Math TC - Semestre 2 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1 (4 pts)

Pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ , on pose :

$A\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\sin \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\cos \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-\sin \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

1. Montrer que : $A\left(x\right)=2\cos \left(x\right)$

2. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation $A\left(x\right)=\sqrt{2}$

3. Résoudre dans l’intervalle $]-\mathrm{\pi };\mathrm{\pi }]$ l’inéquation $A\left(x\right)<\sqrt{2}$

II- Exercice 2 (4 pts)

Soit $ABC$ un triangle tels que :

$AB=\sqrt{3}$ et $AC=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ et $BC=\sqrt{2}$ et $\widehat{BCA}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

1. Calculer $\sin \left(\widehat{BAC}\right)$, puis déduire une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$.

2. Vérifier que $\widehat{ABC}=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}$

3. Sachant  que $\cos \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$    calculer $\sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)$

III- Exercice 3 (12 pts)

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation $6x^2-x-1=0$  et $-9x^2+12x-4=0$

2. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’inéquation $\left(6x^2-x-1\right)\left(-9x^2+12x-4\right)\ge 0$

3. Résoudre dans ${\mathrm{ℝ}}^2$ le système suivant :  $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=-2\\ -x+2y=3\end{array}\right.$
4. En déduire les solutions du système :

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}-3y^2=-2\\ \frac{-1}{x}+2y^2=3\end{array}\right.$