Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 9-3 : Arithmétique dans  - Problème de synthèse

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

VII- Problème de synthèse

7-1/ Partie 1

7-2/ Partie 2

 


 

7-1/ Partie 1

On considère dans 3 l'équation : (E) : x2+y2=z2

  1. Vérifier que (0;0;0), (3;4;5) et (5;12;13) sont solutions de l'équation (E).

Soit (u;v)2 tel que u<v

  1. Montrer que (u2-v2;2uv;u2+v2) est une solution de l'équation (E).
  1. Montrer que si (x;y;z) est solution de (E) alors (nx;ny;nz) est aussi solution de (E)n.

 

 

7-2/ Partie 2

Dans cette partie, on veut résoudre l'équation (E) dans l'ensemble (*)3.

Soit (x;y;z) une solution de l'équation (E).

On pose : xyz=d

  1. Montrer qu'on peut restreindre l'étude à d=1.

Dans tout ce qui suit, (x;y;z) est une solution de (E) telle que : xyz=1

  1. Montrer que : xy=yz=zx=1
  1. Montrer que x et y ont des parités distinctes et que le nombre z est impair.

On suppose dans ce qui suit que z et x sont impairs, y est pair et on pose : δ=(z-x)(z+x)

  1. Montrer que si c2=ab et ab=1, alors :

((α;β)2) [a=α2 et b=β2 et αβ=1]

  1. a- Montrer que : δ=2
  1. b- En déduire qu'il existe (u;v)2 tel que : {z+x=2u2z-x=2v2uv=1 puis que y=2uv
  1. c- En déduire que : (x;y;z)=(u2-v2;2uv;u2+v2)
  1. Donner les solutions de l'équation (E).