Maths 2Bac SM - Semestre 2 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1 

On considère dans ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^2$ l’équation : $\left(E\right) 143x-195y=52$.

1. Déterminer le plus grand commun diviseur de $143$ et $195$, puis en déduire que l’équation $\left(E\right)$ admet des solutions dans ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^2$.

2. Sachant que $\left(-1;-1\right)$ est une solution particulière de l’équation $\left(E\right)$, résoudre dans ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^2$ l’équation $\left(E\right)$ en précisant les étapes de la résolution.

Soit $n$ un entier naturel non nul premier avec $5$.

3. Montrer que pour tout $k$ de $\mathrm{\mathbb{Z}}$, on a : $n^{4k}\equiv 1 \left[5\right]$.

Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels non nuls tel que $x\equiv y \left[4\right]$.

4. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, on a : $n^x\equiv n^y \left[5\right]$.

5. En déduire que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, on a : $n^x\equiv n^y \left[10\right]$.

Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tel que $\left(x,y\right)$ est solution de l’équation $\left(E\right)$.

6. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, les deux nombres $n^x$ et $n^y$ ont le même chiffre des unités dans l’écriture dans le système décimal.

II- Exercice 2

On considère la fonction $G$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $G\left(x\right)={\int }_0^x\frac{2}{\sqrt{1+4t^2}}dt$

1. Montrer que $G$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$ et calculer sa dérivée $G\text{'}\left(x\right)$

2. Montrer que $G$ est impaire

3. Montrer que $\left(\forall t\ge 0\right) \frac{1}{1+2t}\le \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}}$

4. Déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }G\left(x\right)$

5. Montrer que $\left(\forall t\ge 1\right) 1+4t^2\ge {\left(1+t\right)}^2$

6. Déduire que $\left(\forall x>1\right) G\left(x\right)\le G\left(1\right)-\ln 4+2\ln \left(x+1\right)$

7. Étudier la branche infinie de la courbe $\left({\mathcal{C}}_G\right)$ au voisinage de $+\infty$

8. Montrer que $G$ est bijective de $\mathrm{ℝ}$ vers $\mathrm{ℝ}$

Soit $F$ la réciproque de $G$.

9. Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$ et $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) F\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{1+4F^2\left(x\right)}$

10. Montrer que $F$ est deux fois dérivable sur $\mathrm{ℝ}$ et que $F"\left(x\right)-F\left(x\right)=0$

11. Calculer $F\text{'}\left(0\right)$ et $F\left(0\right)$, puis déterminer $F\left(x\right)$ et $G\left(x\right)$ en fonction de $x$

III- Exercice 3 

Pour tout entier naturel $n\ge 2$, on définie la fonction $f_n$ sur $]1,+\infty [$ par $f_n\left(x\right)=\ln \left(x-1\right)+P_n\left(x\right)$ avec $P_n\left(x\right)=\sum _{k=1}^n\frac{x^k}{k}$

1. Étudier le sens de variation de $P_n$ sur $]1,+\infty [$

2. Étudier le signe de $f_{n+1}\left(x\right)-f_n\left(x\right)$ sur $]1,+\infty [$

3. Montrer que $\left(\forall x\in ]1,+\infty [\right) f{\text{'}}_n\left(x\right)=\frac{x^n}{x-1}$, et donner le tableau de variation de $f_n$

4. Montrer que l’équation $f_n\left(x\right)=0$ admet une seul solution $b_n$

5. Montrer que la suite ${\left(b_n\right)}_n$ est décroissante et qu’elle est convergente

6. Tracer la courbe $\left({\mathcal{C}}_2\right)$, on donne $1<b_2<1,2$

Soit $p$ un entier de $\mathrm{\mathbb{N}}*$.

7. Montrer que $\left(\forall p\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) {\int }_p^{p+1}\frac{1}{x}dx\le \frac{1}{p}$

8. Montrer que $\left(\forall n\ge 2\right) \ln \left(n+1\right)\le P_n\left(1\right)$

9. Déduire que $\left(\forall n\ge 2\right) f_n\left(1+\frac{1}{n+1}\right)>0$, puis montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}_n=1$

10. Étudier le sens de variation de $f{\text{'}}_{n+1}$ sur l’intervalle $]1,1+\frac{1}{n+1}[$

11. En utilisant le théorème des accroissements finies à $f_{n+1}$ sur $\left[b_{n+1},b_n\right]$, montrer que :

$b_{n+1}-1\le \left(n+1\right)\left(b_n-b_{n+1}\right)\le b_n-1$

12. Déduire un encadrement du nombre $b_3$