Séance 13 - Le produit scalaire

Sommaire

I- Produit scalaire de deux vecteurs

1-1/ Norme d’un vecteur

1-2/ Produit scalaire de deux vecteurs

II- Forme trigonométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls

III- Orthogonalité de deux vecteurs

IV- Propriétés du produit scalaire

V- Applications du produit scalaire

5-1/ Relations métriques dans un triangle rectangle

5-2/ Théorème d’El Kashi

5-3/ Théorème de la médiane

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

I- Produit scalaire de deux vecteurs

1-1/ Norme d’un vecteur

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan $\left(P\right)$.

$A$ et $B$ deux points de $\left(P\right)$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$.

La distance entre $A$ et $B$ est notée par $AB$ ou encore $||\overrightarrow{AB}||$. On lit la norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{AB}$.

Donc $||\overrightarrow{AB}||=AB$.

I- Produit scalaire de deux vecteurs

1-2/ Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

le produit scalaire de$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ tel que :

Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, on a : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Si $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ et $H$ la projection orthogonale de $C$ sur la droite $\left(AB\right)$ ($A\ne B$ car $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$), alors

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont même sens (Cas n°1).

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont des sens opposés (Cas n°2).

I- Produit scalaire de deux vecteurs

1-2/ Produit scalaire de deux vecteurs

Remarques

La projection orthogonale de $B$ sur la droite $\left(AB\right)$ est $B$, d’où $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=AB\times AB=A{B}^2>0$, on note $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}$ o par ${\overrightarrow{u}}^2$ , et on lit le carré scalaire.

${\overrightarrow{u}}^2$ est un nombre positif de même que ${\overrightarrow{AB}}^2$ est un nombre positif.

On a ${\overrightarrow{AB}}^2=A{B}^2={||\overrightarrow{AB}||}^2$, d'où $||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^2}$, et de même on a $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{{\overrightarrow{u}}^2}$

II- Forme trigonométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls

Activité

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

 $H$ est la projection orthogonale de $C$ sur la droite $\left(AB\right)$ ($A\ne B$ car $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$),

On considère l’angle $\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\right)$ de mesure $\overline{\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)}\equiv \alpha \left[2\mathrm{\pi }\right]$

1. Pour chaque cas exprimer $AH$ en fonction de $AC$ et $\cos \alpha$.

II- Forme trigonométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls

Propriété

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ et $\overline{\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)}=\overline{\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)}\equiv \alpha \left[2\mathrm{\pi }\right]$

La forme trigonométrique du produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \alpha$, ou encore $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\times ||\overrightarrow{v}||\times \cos \alpha$

Remarque

Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ est le nombre réel $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}$ tel que $C\text{'}$ et $D\text{'}$ sont respectivement les projections orthogonales de $C$ et $D$ sur la droite $\left(AB\right)$ :

III- Orthogonalité de deux vecteurs

Activité

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

1. Donner la forme trigonométrique de $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.

2. Donner la condition nécessaire et suffisante pour que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient orthogonales.

III- Orthogonalité de deux vecteurs

Propriété

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls du plan.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

On note $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$.

IV- Propriétés du produit scalaire

Propriétés

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs du plan $\left(P\right)$

On a :

1. Linéarité du produit scalaire :

$\left\{\begin{array}{c}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}\\ \overrightarrow{w}.\left(\overrightarrow{u}+v\right)=\overrightarrow{w}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}.\overrightarrow{v}\\ \left(\alpha \overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\left(\alpha \overrightarrow{v}\right)=\alpha \times \left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)\end{array}\right.$

2. Positivité du produit scalaire :

${\overrightarrow{u}}^2\ge 0$

3. produit scalaire est non dégénéré :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=0\iff \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

IV- Propriétés du produit scalaire

Conséquences

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan $\left(P\right)$

On a :

$$\begin{gathered} \overline{)1} {\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2={||\overrightarrow{u}||}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{||\overrightarrow{v}||}^2 \\ \overline{)2} {\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2={||\overrightarrow{u}||}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{||\overrightarrow{v}||}^2 \\ \overline{)3} \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right).\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)={\overrightarrow{u}}^2-{\overrightarrow{v}}^2={||\overrightarrow{u}||}^2-{||\overrightarrow{v}||}^2 \\ \overline{)4} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left[{||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||}^2-{||\overrightarrow{u}||}^2-{||\overrightarrow{v}||}^2\right] \end{gathered}$$

V- Applications du produit scalaire

5-1/ Relations métriques dans un triangle rectangle

Activité

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Le point $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur la droite $\left(BC\right)$.

1. Calculer $\cos B$ en utilisant les deux triangles $ABC$ et $ABH$.

2. Montrer que $B{A}^2=BH\times BC$.

3. Montrer que $A{H}^2=A{B}^2-H{B}^2$, et que $A{H}^2=A{C}^2-H{C}^2$.

4. En déduire que $2A{H}^2=B{C}^2-\left(H{B}^2+H{C}^2\right)$.

On remarque que ${\left(HB+HC\right)}^2-2HB\times HC=B{C}^2-2HB\times HC$.

5. En déduire que $A{H}^2=HB\times HC$.

V- Applications du produit scalaire

5-1/ Relations métriques dans un triangle rectangle

Propriété

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Le point $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur la droite $\left(BC\right)$.

On a :

$$\begin{gathered} B{C}^2=B{A}^2+A{C}^2 \\ B{A}^2=BH\times BC \\ C{A}^2=CH\times CB \\ A{H}^2=HB\times HC \end{gathered}$$

On les appelle les relations métriques dans un triangle rectangle.

V- Applications du produit scalaire

5-2/ Théorème d’El Kashi

Théorème

Dans tout triangle $ABC$, on pose $AB=c$ et $AC=b$ et $BC=a$.

On a :

1- $B{C}^2=B{A}^2+A{C}^2-2AB\times AC\times \cos A$ ou encore $a^2=c^2+b^2-2c\times b\times \cos A$

2- $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\times BC\times \cos B$ ou encore $b^2=c^2+a^2-2c\times a\times \cos B$

3- $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2AC\times CB\times \cos C$ ou encore $c^2=b^2+a^2-2b\times a\times \cos C$

V- Applications du produit scalaire

5-3/ Théorème de la médiane

Théorème

Soit un segment $\left[AB\right]$ du plan $\left(P\right)$, le point $I$ est son milieu.

Pour tout point $M$ du plan $\left(P\right)$, on a :

$M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{1}{2}A{B}^2$

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.

1. Calculer $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ dans les deux cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} ||\overrightarrow{u}||=1 ; ||\overrightarrow{v}||=\sqrt{3} ; \overline{\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{6}\left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \overline{)2} ||\overrightarrow{u}||=2 ; ||\overrightarrow{v}||=\frac{2}{\sqrt{2}} ; \overline{\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}\equiv \frac{5\mathrm{\pi }}{4}\left[2\mathrm{\pi }\right] \end{gathered}$$

Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que $AB=4$.

2. Calculer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.

 3. Déterminer les mesures possibles de l’angle orienté $\overline{\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}$ sachant que $||\overrightarrow{u}||=4$, $||\overrightarrow{v}||=\sqrt{2}$ et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-2\sqrt{6}$.

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $AB=3$ et $BC=3\sqrt{3}$.

4. Calculer $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$.

6. En déduire $\widehat{CAB}$ .

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs orthogonaux du plan tels que $||\overrightarrow{u}||=4$ et $||\overrightarrow{v}||=5$.

1. Déterminer le réel $m$ sachant que $\left(m\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right).\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=13.\cos \left(\hat{A}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=1$, $AC=\sqrt{2}$ et $\cos \left(\hat{A}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

2. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Considérons $D$ un point du plan défini par $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right)$.

3. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$.

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

$ABCD$ est un parallélogramme tel que $\widehat{BAD}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ et $AD=4$ et $CD=6$.
 
Soit $O$ le milieu du segment $\left[AB\right]$.

1. Calculer les distances $BD$ et $AC$.

2. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a $M{A}^2+M{B}^2=2M{O}^2+18$.

3. En déduire l’ensemble des points $M$ du plan tel que $M{A}^2+M{B}^2=24$.

Soient $ABC$ un triangle rectangle en $A$, et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\left(BC\right)$ et $AB=3$ et $AC=4$.

4. Calculer les longueurs $BC$, $HC$, $HB$ et $AH$.

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=3$ et $AC=1$ et $\cos \left(\widehat{BAC}\right)=-\frac{1}{3}$.

1. Vérifier que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-1$.

2. Calculer la distance $BC$.

Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs de $\left[BC\right]$ et $\left[AC\right]$.   

3. Calculer $AI$ et $BJ$.

Soit $E$ un point du plan tel que $\overrightarrow{AE}=\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}$.