Math 1Bac S.Exp - Semestre 2 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1 (6 pts)

Partie 1

$ABC$ est un triangle équilatéral tel que : $\overline{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{3} \left[2\mathrm{\pi }\right]$.

On construit à l'extérieur de ce triangle un parallélogramme $BCDE$.

On considère la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

1. Construire le point $F$ l'image du point $E$ par la rotation $r$, puis montrer que $CFD$ est un triangle équilatéral.

2. Montrer que : $\overline{\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BA}\right)}\equiv \overline{\left(\overrightarrow{CF};\overrightarrow{CA}\right)} \left[2\mathrm{\pi }\right]$

3. Que peut-on dire sur le point $F$ si $E$ appartient à $\left(AB\right)$ ?

Partie 2

Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point tel que $D=bar\left\{\left(B;1\right),\left(C;2\right)\right\}$.

Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

1. Construire les points $B\text{'}$, $C\text{'}$ et $D\text{'}$ les images respectives de $B$, $C$ et $D$ par $r$.

2. Montrer que les points $B\text{'}$, $C\text{'}$ et $D\text{'}$ sont alignés.

II- Exercice 2 (5 pts)

Partie 1

$ABC$  est un triangle rectangle isocèle en $A$ tel que $\overline{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$.
 
Soit $I$ le milieu du segment $\left[BC\right]$.

$E$ et $F$ sont deux points du plan tels que $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$

On considère la rotation de centre $I$ et d'angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

1. Montrer que le triangle $EIF$ est rectangle isocèle en $I$

Partie 2

$ABCD$ un carré tel que $\overline{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$.

Soit $E$ un point du segment $\left[BC\right]$ tel que $E$ est différent de $B$ et $C$.

Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

1. Déterminer les images des deux droites $\left(BC\right)$ et $\left(AE\right)$

2. En déduire l'image du point $E$ par la rotation $r$.

III- Exercice 3 (6 pts)

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x-1} ; x<1\\ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} ; x>1\end{array}\right.$

1. Calculer $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Conclure.

On considère la fonction $g$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)=\frac{x^2+1}{-x+3} ; x\le 1\\ g\left(x\right)=1-a{x}^2 ; x>2\end{array}\right.$

2. Déterminer une valeur de $a$ pour laquelle $g$ admet une limite en $2$.

Partie 2

1. Montrer que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \frac{1}{3}\le \frac{1}{2-\cos x}\le 1$

2. Calculer les limites suivantes : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{2-\cos x}$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3}{2-\cos x}$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par : $f\left(x\right)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right)+2$

3. Vérifier que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}*\right) \left|f\left(x\right)-2\right|\le \left|x\right|$, puis déduire $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$

Partie 3

On considère la fonction $g$ définie sur $]1;+\infty [$ par : $g\left(x\right)=\frac{4\sin \left(x\right)+3x}{x-1}$

1. Montrer que $\left(\forall x\in ]1;+\infty [\right) \left|g\left(x\right)-3\right|\le \frac{7}{x-1}$

2. En déduire la limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$

IV- Exercice 4 (3 pts)

La figure suivante représente la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}-\left\{-1\right\}$ :

1. Déterminer par lecture graphique les limites suivantes :