Séance 11-3 : Espaces vectoriels - Problème de synthèse

Sommaire

V- Problème de synthèse

5-1/ Partie 1

5-2/ Partie 2

5-3/ Partie 3

V- Problème de synthèse

5-1/ Partie 1

Soit $\mathcal{E}$ l’ensemble suivant :

$\mathcal{E}=\left\{f:x\mapsto \left(ax+b\right)e^{2x}/\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

1. Montrer que $(\mathcal{E} ;+;•)$ est un espace vectoriel réel.

Soit $f_1$ et $f_2$ les deux fonctions numériques définies sur $\mathrm{ℝ}$ par $f_1\left(x\right)=e^{2x}$ et $f_2\left(x\right)=x{e}^{2x}$.

2. Montrer que la famille $B=\left(f_1;f_2\right)$ est une base de l’espace vectoriel $\mathcal{E}$.

3. Montrer que la fonction $g:x\mapsto {\int }_0^x\left(t+\frac{1}{2}\right)e^{2t}dt$ appartient à l’ensemble $\mathcal{E}$ en déterminant ses coordonnées dans la base $B$.

V- Problème de synthèse

5-2/ Partie 2

On définit sur l’ensemble $H={\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\times \mathrm{ℝ}$ une loi de composition interne $« + »$ comme suit :

Pour tous $\left(x;y\right)$ et $\left(x\text{'};y\text{'}\right)$ de $H$ : $\left(x;y\right)+\left(x\text{'};y\text{'}\right)=\left(x+x\text{'};y+y\text{'}\right)$

et une loi de composition externe à coefficients réels $« • »$ comme suit :

$\left(\forall \alpha \in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall \left(x;y\right)\in H\right) \alpha •\left(x;y\right)=\left(x^{\alpha };\alpha y\right)$

On considère l'application $\phi$ définie de ${\mathrm{ℝ}}^2$ dans $H$ par $\phi \left(\left(x;y\right)\right)=\left(e^x;y\right)$ (En considérant $({\mathrm{ℝ}}^2;+;•)$ l’espace vectoriel usuel.

1. Montrer que $\phi$ est un morphisme de $({\mathrm{ℝ}}^2;+)$ dans $\left(H;+\right)$.

2. En déduire que $\left(H;+\right)$ est un groupe commutatif.

3. Déterminer l’élément neutre dans $\left(H;+\right)$.

4. Quelle est le symétrique de $\left(x;y\right)$ dans $\left(H;+\right)$.

5. Montrer que $(H;+;•)$ est un espace vectoriel réel.

V- Problème de synthèse

5-3/ Partie 3

On considère dans ${\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right)$ la matrice suivante :

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

On considère l’ensemble défini par :

$E=\left\{M\in {\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right)/M=xI+yA ; \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

1. Montrer que $(E;+;•)$ est un espace vectoriel réel

2. Montrer que $\left(\forall \alpha \in \mathrm{ℝ}\right) A\ne \alpha I$, puis en déduire que la famille $\left(I;A\right)$ est une base de l'espace vectoriel $E$.

3. Vérifier que $A^2=A+2I$ puis en déduire que $A$ admet un inverse $A^{-1}$ appartenant à $E$.

4. Montrer que $E$ est stable dans $\left({\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$.

5. Montrer que $(E;+;\times )$ est un anneau commutatif.

6. Montrer que l'équation $\left(X\in E\right) ; X^2=X$ admet quatre solutions : La matrice nulle, la matrice identité et deux matrices que nous les noterons $P$ et $Q$.

7. Calculer le produit $P\times Q$. Les matrices $P$ et $Q$ admettent-elles un inverse dans $(E;\times )$ ? Justifier

8. Déterminer les coordonnées de $P$ et $Q$ dans la base $\left(I;A\right)$.

9. En déduire que la famille $\left(P;Q\right)$ est une base de l'espace vectoriel $E$.