Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 7-2-1 : Calcul intégral - Partie 2 (Cours)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

IV- Intégration et ordre

4-1/ Positivité et croissance

4-2/ Intégrale et valeur absolue

4-3/ Valeur moyenne d'une fonction continue sur un segment

V- Applications du calcul intégral

5-1/ Calcul des aires

5-2/ Calcul des volumes

5-3/ Encadrement d’une intégrale par deux suites (méthode des rectangles)

 


IV- Intégration et ordre

 

4-1/ Positivité et croissance

Proposition 6

Soit f et g deux fonctions continues sur un segment a;b a<b.

Si f est positive sur a;b alors : abfxdx0

Si fxgx pour tout xa;b, alors : abfxdxabgxdx

 

 

Applications
  1. Montrer que 01π2sinttdtπ2-1 et π30π31+tcostdt2π29+2π3.
  1. Montrer que pour tout x+* : 0x2xdtt4+t2+11x

Pour tout n, on pose In=0π6xncos3xdx

  1. Montrer que la suite In est décroissante.
  1. Montrer que pour tout n : 0Inπ6n+1
  1. En déduire limnIn

 

4-2/ Intégrale et valeur absolue

Proposition 7

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et soit a;bI2 tel que ab.

On a alors : abfxdxabfxdx

 

 

4-3/ Valeur moyenne d'une fonction continue sur un segment

Proposition 8

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et soit a;bI2 tel que ab.

S’il existe deux réels m et M tels que pour tout xa;b : mfxM, alors :

mb-aabfxdxMb-a

S’il existe un réel M tels que pour tout xa;b : fxM, alors :

abfxdxMb-a

 

 

Définition 1

Soit f une fonction continue sur un segment a;b a<b

La valeur moyenne de la fonction f sur a;b est le nombre réel μ=1b-aabfxdx.

 

 

Proposition 9

Soit f une fonction continue sur un segment a;b a<b.

Il existe au moins un réel ca;b tel que : abfxdx=b-afc

Ce résultat porte le nom de « Théorème de la moyenne »

 

Remarques

Si fa;b =m;M et F désigne une primitive de la fonction f sur a;b, alors la formule abfxdx=b-afc est équivalente à Fb-FA=b-aF'c, et cette formule n’est qu’une copie de la formule du théorème des accroissements finis appliquée à la fonction F.

Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe Cf est égale à celle d'un rectangle de base a;b, et de hauteur l’ordonnée d’un point moyen de la courbe.

V- Applications du calcul intégral

 

5-1/ Calcul des aires

Proposition 10

Soit f une fonction continue sur un segment a;b a<b, et Cf sa courbe représentative dans un
repère orthogonal.

L'aire du domaine délimité par , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b est égale à abfxdx (en unité d'aire).

 

 

Proposition 11

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.

Soit f et g deux fonctions continues sur un segment a;b.

Soit Cf et Cg les courbes représentatives de f et g.

Soit Δ le domaine délimité par les courbes Cf et Cg et les droites d'équations x=a et x=b.

Alors : L'aire du domaine Δ en unités d'aire est donnée par : σΔ=abfx-gxdx

 

5-2/ Calcul des volumes

Proposition 12

L'espace est rapporté à un repère orthonormé O;i;j;k.

Soit a;b2 tel que a<b.

On considère un solide S limité par deux plans parallèles au plan O;i;j :

  • le plan de cote a d'équation z=a
  • le plan de cote b d'équation z=b

Si St est l'aire de l'intersection du solide (S) avec tout plan parallèle O;i;j de cote t, alors le volume de ce solide est (en unités de volume) : v(S)=abStdt

 

 

Proposition 13

L’espace est rapporté à un repère orthonormé O;i;j;k.

Soit f une fonction continue sur un segment a,b a<b, et Cf sa courbe représentative dans le repère O;i;j.

Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe Cf autour de l'axe des abscisses un tour complet est donné par la formule : V=πabfx2dx (en unités de volume)

 

 

Proposition 14

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un segment a,b a<b, et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé O;i;j.

Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe Cf autour de l'axe des ordonnées un tour complet est donné la formule : V=πfafbf-1x2dx (en unité de volume)

Si de plus, f est dérivable sur a,b alors : V=πabx2f'xdx (en unité de volume)

 

 

5-3/ Encadrement d’une intégrale par deux suites (méthode des rectangles)

Proposition 15

Soit f une fonction continue sur un segment a,b a<b.

Pour tout entier n2 on pose :

x0=a ; x1=a+b-an ; ... ; xk=a+kb-an ; ... ; xn=a+nb-an=b

Pour tout k0,1,...,n-1, on note Mk la valeur maximale et mk la valeur minimale de f sur le segment xk;xk+1.

On pose enfin λn=b-ank=0n-1Mk  et μn=b-ank=0n-1mk

On a alors pour tout entier n2 :

λnabfxdxμn

 

 

Proposition 16

Soit f une fonction continue sur un segment a,b a<b.

Pour tout entier n* on pose :

sn=b-ank=0n-1fa+kb-an et Sn=b-ank=1nfa+kb-an

Alors les deux suites snn1 et Snn1 convergent et admettent abfxdx comme limite commune.

Autrement dit :

limn+b-ank=0n-1fa+kb-an=limn+b-ank=1nfa+kb-an=abfxdx

 

Applications

Calculer la limite :

 limn+nk=0n-11n2+k2