Séance 7-2-2 : Calcul intégral - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

VI- Exercices II

6-1/ Exercice 2-1

6-2/ Exercice 2-2

6-3/ Exercice 2-3

6-4/ Exercice 2-4

VI- Exercices II

6-1/ Exercice 2-1

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $F\left(x\right)={\int }_x^{2x}\frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$

1. Montrer que la fonction $F$ est impaire.

2. Montrer que pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$, il existe $c\in \left[x;2x\right]$ tel que $F\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+c^2+c^4}}$.

3. En déduire que $\left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) 0\le F\left(x\right)\le \frac{1}{x}$, puis en déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)$.

4. Calculer $F\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

VI- Exercices II

6-2/ Exercice 2-2

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$ avec $||\overrightarrow{i}||=2cm$ et $||\overrightarrow{j}||=4cm$.

1. Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\left[e;e^2\right]$ par :

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x\ln x}$ et $g\left(x\right)=\frac{1}{\ln x}$

VI- Exercices II

6-3/ Exercice 2-3

• Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} u_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^2.\sqrt[3]{n^3+k^3}} \\ \overline{)2} u_n=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{n+k}{n^2+k^2} \\ \overline{)3} u_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k^3}{\sqrt{{\left(n^2+k^2\right)}^3}} \\ \overline{)4} u_n=\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{k}{\sqrt{n+k}} \end{gathered}$$

VI- Exercices II

6-4/ Exercice 2-4

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=e^{-\sqrt{x-1}}$

Soit ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ avec : $||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=2cm$

On pose : $\left(\forall x\in ]0;1]\right) F\left(x\right)={\int }_1^{1+{\left(\ln x\right)}^2}f\left(t\right)dt$

1. Montrer que $\left(\forall x\in ]0;1]\right) F\text{'}\left(x\right)=2\ln x$

2. Calculer $F\left(x\right)$ pour tout $x\in ]0;1]$.

Pour tout $\alpha \ge 1$, on note $S\left(\alpha \right)$ l'aire du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=\alpha$.

3. Montrer que $S\left(\alpha \right)=F\left(f\left(\alpha \right)\right)$ (en unité d’aire)

4. Calculer $S\left(\alpha \right)$ et $\underset{\alpha \to +\infty }{\lim }S\left(\alpha \right)$