Maths 2Bac SM - Semestre 2 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1

On rappelle que $\left(\mathrm{ℂ};+;\times \right)$ est un corps commutatif, que $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;.\right)$ est un espace vectoriel réel et que $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ est un anneau unitaire, non commutatif et non intègre.

On pose :

$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right) ; J=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 1& 0\end{array}\right) ; M\left(x;y\right)=\left(\begin{array}{cc}x& -3y\\ y& x\end{array}\right)\left(\left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right)$

$E=\left\{M\left(x;y\right)/\left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

1. Montrer que $E$ est un sous espace vectoriel de $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;.\right)$, de dimension 2

2. Montrer que $E$ est stable dans $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$.

3. Montrer que $\left(E,+,\times \right)$ est un anneau unitaire et commutatif.

On pose $E*=E-\left\{M\left(0,0\right)\right\}$, et on considère l’application $\phi$ de $\mathrm{ℂ}*$ vers $E*$ définie par :

$\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2 ; \phi \left(x+iy\right)=M\left(x,\frac{y}{\sqrt{3}}\right)$

4. Montrer que $\phi$ est un isomorphisme de $\left(\mathrm{ℂ}*,\times \right)$ sur $\left(E*,\times \right)$.

5. En déduire que $\left(E*,\times \right)$ est un groupe commutatif.

6. Montrer que $J^{2017}=\phi \left(3^{1008}\sqrt{3}i\right)$, puis déterminer l’inverse de la matrice $J^{2017}$ dans $\left(E*,\times \right)$.

7. Montrer que $\left(E,+,\times \right)$ est un corps commutatif.

II- Exercice 2

On considère dans $\mathrm{\mathbb{Z}}\times \mathrm{\mathbb{Z}}$ l’équation $\left(D\right) : 7x^3-13y=5$

Soit $\left(x,y\right)\in \mathrm{\mathbb{Z}}\times \mathrm{\mathbb{Z}}$ une solution de l’équation $\left(D\right)$

1. Montrer que $x$ et $13$ sont premiers entre eux.

2. En déduire que $x^{12}\equiv 1 \left[13\right]$.

3. Montrer que $x^3\equiv 10 \left[13\right]$.

4. En déduire que $x^{12}\equiv 3 \left[13\right]$.

5. Déduire des questions précédentes, que l’équation $\left(D\right)$ n’admet pas de solution dans $\mathrm{\mathbb{Z}}\times \mathrm{\mathbb{Z}}$.

III- Exercice 3

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$\left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) f\left(x\right)+f\left(y\right)=2f\left(\frac{x+y}{2}\right)$

1. Montrer que $\left(E,+,•\right)$ est un espace vectoriel réel.

Soit $\mathcal{A}$ l’ensemble des fonctions affines définies de $\mathrm{ℝ}$ dans $\mathrm{ℝ}$.

2. Montrer que $\mathcal{A}\subset E$ et que $\left(\mathcal{A},+,•\right)$ est un espace vectoriel réel.

Partie B

Pour tout $\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$, on pose :

$\left(\forall \left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) f_{\left(\alpha ;\beta \right)}\left(x\right)=\alpha e^x\cos \left(ax\right)+\beta e^x\sin \left(bx\right)$

On considère l'ensemble suivant :

$E_{\left(a;b\right)}=\left\{ f_{\left(\alpha ;\beta \right)}/\left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

1. Montrer que $\left(E_{\left(a;b\right)},+,•\right)$ est un espace vectoriel réel.

2. Déterminer selon les valeurs des réels $a$ et $b$, la dimension de l’espace vectoriel $E_{\left(a;b\right)}$.

Partie C

Dans cette partie, $\left(\mathcal{F}\left({\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right),+,•\right)$ désigne l'espace vectoriel des fonctions numériques définies sur ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

Pour tout $\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$, et pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$, on pose :

$f_{\left(a;b\right)}\left(x\right)=x^a{e}^{bx} et {\phi }_{\left(a;b\right)}\left(x\right)=\ln \left(f_{\left(a;b\right)}\left(x\right)\right)$

On considère l'ensemble : $\mathcal{L}=\left\{{\phi }_{\left(a;b\right)}/\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

1. Montrer que $\left(\mathcal{L};+\right)$ est un sous-groupe du groupe $\left(\mathcal{F}\left({\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right),+\right)$

2. Vérifier que pour tout ${\phi }_{\left(a;b\right)}\in \mathcal{L}$ et pour tout $\lambda \in \mathrm{ℝ}$ : $\lambda •{\phi }_{\left(a;b\right)}\in \mathcal{L}$

3. En déduire que $\left(\mathcal{L},+,•\right)$ est un espace vectoriel réel.

4. Montrer que $\left({\phi }_{\left(1;0\right)};{\phi }_{\left(0;1\right)}\right)$ est une base de l’espace vectoriel $\mathcal{L}$, puis déterminer sa dimension.