Math 1Bac S.Exp - Semestre 2 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1 (7 pts)

Soit $f$ une fonction définie par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{x-1} ; x\ge 1\\ f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2+1} ; x<1\end{array}\right.$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Calculer $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to 1-}{\lim }f\left(x\right)$.

3. a- Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $1$, puis interpréter le résultat

3. b- Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche de $1$, puis interpréter le résultat

3. c- En déduire la dérivabilité de $f$  en $1$.

4. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$, puis donner l’équation de la tangente au point d’abscisse $0$.

5. a- Calculer la fonction dérivée de $f$ sur $[1;+\infty [$.

5. b- Calculer la fonction dérivée de $f$ sur $]-\infty ;1[$.

II- Exercice 2 (3 pts)

On considère les fonctions suivantes :

$f\left(x\right)=x^2+3x-1 ; g\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-2} ; h\left(x\right)=\left(-x-2\right)\sqrt{9+x}$

1. Déterminer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

2. Déterminer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}-\left\{2\right\}$.

3. Déterminer $h\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

III- Exercice 3 (10 pts)

On considère la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=x+\frac{1}{2}+\frac{1}{4x-2}$.

Soit $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

1. Déterminer $D_f$ le domaine de définition de la fonction $f$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

3. Calculer $\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$.

4. En déduire les asymptotes de $\left(C_f\right)$.

5. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ sur $D_f$.

6. Montrer que $\forall \in D_f : f\text{'}\left(x\right)=\frac{4x\left(x-1\right)}{{\left(2x-1\right)}^2}$.

7. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$.

8. Déterminer l’équation de la tangente $\left(T\right)$ à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $\left(1;f\left(1\right)\right)$.

9. Montrer que le point $A\left(\frac{1}{2};1\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $\left(C_f\right)$.

10. Montrer avec deux méthodes que la droite d’équation $\left(D\right) : y=x+\frac{1}{2}$ est une asymptote à la courbe $\left(C_f\right)$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.

11. Construire la courbe $\left(C_f\right)$ et $\left(D\right)$ dans le repère $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

Soit $m\in \mathrm{ℝ}$

12. Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation $m=\frac{2x^2}{2x-1}$.