Math 1Bac S.Exp - Semestre 1 Devoir 3 Modèle 1

Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Semestre 1 Devoir 3 Modèle 1

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

I- Exercice 1 (6 pts)

Soit la suite ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ définie par : $\{\begin{cases} u_{0} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{3 u_{n} + 4}{u_{n} + 6} \end{cases}$

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .

Vérifier que $u_{n + 1} - 1 = \frac{2 (u_{n} - 1)}{u_{n} + 6}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Montrer par récurrence que $\forall n \in ℕ : u_{n} > 1$ .

Vérifier que $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{- (u_{n} - 1) (u_{n} + 4)}{u_{n} + 6}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Déduire la monotonie de ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ .

On pose $v_{n} = \frac{u_{n} + 4}{u_{n} - 1}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Vérifier que : $\forall n \in ℕ : v_{n + 1} = \frac{7 (u_{n} + 4)}{2 (u_{n} - 1)}$
Déduire que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{7}{2}$ , et calculer $v_{0}$ .
Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ .

II- Exercice 2 (5 pts)

Soit $(u_{n})$ une suite numérique définie par :

$\{\begin{cases} u_{0} = 1 \\ (\forall n \in ℕ) : u_{n + 1} = \frac{1}{5} u_{n} + 2 \end{cases}$

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .

Montrer par récurrence que : $(\forall n \in ℕ) : u_{n} < \frac{5}{2}$

Vérifier que $(\forall n \in ℕ) : u_{n + 1} - u_{n} = \frac{4}{5} (\frac{5}{2} - u_{n})$

Déduire que la suite $(u_{n})$ est croissante.

On pose : $(\forall n \in ℕ) : v_{n} = u_{n} - \frac{5}{2}$

Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{5}$ , et calculer $v_{0}$ .

Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose : $S = v_{0} + v_{1} + . . . . . + v_{20}$

Calculer $S$ .

III- Exercice 3 (4 pts)

Soit $x \in ℝ$ .

Exprimer en fonction de $\sin x$ et $\cos x$ :

$A (x) = \sin (- x) + \cos (- x) + \sin (π + x) + \cos (π - x) B (x) = \cos (π + x) + \cos (\frac{π}{2} - x) - \sin (x - \frac{π}{2}) + \sin (\frac{5 π}{2} + x) C (x) = \cos (\frac{π}{2} + x) + \cos (x - 3 π) - \sin (\frac{5 π}{2} - x)$

Calculer $A (\frac{π}{4})$ , $B (\frac{- π}{3})$ et $C (\frac{π}{3})$ .

IV- Exercice 4 (5 pts)

Pour tout $x \in ℝ$ , on pose : $P (x) = \sqrt{3} \cos (3 x) + \sin (3 x) - \sqrt{3} \cos x - \sin x$

Montrer que : $(\forall x \in ℝ) : P (x) = 2 \cos (3 x - \frac{π}{6}) - 2 \cos (x - \frac{π}{6})$

Résoudre dans $ℝ$ l’équation : $P (x) = 0$

Montrer que : $(\forall x \in ℝ) : P (x) = - 4 \sin x . \sin (2 x - \frac{π}{6})$

Résoudre dans $[0; π]$ l’inéquation : $\sin (2 x - \frac{π}{6}) \geq 0$

En déduire le tableau de signe de $P (x)$ sur $[0; π]$ .

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