Mathématiques : 2Bac SMA-SMB
Séance 9-3 : Arithmétique dans ℤ - Problème de synthèse
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
Sommaire
VII- Problème de synthèse
7-1/ Partie 1
7-2/ Partie 2
VII- Problème de synthèse
7-1/ Partie 1
On considère dans ℕ3 l'équation : (E) : x2+y2=z2
- Vérifier que (0;0;0), (3;4;5) et (5;12;13) sont solutions de l'équation (E).
Soit (u;v)∈ℕ2 tel que u<v
- Montrer que (u2-v2;2uv;u2+v2) est une solution de l'équation (E).
- Montrer que si (x;y;z) est solution de (E) alors (nx;ny;nz) est aussi solution de (E) où n∈ℕ.
VII- Problème de synthèse
7-2/ Partie 2
Dans cette partie, on veut résoudre l'équation (E) dans l'ensemble (ℕ*)3.
Soit (x;y;z) une solution de l'équation (E).
On pose : x∧y∧z=d
- Montrer qu'on peut restreindre l'étude à d=1.
Dans tout ce qui suit, (x;y;z) est une solution de (E) telle que : x∧y∧z=1
- Montrer que : x∧y=y∧z=z∧x=1
- Montrer que x et y ont des parités distinctes et que le nombre z est impair.
On suppose dans ce qui suit que z et x sont impairs, y est pair et on pose : δ=(z-x)∧(z+x)
- Montrer que si c2=ab et a∧b=1, alors :
(∃(α;β)∈ℕ2) [a=α2 et b=β2 et α∧β=1]
- a- Montrer que : δ=2
- b- En déduire qu'il existe (u;v)∈ℕ2 tel que : {z+x=2u2z-x=2v2u∧v=1 puis que y=2uv
- c- En déduire que : (x;y;z)=(u2-v2;2uv;u2+v2)
- Donner les solutions de l'équation (E).