-3/ Somme de deux vecteurs
II- Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite
2-1/ Multiplication d’un vecteur par un réel
2-2/ Colinéarité de deux vecteurs - Alignement de trois points
2-3/ Définition vectorielle d’une droite de l’espace
III- Définition vectorielle d’un plan - Les vecteurs coplanaires
3-1/ Définition vectorielle d’un plan
3-2/ Vecteurs coplanaires
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
4-2/ Exercice 2
4-3/ Exercice 3
4-4/ Exercice 4
4-5/ Exercice 5
4-6/ Exercice 6
I- Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs
1-1/ Éléments caractéristiques d’un vecteur
Soient A et B deux points différents de l’espace.
Si on pose →u=→AB alors :
- La direction du vecteur →u est la droite (AB).
- Le sens du vecteur →u est celui de A vers B.
- La norme du vecteur →u est la distance AB, et on écrit : ||→u||=AB.
Remarques
Pour tout point A de l’espace, le vecteur →AA n’a pas de direction et sa norme est nulle, →AA est appelé vecteur nul, et on écrit : →AA=→0.
Pour tout vecteur →u et tout point A de l’espace, il existe un et un seul point M de l’espace tel que →AM=→u.
I- Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs
1-2/ Égalité de deux vecteurs
Définition
On dit que deux vecteurs sont égaux, s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
I- Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs
1-2/ Égalité de deux vecteurs
Propriété
Soit ABCD un quadrilatère dans l’espace.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si →AB=→DC.
I- Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs
1-3/ Somme de deux vecteurs
Définition
Soit →u et →v deux vecteurs de l’espace.
La somme des vecteurs →u et →v est le vecteur →w tel que :
Si on pose →u=→AB et →v=→BC, alors →w=→AC et on écrit : →w=→u+→v.
Relation de Chasles
Pour tous points A, B et C de l’espace, on a : →AC=→AB+→BC.
I- Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs
1-3/ Somme de deux vecteurs
Opposé d’un vecteur
Pour tout vecteur →u de l’espace, l’opposé du vecteur →u et le vecteur qui a la même direction, et la même norme que le vecteur →u, mais il est de sens contraire au vecteur →u, il est noté -→u.
Pour tout points A et B on a : →BA=-→AB.
Remarque
Soient O, M, N et R quatre points de l’espace.
→OM+→ON=→OR si et seulement si OMNR est un parallélogramme.
II- Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite
2-1/ Multiplication d’un vecteur par un réel
Définition
Soient →u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.
Le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur noté k.→u, ou simplement k→u, qui vérifie les condition suivants :
- k→u et →u ont la même direction.
- ||k→u||=|k|×||→u||
- k→u a le même sens que celui de →u si k>0
- k→u a de sens contraire que celui de →u si k<0
II- Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite
2-1/ Multiplication d’un vecteur par un réel
Propriétés
Pour tous vecteurs →u et →v et pour tous réels k et k' on a :
(k+k')→u=k→u+k'→uk(→u+→v)=k→u+k→vk(k'→u)=(kk')→uk→u=→0⇔k=0 ou →u=→01.→u=→u
II- Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite
2-2/ Colinéarité de deux vecteurs - Alignement de trois points
Définition
On dit que deux vecteurs →u et →v sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que →v=k→u.
Remarque
Le vecteur nul est colinéaire avec tous les vecteurs de l’espace.
Conséquences
Soient →AB et →AC deux vecteurs non nuls de l’espace.
(→AB et →AC sont colinéaire)⇔(A, B et C sont alignés).
(→AB et →CD sont colinéaire)⇔((AB)//(CD)).
II- Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite
2-3/ Définition vectorielle d’une droite de l’espace
Définition
Soient A et B deux ponts distincts de l’espace.
Tout vecteur non nul colinéaire avec le vecteur →AB est appelé vecteur directeur de (AB).
II- Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite
2-3/ Définition vectorielle d’une droite de l’espace
Propriété
Soit A un point de l’espace et →u un vecteur non nul.
L’ensemble des points M de l’espace tels que →AM=k→u où k∈ℝ, est la droite passant par A et de vecteur directeur →u. Cette droite est notée D(A;→u).
On a : D(A;→u)={M∈(E)/→AM=k→u ; k∈ℝ}. (où (E)=l’espace).
III- Définition vectorielle d’un plan - Les vecteurs coplanaires
3-1/ Définition vectorielle d’un plan
Définition
Soit (P) un plan de l’espace et A, B et C trois points non alignés du plan (P).
On dit que (P) est le plan passant par A et de vecteurs directeurs →AB et →AC.
Remarque
→BA et →BC sont aussi des vecteurs directeurs du plan (P).
III- Définition vectorielle d’un plan - Les vecteurs coplanaires
3-1/ Définition vectorielle d’un plan
Conséquence
Deux vecteurs non colinéaires →u et →v et un point A définissent un plan unique noté : (P).
Ce plan passant par A et →u et →v sont deux vecteurs directeurs.
On écrit (P)=P(A;→u;→v).
III- Définition vectorielle d’un plan - Les vecteurs coplanaires
3-2/ Vecteurs coplanaires
Définition
Soit →u, →v et →w trois vecteurs de l’espace.
On dit que les vecteurs →u, →v et →w sont coplanaires s’il existe quatre points coplanaires A, B, C et D tels que : →u=→AB, →v=→AC et →w=→AD.
Exemple
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle.
On a les vecteurs →BC, →BH et →BE sont coplanaires car les points B, C, E et H sont coplanaires.
→BD, →BH et →BE ne sont pas coplanaires car BDEH est un tétraèdre.
III- Définition vectorielle d’un plan - Les vecteurs coplanaires
3-2/ Vecteurs coplanaires
Propriété
Soient →u et →v deux vecteurs non alignés et →w un vecteur de l’espace.
Les vecteurs →u, →v et →w sont coplanaires si et seulement si, il existe deux nombres réels x et y tels que →w=x→u+y→v.
Conséquences
Soient A, B, C et M des points de l’espace.
S’il existe deux réels x et y tels que →AM=x→AB+y→AC, alors les points A, B, C et M sont coplanaires.
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
EABCD est un pyramide de base le rectangle ABCD,I est le milieu du segment
[AE] et J est le milieu du segment [BC].
- Montrer que les vecteurs →AB, →EC et →IJ sont coplanaires.
IV- Exercices
4-2/ Exercice 2
Soit ABCD un tétraèdre, et soit le point M de l’espace tel que :
→AM=→AD+12→AB+→DC
- Montrer que M∈(ABC).
- En déduire que les vecteurs →AM, →AB et →AC sont coplanaires.
IV- Exercices
4-3/ Exercice 3
Soit ABCD un tétraèdre, et soient les points K, L, M et N tel que 2→AK=→AC-2→AD, →BM=13→BC, →AN=-2→AD et L le milieu du [BK].
- Écrire les vecteurs →AM, →MN et →AL en fonction des vecteurs →AB, →AC et →AD.
- Montrer que les points L, M et N sont alignés, et déterminer la position du point L sur la droite (MN).
- Déterminer les réels α et β tels que →AD=α→AL+β→AM. Que peut-on dire des points A, M, D et L ?
IV- Exercices
4-4/ Exercice 4
Soit ABCDEFGH un cube.
On pose : →AB=→i, →AD=→j, →AE=→k et →u=→i+2→j+2→k avec I le milieu du segment [HG].
- Montrer que →u est un vecteur directeur de la droite (AI).
Soient la droite (Δ) passant par le point G et parallèle (AI), et le point M tel que →AM=32→AB+2→BG.
- Montrer que M∈(Δ).
IV- Exercices
4-5/ Exercice 5
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle ou pavé droit, et soit le point I de l’espace tel que →AI=13→AG.
- Montrer que →IB+→ID+→IE=3→IA+→AG, et que →IE=-→IB-→ID.
- Que peut-on dire des points I, B, D et E.
IV- Exercices
4-6/ Exercice 6
Soit ABCDEFGH un cube avec I le milieu du segment [AB], J le milieu de [AD] et K un point tel que →AK=15→AG.
- Écrire les vecteurs →EI, →EJ et →EK en fonction de →EA, →EF et →EH.
- Vérifier que 5→EK=2→EI+2→EJ.
- En déduire que les points I, J, K et E sont coplanaires.