Math TC - Semestre 2 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1 (5 pts)

1. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes définies par :

$f\left(x\right)=\frac{2x}{x^2-x} ; g\left(x\right)=\sqrt{x^2-x-2} ; h\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-4}$

$ABC$ est triangle.

Le point $D$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.

Le point $I$ est le milieu de $\left[AB\right]$.

2. Déterminer le point $J$ l’image de $I$ par $t_{\overrightarrow{BC}}$.

Soit $ABC$ un triangle tel que $\hat{A}=60°$, $AB=3$ et $AC=4$.

3. Calculer la distance $BC$.

4. Montrer que $\mathrm{\pi }$ est une période de la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=\sin x.\cos x$.

II- Exercice 2 (6 pts)

On considère la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=x^2-4x+3$.

Soit $\left(C\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O,I,J\right)$.

1. Montrer que $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-1$.

2. Étudier les variations de $f$ sur chacun des intervalles $[2;+\infty [$ et $]-\infty ;2]$.

3. Construire le tableau de variations de $f$. En déduire la valeur minimale de $f$.

4. Calculer $f\left(0\right)$, $f\left(1\right)$ et $f\left(3\right)$.

5. Construire $\left(C\right)$ la courbe de $f$.

6. Résoudre graphiquement l’inéquation $f\left(x\right)\le 0$.

III- Exercice 3 (6 pts)

Soit $ABCD$ un trapèze dont les bases $\left[AB\right]$ et $\left[CD\right]$ ont pour milieux respectifs $I$ et $J$ et telles que $AB=4$ et $CD=6$.

On note $O$ le point d’intersection des droites $\left(AD\right)$ et $\left(BC\right)$.

On note $h$ l’homothétie de centre $O$ qui transforme $A$ en $D$.

1. En utilisant le théorème de Thalès, montrer que $\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{DC}$.

2. Montrer que le rapport de$h$ est $\frac{3}{2}$.

3. Montrer que $h\left(B\right)=C$.

4. Montrer que $h\left(I\right)=J$. En déduire que les points $O$, $J$ et $I$ sont alignés.

IV- Exercice 4 (3 pts)

La figure suivante représente un rectangle $ABCD$ tel que $AB=5$ et $BC=3$, un triangle $ABF$ équilatéral et $BCE$ un triangle rectangle et isocèle de sommet $C$ :

Soit $H$ le milieu du segment $\left[AB\right]$.

1. Calculer les produits scalaires suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}= \\ \overline{)2} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}= \\ \overline{)3} \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CE}= \\ \overline{)4} \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BA}= \end{gathered}$$