Séance 6-1-1 : Nombres complexes - Partie 1 (Cours)

Sommaire

I- L’ensemble des nombres complexes

1-1/ Notion de nombre complexe

1-2/ Forme algébrique d'un nombre complexe

1-3/ Égalité de deux nombres complexes

II- Opérations sur les nombres complexes

2-1/ Addition et multiplication dans $\mathrm{ℂ}$

2-2/ Opposé d'un complexe - différence de deux complexes

2-3/ Inverse d'un nombre complexe non nul - quotient de deux nombres complexes

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-1/ Affixe d'un point - affixe d’un vecteur

3-2/ Interprétation géométrique de la somme, la différence et la multiplication par un réel

3-3/ Interprétation complexe de la linéarité, du parallélisme et du barycentre

IV- Conjugué d’un nombre complexe

4-1/ Définition et interprétation géométrique

4-2/ Propriétés du conjugué

V- Module d’un nombre complexe

5-1/ Définition et interprétation géométrique

5-2/ Propriétés du module

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-1/ Argument d'un nombre complexe non nul

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

6-3/ Angle de deux vecteurs et argument d'un complexe

6-4/ Notation exponentielle d'un nombre complexe non nul

I- L’ensemble des nombres complexes

1-1/ Notion de nombre complexe

Théorème 1

Il existe un ensemble noté $\mathrm{ℂ}$ contenant $\mathrm{ℝ}$ :

1- muni d’une addition notée $+$ et d'une multiplication notée $x$, ou le plus souvent implicitement (c'est-à-dire sans symbole, comme dans $\mathrm{ℝ}$) possédant les mêmes propriétés comme dans $\mathrm{ℝ}$.

2- possédant un élément noté $i$ dont le carré vaut $-1$ : $i^2=-1$.

3- où tout élément z, appelé nombre complexe ou complexe, s’écrit de manière unique sous la forme $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.

I- L’ensemble des nombres complexes

1-1/ Notion de nombre complexe

Remarques

- On a : $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}\subset \mathrm{ℝ}\subset \mathrm{ℂ}$

- L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

- Contrairement à $\mathrm{ℝ}$, l'ensemble $\mathrm{ℂ}$ n'est usuellement muni d'aucune relation d’ordre, et nous ne pourrons donc pas dire qu’un nombre complexe est inférieur à un autre ou non plus qu’il est positif.

- Les nombres complexes $x+iy$ et $x+yi$ où $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ représentent le même nombre complexe.

- On a : $\mathrm{ℂ}=\left\{x+iy/\left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

I- L’ensemble des nombres complexes

1-2/ Forme algébrique d'un nombre complexe

Définition 1

Étant donné $z\in \mathrm{ℂ}$, il existe un unique couple $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ tel que $z=x+iy$.

L’écriture $x+iy$ s'appelle la forme algébrique du nombre complexe $z$.

Le nombre $x$ est la partie réelle de $z$ notée $Re\left(z\right)$ .

Le nombre $y$ est la partie imaginaire de $z$ notée $Im\left(z\right)$ .

Un nombre complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle : $z\in \mathrm{ℝ}\iff Im\left(z\right)=0$.

Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle :$z\in i\mathrm{ℝ}\iff Re\left(z\right)=0$.

I- L’ensemble des nombres complexes

1-3/ Égalité de deux nombres complexes

Proposition 1

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires.

En d'autres termes :

$\left(\forall \left(z;z\text{'}\right)\in {\mathrm{ℂ}}^2\right) z=z\text{'}\iff \left(Re\left(z\right)=Re(z\text{'})\right) et \left(Im\left(z\right)=Im(z\text{'})\right)$

I- L’ensemble des nombres complexes

1-3/ Égalité de deux nombres complexes

Remarques

Le résultat de la proposition 1 est une conséquence immédiate de l'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe.

Pour tout nombre complexe z :

$\left(\forall \left(z;z\text{'}\right)\in {\mathrm{ℂ}}^2\right) z=z\text{'}\iff \left(Re\left(z\right)=Re(z\text{'})\right) et \left(Im\left(z\right)=Im(z\text{'})\right)$

II- Opérations sur les nombres complexes

2-1/ Addition et multiplication dans $\mathrm{ℂ}$

Proposition 2

Soit $z$ et $z\text{'}$ deux nombres complexes tels que : $z=x+iy$ et $z\text{'}=x\text{'}+iy\text{'}$ avec $\left(x;x\text{'};y;y\text{'}\right)\in {\mathrm{ℝ}}^4$.

On a :

1- $z+z\text{'}=\left(x+x\text{'}\right)+i\left(y+y\text{'}\right)$ et $z\times z\text{'}=xx\text{'}-yy\text{'}+i\left(xy\text{'}+yx\text{'}\right)$

2- Pour tout $\lambda \in \mathrm{ℝ} : \lambda z=\lambda x+i\left(\lambda y\right)$

II- Opérations sur les nombres complexes

2-1/ Addition et multiplication dans $\mathrm{ℂ}$

Remarques

Pour tout $\left(z;z\text{'}\right)\in {\mathrm{ℂ}}^2$ et pour tout $\lambda \in \mathrm{ℝ}$, on a :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}Re\left(z+z\text{'}\right)=Re\left(z\right)+Re\left(z\text{'}\right)\\ Im\left(z+z\text{'}\right)=Im\left(z\right)+Im\left(z\text{'}\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}Re\left(\lambda z\right)=\lambda Re\left(z\right)\\ Im\left(\lambda z\right)=\lambda Im\left(z\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Si $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$, alors $i^{2k}={\left(i^2\right)}^k={\left(-1\right)}^k$. Il en résulte donc :

$i^{4k}=1 ; i^{4k+1}=i ; i^{4k+2}=-1 ; i^{4k+3}=-i$

II- Opérations sur les nombres complexes

2-2/ Opposé d'un complexe - différence de deux complexes

Proposition 3

Tout nombre complexe $z=x+iy$, où $x$ et $y$ sont des réels, possède un opposé dans $\mathrm{ℂ}$ noté $-z$, qui est le nombre complexe $-x-iy$, et on écrit $-z =-x-iy$.

Donc :

$Re\left(-z\right)=-Re\left(z\right) et Im\left(-z\right)=-Im\left(z\right)$

II- Opérations sur les nombres complexes

2-2/ Opposé d'un complexe - différence de deux complexes

Définition 2

La différence de deux nombres complexes $z$ et $z\text{'}$ est le nombre $z-z\text{'}=z+\left(-z\text{'}\right)$.

II- Opérations sur les nombres complexes

2-2/ Opposé d'un complexe - différence de deux complexes

Remarques

Si $x$, $x\text{'}$, $y$ et $y\text{'}$ sont des nombres réels, alors : $(x+iy )-(x\text{'}+iy\text{'})=\left(x-x\text{'}\right)+i(y- y\text{'})$

Les identités remarquables vues dans $\mathrm{ℝ}$ restent aussi valables dans $\mathrm{ℂ}$.

Ainsi, pour tous nombres complexes $z_1$ et $z_2$ on a :

$$\begin{gathered} {(z_1+z_2)}^2={z_1}^2+2z_1{z}_2+{z_2}^2 \\ {(z_1-z_2)}^2={z_1}^2-2z_1{z}_2+{z_2}^2 \\ (z_1+z_2)(z_1-z_2)={z_1}^2-{z_2}^2 \end{gathered}$$

En particulier, on a les égalités suivantes, valables pour tout $(a;b)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ :

$$\begin{gathered} {(a+ib)}^2=a^2-b^2+2abi \\ {(a-ib)}^2=a^2-b^2-2abi \\ (a+ib)(a-ib)=a^2-b^2 \end{gathered}$$

On a aussi :

$$\begin{gathered} {(z_1+z_2)}^3={z_1}^3+3{z_1}^2{z}_2+3z_1{z_2}^2+{z_2}^3 \\ {(z_1+z_2)}^3={z_1}^3-3{z_1}^2{z}_2+3z_1{z_2}^2-{z_2}^3 \\ {z_1}^3-{z_2}^3=(z_1-z_2)\left({z_1}^2+z_1{z}_2+{z_2}^2\right) \\ {z_1}^3+{z_2}^3=(z_1+z_2)\left({z_1}^2-z_1{z}_2+{z_2}^2\right) \end{gathered}$$

Et de façon générale, on a pour tout $(z_1;z_2)\in {\mathrm{ℂ}}^2$ et pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ :

${(z_1+z_2)}^n=\sum _{p=0}^n{C}_n^p.{z_1}^p.{z_2}^{n-p}=\sum _{q=0}^n{C}_n^q.{z_2}^q.{z_1}^{n-q}$ (Formule du binôme de Newton)

$$\begin{gathered} {z_1}^n-{z_2}^n=\left(z_1-z_2\right)\left({z_1}^{n-1}-{z_1}^{n-2}{z}_2+...+z_1{z_2}^{n-2}+{z_2}^{n-1}\right) \\ {z_1}^n-{z_2}^n=\left(z_1-z_2\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}{z_1}^{n-k-1}{z_2}^k\right) \end{gathered}$$

Un produit de nombres complexes est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.

En particulier :

$\forall (z;z\text{'})\in {\mathrm{ℂ}}^2 \left[z\times z\text{'}=0\iff \left(z=0 ou z\text{'}=0\right)\right]$

II- Opérations sur les nombres complexes

2-3/ Inverse d'un nombre complexe non nul - quotient de deux nombres complexes

Proposition 4

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe non nul tels que $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2-\left\{\left(0,0\right)\right\}$.

L’inverse du nombre $z$ est le nombre complexe noté $\frac{1}{z}$ ou $z^{-1}$ tel que :

$\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{1}{x^2+y^2}\left(x-iy\right)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$

II- Opérations sur les nombres complexes

2-3/ Inverse d'un nombre complexe non nul - quotient de deux nombres complexes

Proposition 5

Soit $z=x+iy$ et $z\text{'}=x\text{'}+iy\text{'}$ deux complexes où $x$, $x\text{'}$, $y$ et $y\text{'}$ des réels tels que $(x;y)\ne (0;0)$.

Le quotient de $z\text{'}$ par $z$ est le nombre complexe noté $\frac{z\text{'}}{z}$ tel que $\frac{z\text{'}}{z}=z\text{'}\times \frac{1}{z}$, et on a :

$\frac{z\text{'}}{z}=\frac{x\text{'}+iy\text{'}}{x+iy}=\frac{xx\text{'}+yy\text{'}}{x^2+y^2}+i\frac{xy\text{'}-yx\text{'}}{x^2+y^2}$

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-1/ Affixe d'un point - affixe d’un vecteur

Définition 3

Le plan $\mathcal{P}$ est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$.

Soit $z=x+iy$ où $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ un nombre complexe.

L’unique point $M$, de coordonnées $(x;y)$ dans $(O;\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$, est appelé l’image du complexe $z$, et on écrit $M\left(z\right)$.

Soit $M$ un point, de coordonnées $(x;y)$ dans $(O;\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$.

Le nombre complexe $z=x+iy$ est appelé l'affixe du point $M$. On le note $Aff\left(M\right)$ ou $z_M$.

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-1/ Affixe d'un point - affixe d’un vecteur

Remarques

Le plan $\mathcal{P}$ est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$.

À partir de la définition 3, on peut identifier l’ensemble  au plan de la façon suivante :

- À tout nombre complexe $z=x+iy$ on associe le point $M(x;y)$.

- À tout point $M(x;y)$ du plan $\mathcal{P}$ on associe le nombre complexe $z=x+iy$.

Ainsi, l’application $$\begin{gathered} f:\mathrm{ℂ}\to \mathcal{P} \\ z\to M\left(z\right) \end{gathered}$$ est une bijection. Sa bijection réciproque est : $$\begin{gathered} f^{-1}:\mathcal{P}\to \mathrm{ℂ} \\ M\to Aff\left(M\right) \end{gathered}$$

Le plan $\mathcal{P}$ est appelé alors le plan complexe, et on a :

$\left(\forall \left(M;N\right)\in {\mathcal{P}}^2\right) \left(Aff\left(M\right)=Aff\left(N\right)\iff M=N\right)$

Tout point de l’axe des abscisses est l’image d’un nombre réel, c’est pourquoi l’axe des abscisses
s’appelle l’axe réel. On a alors : $M\left(z\right)\in \left(O;\overrightarrow{I}\right)\iff z\in \mathrm{ℝ}$

Tout point $B\left(0;b\right)$ de l’axe des ordonnées est l’image d’un nombre imaginaire pur $\left(Aff\left(B\right)=bi\right)$, c’est pourquoi l’axe des ordonnées s’appelle l’axe imaginaire. On a alors : $M\left(z\right)\in \left(O;\overrightarrow{J}\right)\iff z\in i\mathrm{ℝ}$

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-1/ Affixe d'un point - affixe d’un vecteur

Définition 4

Le plan $\mathcal{P}$ est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$.

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe où .

Le vecteur $\overrightarrow{u}=x.\overrightarrow{I}+y.\overrightarrow{J}$ est appelé image du complexe $z$, et on écrit $\overrightarrow{u}\left(z\right)$.

De même, le nombre $z$ est appelé affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$, et on écrit $Aff\left(\overrightarrow{u}\right)=z$ ou parfois $z_{\overrightarrow{u}}=z$.

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-1/ Affixe d'un point - affixe d’un vecteur

Remarques

Soit $z$ un nombre complexe.

On a : $z=Aff\left(M\right)\iff z=Aff\left(\overrightarrow{OM}\right)$

Soit ${\mathcal{V}}_2$ l'ensemble des vecteurs du plan.

L’application $$\begin{gathered} g:\mathrm{ℂ}\to {\mathcal{V}}_2 \\ z\mapsto \overrightarrow{w}\left(z\right) \end{gathered}$$ est une bijection de $\mathrm{ℂ}$ vers ${\mathcal{V}}_2$, et on a :

$\left(\forall \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)\in {{\mathcal{V}}_2}^2\right)\left(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff Aff\left(\overrightarrow{u}\right)=Aff\left(\overrightarrow{v}\right)\right)$

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-2/ Interprétation géométrique de la somme, la différence et la multiplication par un réel

Proposition 6

Si $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ sont deux vecteurs du plan d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, alors l'affïxe du vecteur $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$ est $z_1+z_2$.

En d’autres termes : $Aff\left(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\right)=Aff\left(\overrightarrow{v_1}\right)+Aff\left(\overrightarrow{v_2}\right)$.

Si $M_1$ et $M_2$ sont les images respectives des affixes $z_1$ et $z_2$, alors l’image du nombre $z_1+z_2$ est le point $S$ tel que : $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{O{M}_1}+\overrightarrow{O{M}_2}$ (C'est-à-dire $O{M}_{1}S{M}_2$ est un parallélogramme).

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-2/ Interprétation géométrique de la somme, la différence et la multiplication par un réel

Remarques

Soit $z$ un nombre complexe et $\overrightarrow{u}\left(z\right)$ et $\overrightarrow{v}(-z)$ deux vecteurs du plan.

On sait que $Aff\left(\overrightarrow{0}\right)=0$ et $z+(-z)=0$, donc d'après la proposition 6, on en déduit que $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$.

Ainsi $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{u}$ et alors : $Aff(-\overrightarrow{u})=-Aff\left(\overrightarrow{u}\right)$.

Soit $M\left(z\right)$ et $M\text{'}(-z)$. Comme $O\left(0\right)$ et $z+(-z)=0$, alors $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM\text{'}}=\overrightarrow{OO}=\overrightarrow{0}$, et par suite $\overrightarrow{OM\text{'}}=-\overrightarrow{OM}$.

Ainsi, le point $M\text{'}(-z)$ est le symétrique de point $M\left(z\right)$ par rapport à $O$.

On peut aussi interpréter géométriquement l’addition de la manière suivante :

Étant donné un vecteur $\overrightarrow{u}$ d’affïxe $a$, la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ transforme le point $M$ d’affixe $z$, en le point $M\text{'}$ d’affixe $z\text{'}=z+a$.

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-2/ Interprétation géométrique de la somme, la différence et la multiplication par un réel

Proposition 7

Soit $M_1\left(z_1\right)$ et $M_2\left(z_2\right)$ deux points du plan complexe.

Alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ est $z_2-z_1$.

En d'autres termes : $Aff\left(\overrightarrow{M_1{M}_2}\right)=Aff\left(M_2\right)-Aff\left(M_1\right)$

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-2/ Interprétation géométrique de la somme, la différence et la multiplication par un réel

Proposition 8

Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur d'affixe $z$ et $\lambda$ un nombre réel, alors l’affixe du vecteur $\lambda \overrightarrow{u}$ est $\lambda z$.

En d’autres termes : $Aff\left(\lambda \overrightarrow{u}\right)=\lambda .Aff\left(\overrightarrow{u}\right)$

Si $M\left(z\right)$ est un point du plan, alors l'image du nombre complexe $\lambda z$ est le point $P$ défini par : $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OM}$.

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-2/ Interprétation géométrique de la somme, la différence et la multiplication par un réel

Remarque

A l’aide des propositions 6 et 8, on peut établir le résultat suivant :

Si $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ sont deux vecteurs du plan, alors pour tout $\left({\lambda }_1;{\lambda }_2\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$, on a :

$Aff\left({\lambda }_1\overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{v_2}\right)={\lambda }_{1}Aff\left(\overrightarrow{v_1}\right)+{\lambda }_{2}Aff\left(\overrightarrow{v_2}\right)$

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-3/ Interprétation complexe de la linéarité, du parallélisme et du barycentre

Proposition 9

Soient $A$, $B$ et $C$ des points deux à deux distincts d’affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si : $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in \mathrm{ℝ}$

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-3/ Interprétation complexe de la linéarité, du parallélisme et du barycentre

Proposition 10

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan d'affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$ tels que $A\ne B$ et $C\ne D$.

Les droites $\left(AB\right)$ et $\left(CD\right)$ sont parallèles si et seulement si : $\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in \mathrm{ℝ}$

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-3/ Interprétation complexe de la linéarité, du parallélisme et du barycentre

Proposition 11

Soit $A$ et $B$ deux points du plan d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$, et soit $\left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ tel que $\alpha +\beta \ne 0$.

L’affixe du barycentre $G$ du système pondéré $\left\{\left(a;\alpha \right);\left(B;\beta \right)\right\}$ est le complexe : $z_G=\frac{\alpha z_A+\beta z_B}{\alpha +\beta }$

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-3/ Interprétation complexe de la linéarité, du parallélisme et du barycentre

Remarques

Si $A\left(z_A\right)$ et $B\left(z_B\right)$ alors l'affixe du milieu $I$ du segment $\left[AB\right]$ est le nombre complexe $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$.

En fait ceci n'est rien qu'un cas particulier du barycentre où les « poids » sont égaux.

On peut généraliser le résultat de la proposition 11 pour le barycentre de plus de deux points.

Plus précisément : si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et ${\alpha }_1,{\alpha }_2,....,{\alpha }_n$ des réels tels que ${\alpha }_1+{\alpha }_2+....+{\alpha }_n\ne 0$, alors le barycentre $G$ du système pondéré $\left\{\left(A_1;{\alpha }_1\right),\left(A_2;{\alpha }_2\right),....,\left(A_n;{\alpha }_n\right)\right\}$ a pour affixe :

$z_G=\frac{{\alpha }_1{z}_{A_1}+{\alpha }_2{z}_{A2}+...+{\alpha }_n{z}_{A_n}}{{\alpha }_1+{\alpha }_2+...+{\alpha }_n}$

IV- Conjugué d’un nombre complexe

4-1/ Définition et interprétation géométrique

Définition 5

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe avec $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2$.

On appelle conjugué de $z$ le nombre complexe $x-iy$, noté $\overline{z}$, et on écrit : $\overline{z}=\overline{x+iy }= x-iy$.

On a alors: $\overline{z} = Re\left(z\right)-iIm\left(z\right)$ et $\overline{\overline{\overline{z}}}=z$

IV- Conjugué d’un nombre complexe

4-1/ Définition et interprétation géométrique

Interprétation géométrique de la conjugaison

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe avec $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2$.

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses transforme le point $M(x;y)$ en $N(x;-y)$, d'affixe $Aff\left(N\right)=\overline{Aff\left(M\right)}$.

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses transforme le point $M(x;y)$ en $Q(-x;y)$,  d'affixe $Aff\left(Q\right)=-\overline{Aff\left(M\right)}$.

IV- Conjugué d’un nombre complexe

4-2/ Propriétés du conjugué

Proposition 12

Étant donné $z\in \mathrm{ℂ}$, on a :

$$\begin{gathered} Re\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(z+\overline{z}\right) \\ Im\left(z\right)=\frac{1}{2i}\left(z-\overline{z}\right) \\ z.\overline{z}={\left(Re\left(z\right)\right)}^2+{\left(Im\left(z\right)\right)}^2 \end{gathered}$$

On a donc :

$$\begin{gathered} z\in \mathrm{ℝ}\iff \overline{z}=z \\ z\in i\mathrm{ℝ}\iff \overline{z}=-z \end{gathered}$$

Remarque

En pratique, pour éliminer les complexes du dénominateur d'une fraction, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

IV- Conjugué d’un nombre complexe

4-2/ Propriétés du conjugué

Proposition 13

Soit $z$ et $z\text{'}$ deux nombres complexes.

On a alors les propriétés suivantes :

- $\overline{z+z\text{'}}=\overline{z}+\overline{z\text{'}}$ et $\overline{z.z\text{'}}=\overline{z}.\overline{z\text{'}}$

- Pour tout $\lambda \in \mathrm{ℝ}$ : $\overline{\lambda z}=\lambda \overline{z}$

- Si $z\ne 0$, alors $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$ et $\overline{\left(\frac{z\text{'}}{z}\right)}=\frac{\overline{z\text{'}}}{\overline{z}}$

- Si $z\ne 0$ et $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, alors $\overline{z^n}={\left(\overline{z}\right)}^n$

IV- Conjugué d’un nombre complexe

4-2/ Propriétés du conjugué

Remarques

1- Soit $n\ge 2$ , et $z_1,z_2,...,z_n$ des nombres complexes. Alors :

$\overline{\sum _{k=1}^n{z}_k}=\sum _{k=1}^n\overline{z_k} et \overline{\prod _{k=1}^n{z}_k}=\prod _{k=1}^n\overline{z_k}$

2- Soit $P\left(z\right)$ un polynôme dans $\mathrm{ℂ}$ à coefficients réels : $P\left(z\right)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+...+a_{1}z+a_0$

(les nombres $a_0, a_1,...,a_n$. an sont alors réels). On a alors pour tout $z\in \mathrm{ℂ}$ :

$$\begin{gathered} \overline{P\left(z\right)}=\overline{a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+...+a_{1}z+a_0} \\ \overline{P\left(z\right)}=\overline{a_n{z}^n}+\overline{a_{n-1}{z}^{n-1}}+...+\overline{a_{1}z}+\overline{a_0} \end{gathered}$$

Puisque pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $n$ (au sens large) : $\overline{a_k}=a_k$ et $\overline{z^k}={\left(\overline{z}\right)}^k$

Alors $\overline{P\left(z\right)}=a_n{\left(\overline{z}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\overline{z}\right)}^{n-1}+...+a_1\overline{z}+a_0=P\left(\overline{z}\right)$.

En particulier, si $\alpha$ est racine du polynôme $P$ (c’est-à-dire $P\left(\alpha \right)=0$), alors $\overline{\alpha }$ est aussi racine de $P$ car : $P\left(\overline{\alpha }\right)=\overline{P\left(\alpha \right)}=0$

On obtient alors le résultat important suivant :

« Si $\alpha$ est racine d'un polynôme à coefficients réels, alors $\overline{\alpha }$ est aussi racine de ce polynôme »

V- Module d’un nombre complexe

5-1/ Définition et interprétation géométrique

Définition 6

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe avec $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2$.

Le module de $z$ est le réel positif noté $\left|z\right|$ défini par : $\left|z\right|=\sqrt{z.\overline{z}}=\sqrt{x^2+y^2}$

On a alors : $\left|z\right|=\sqrt{{\left(Re\left(z\right)\right)}^2+{\left(Im\left(z\right)\right)}^2}$

Remarques

La notion de module prolonge celle de la valeur absolue, c'est-à-dire que le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

On a pour tout $z\in \mathrm{ℂ}$ : ${\left|z\right|}^2=z.\overline{z}$ et $\left|z\right|=\left|\overline{z}\right|$. Si $z\ne 0$ alors : $\overline{z}=\frac{{\left|z\right|}^2}{z}$

V- Module d’un nombre complexe

5-1/ Définition et interprétation géométrique

Interprétation géométrique du module

Étant donné $z\in \mathrm{ℂ}$, d’image $M$, le module de $z$ est la distance $OM$ : $\left|z\right|=||\overrightarrow{OM}||=OM$

Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur d'affixe $z$, alors : $\left|z\right|=||\overrightarrow{u}||$

V- Module d’un nombre complexe

5-1/ Définition et interprétation géométrique

Proposition 14

La distance entre deux points $A$ et $B$, d’affixes respectives $a$ et $b$, est : $||\overrightarrow{AB}||=AB=\left|b-a\right|$

V- Module d’un nombre complexe

5-1/ Définition et interprétation géométrique

Proposition 15

Soit $a$ un nombre complexe et $r$ un réel strictement positif. On note $A$ l’image de $a$.

L'ensemble des images $M\left(z\right)$ des nombres complexes $z$ tels que :

• $\left|z-a\right|=r$ est le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et de rayon $r$.
• $\left|z-a\right|\le r$ est le disque fermé $\mathcal{D}$ de centre $A$ et de rayon $r$.
• $\left|z-a\right|<r$ est le disque ouvert $\Delta$ de centre $A$ et de rayon $r$.

V- Module d’un nombre complexe

5-2/ Propriétés du module

Proposition 16

Soit $z$ et $z\text{'}$ deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes :

- $\left|z\right|\ge 0$ et $\left|Re\left(z\right)\right|\le \left|z\right|$ et $\left|Im\left(z\right)\right|\le \left|z\right|$

- $\left|z\right|=0\iff z=0$ et $\left|z-z\text{'}\right|=0\iff z=z\text{'}$

- $\left|z\times z\text{'}\right|=\left|z\right|\times \left|z\text{'}\right|$

- $\left|z\right|=\left|\overline{z}\right|=\left|-z\right|=\left|-\overline{z}\right|$

Si $z\ne 0$ et $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ alors : $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{\left|z\right|}$ et $\left|\frac{z\text{'}}{z}\right|=\frac{\left|z\text{'}\right|}{\left|z\right|}$ et $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$

Remarque

Si $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, et $z_1,z_2,...,z_n$ des nombres complexes, alors :

$\left|\prod _{k=1}^n{z}_k\right|=\prod _{k=1}^n\left|z_k\right|$

V- Module d’un nombre complexe

5-2/ Propriétés du module

Proposition 17

Étant donné deux nombres complexes $z$ et $z\text{'}$, on a : $\left|z+z\text{'}\right|\le \left|z\right|+\left|z\text{'}\right|$

C'est l'inégalité triangulaire pour les nombres complexes.

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-1/ Argument d'un nombre complexe non nul

Définition 7

Soit $z$ un nombre complexe non nul, d’image $M$ dans le plan complexe $\mathcal{P}$.

Toute mesure $\theta$ de l'angle orienté $\left(\widehat{\overrightarrow{I};\overrightarrow{OM}}\right)$ s’appelle un argument de $z$.

On le note $arg\left(z\right)$ et on écrit : $arg\left(z\right)\equiv \theta \left[2\mathrm{\pi }\right]$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-1/ Argument d'un nombre complexe non nul

Remarques

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

Si $\theta$ est un argument du nombre complexe $z$, alors tout nombre réel de la forme $\theta +2k\mathrm{\pi }$ avec $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ est aussi un argument de $z$.

Dans la pratique, on prend souvent $\theta$ dans l'intervalle $]-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }]$, c'est-à-dire la mesure principale de l’angle $\left(\widehat{\overrightarrow{I};\overrightarrow{OM}}\right)$.

Le nombre $0$ est l'unique nombre complexe qui n’a pas d'argument.

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Proposition 18

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe non nul avec $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ et $\theta$ un argument de $z$.

Alors $x=\left|z\right|\cos \theta$ et $y=\left|z\right|\sin \theta$.

Tout nombre complexe non nul $z$ s’écrit de manière unique sous la forme $z=\left|z\right|(\cos \theta +i\sin \theta )$, où $\theta$ est un argument de $z$.

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Définition 8

Soit $z$ un nombre complexe non nul et $\theta$ un argument de $z$.

L’écriture $z=\left|z\right|(\cos \theta +i\sin \theta )$ est appelée une écriture trigonométrique ou forme trigonométrique du nombre complexe $z$.

Notation simplifiée : $z=\left[\left|z\right|;\theta \right]$

Remarque

Tout nombre complexe non nul admet une infinité de formes trigonométriques.

Si $z\in \mathrm{ℂ}*$ alors : $z=\left|z\right|(\cos \left(arg\left(z\right)\right)+i\sin \left(arg\left(z\right)\right))$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Définition 9

Soit $z$ un nombre complexe non nul et $M$ son image dans le plan complexe.

On pose $r=OM$ et $\theta$ une mesure de l'angle $\left(\widehat{\overrightarrow{I};\overrightarrow{OM}}\right) \left(arg\left(z\right)\equiv \theta \left[2\mathrm{\pi }\right]\right)$.

Le couple $\left(r;\theta \right)$ est appelé le couple des coordonnées polaires du point $M$ par rapport à l’axe polaire $(O;\overrightarrow{I})$. Le point $O$ est le pôle

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Proposition 19

Soit $z\in \mathrm{ℂ}*$.

Si $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ tel que $r\in \mathrm{ℝ}*$ et $\theta \in \mathrm{ℝ}$, alors : $\left|z\right|=r$ et $\theta \equiv arg\left(z\right)\left[2\mathrm{\pi }\right]$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Proposition 20

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

On a les équivalences suivantes :

$$\begin{gathered} z\in \mathrm{ℝ}*\iff arg\left(z\right)\equiv 0\left[\mathrm{\pi }\right] \\ z\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\iff arg\left(z\right)\equiv 0\left[2\mathrm{\pi }\right] \\ z\in {\mathrm{ℝ}}_{-}^{*}\iff arg\left(z\right)\equiv \mathrm{\pi }\left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \mathrm{z}\in \mathrm{i}\mathrm{ℝ}*\iff \arg \left(\mathrm{z}\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2}\left[\mathrm{\pi }\right] \\ \mathrm{z}\in \mathrm{i}{\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\iff \arg \left(\mathrm{z}\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2}\left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \mathrm{z}\in \mathrm{i}{\mathrm{ℝ}}_{-}^{*}\iff \arg \left(\mathrm{z}\right)\equiv -\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left[2\mathrm{\pi }\right] \end{gathered}$$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Remarques

1- Les propositions 18 et 19 nous indiquent que toute écriture du genre $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ avec $r\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ et $\theta \in \mathrm{ℝ}$ est une forme géométrique d’un nombre complexe de module $r$ et d’argument $\theta$.

2- La proposition 20 nous facilite la détermination d’une forme trigonométrique d’un nombre réel ou imaginaire pur. En effet, si $x$ est un nombre réel strictement positif, alors :

3- La détermination d’une écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul $z$ est équivalente à la détermination de son module et d’un de ces arguments. Pratiquement :

Si $z=x+iy$ avec $(x;y)\in {\mathrm{ℝ}}^2-\left\{\left(0,0\right)\right\}$ alors $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$, et donc :

$\frac{z}{\left|z\right|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Et si $arg\left(z\right)\equiv \theta \left[2\mathrm{\pi }\right]$ alors $z=\left|z\right|(\cos \theta +i\sin \theta )$, et donc :

$\frac{z}{\left|z\right|}=\cos \theta +i\sin \theta$

Par conséquent : $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $\sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Ainsi, la connaissance de $\cos \theta$ et $\sin \theta$ permet la détermination d’un argument de $z$. (On pourra utiliser les boutons ${\cos }^{-1}$ et ${\sin }^{-1}$ de la calculatrice).

4- Si $z=\lambda (\cos \theta +i\sin \theta )$ avec $\lambda \in {\mathrm{ℝ}}_{-}^{*}$ alors $\left|z\right|=-\lambda$. Par suite : $z=\left|\lambda \right|(\cos \left(\theta +\mathrm{\pi }\right)+i\sin \left(\theta +\mathrm{\pi }\right))$ est une forme trigonométrique du nombre $z$.

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Proposition 21

Pour des nombres complexes non nuls $z$ et $z\text{'}$, on a :

$$\begin{gathered} z\text{'}=z\iff \left(\left|z\text{'}\right|=\left|z\right| et arg\left(z\text{'}\right)\equiv arg\left(z\right)\left[2\mathrm{\pi }\right]\right) \\ z\text{'}=\overline{z}\iff \left(\left|z\text{'}\right|=\left|z\right| et arg\left(z\text{'}\right)\equiv -arg\left(z\right)\left[2\mathrm{\pi }\right]\right) \\ z\text{'}=-z\iff \left(\left|z\text{'}\right|=\left|z\right| et arg\left(z\text{'}\right)\equiv \mathrm{\pi }+arg\left(z\right)\left[2\mathrm{\pi }\right]\right) \end{gathered}$$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Corollaire

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

Si $z=[r,\theta ]$ alors : $\overline{z}=[r,-\theta ]$ et $-z=[r,\mathrm{\pi }+\theta ]$.

En particulier, on a : $arg\left(\overline{z}\right)\equiv -arg\left(z\right)\left[2\mathrm{\pi }\right]$ et $arg\left(-z\right)\equiv \mathrm{\pi }+arg\left(z\right)\left[2\mathrm{\pi }\right]$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Proposition 22

Soient $z$ et $z\text{'}$ deux nombres complexes non nuis tels que $z=[r,\theta ]$ et $z\text{'}=[r\text{'},\theta \text{'}]$

On a les relations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} zz\text{'}=[rr\text{'},\theta +\theta \text{'}] et arg\left(zz\text{'}\right)\equiv \arg \left(\mathrm{z}\right)+arg\left(z\text{'}\right)\left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \overline{)2} \frac{1}{z}=\left[\frac{1}{r};-\theta \right] et arg\left(\frac{1}{z}\right)\equiv -\arg \left(\mathrm{z}\right)\left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \overline{)3} \frac{z}{z\text{'}}=\left[\frac{r}{r\text{'}};\theta -\theta \text{'}\right] et arg\left(\frac{z}{z\text{'}}\right)\equiv \arg \left(\mathrm{z}\right)-\arg \left(\mathrm{z}\text{'}\right)\left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \overline{)4} \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right) z^n=[r^n,n\theta ] et arg\left(z^n\right)\equiv narg\left(z\right)\left[2\mathrm{\pi }\right] \end{gathered}$$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Remarques

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$, et $z_1,z_2,...,z_n$ z, , z2 ,.. zn des nombres complexes non nuis. Alors :

$arg\left(\prod _{k=1}^n{z}_k\right)=\sum _{k=1}^{n}arg\left(z_k\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$

Si $z_1$ et $z_2$ sont deux nombres complexes non nuls tels que $z_1+z_2\ne 0$, alors on n'a pas en général $arg\left(z_1+z_2\right)\equiv arg\left(z_1\right)+arg\left(z_2\right)\left[2\mathrm{\pi }\right]$.

Contre-exemple :

$arg\left(1\right)+arg\left(i\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2}\left[2\mathrm{\pi }\right]$ et $arg\left(1+i\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[2\mathrm{\pi }\right]$ et $\frac{\mathrm{\pi }}{2}\not\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[2\mathrm{\pi }\right]$

Soit $z$ et $z\text{'}$ deux nombres complexes non nuls, et soit $M$ et $M\text{'}$ leurs images respectives dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{I};\overrightarrow{J})$

À partir de la proposition 22, on peut déduire que le point $P(z.z\text{'})$ est le point du plan complexe tel que :

$OP=OM\times OM\text{'}$ et $\left(\widehat{\overrightarrow{I};\overrightarrow{OP}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{I};\overrightarrow{OM}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{I};\overrightarrow{OM\text{'}}}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-3/ Angle de deux vecteurs et argument d'un complexe

Proposition 23

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuis d'affixes respectives $z$ et $z\text{'}$, et soit $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ , $z_C$et $z_D$ tels que $A\ne B$ et $C\ne D$.

Alors le nombre complexe $\frac{z\text{'}}{z}$ a pour argument toute mesure de l'angle $\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)$. Ainsi :

1- $\left(\widehat{\overrightarrow{I};\overrightarrow{u}}\right)\equiv arg\left(z\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$ et $\left(\widehat{\overrightarrow{I};\overrightarrow{AB}}\right)\equiv arg\left(z_B-z_A\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$ (argument de l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$).

2- $\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)\equiv arg\left(\frac{z\text{'}}{z}\right)\left[2\mathrm{\pi }\right]$ et $\left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}}\right)\equiv arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right]$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-3/ Angle de deux vecteurs et argument d'un complexe

Proposition 24

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls d'affixes respectives $z$ et $z\text{'}$, et soit $A$, $B$, $C$ et $D$ des points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ , $z_C$et $z_D$. On a :

1- Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $arg\left(\frac{z\text{'}}{z}\right)\equiv 0\left[\mathrm{\pi }\right] \left(\frac{\mathrm{z}\text{'}}{\mathrm{z}}\in \mathrm{ℝ}\right)$

Et : $\left(AB\right)\parallel \left(CD\right)\iff arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\equiv 0 \left[2\mathrm{\pi }\right]$

2- Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $arg\left(\frac{z\text{'}}{z}\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2}\left[\mathrm{\pi }\right] \left(\frac{\mathrm{z}\text{'}}{\mathrm{z}}\in i\mathrm{ℝ}\right)$

Et : $\left(AB\right)\perp \left(CD\right)\iff arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]$

3- Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont alignés ou cocycliques (appartenant au même cercle) si, et seulement si : $\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}÷\frac{z_C-z_D}{z_B-z_D}\right)\in \mathrm{ℝ}$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-4/ Notation exponentielle d'un nombre complexe non nul

Définition 10

Pour tout réel $\theta$, on note $e^{i\theta }$ le nombre complexe de module $1$ et d’argument $\theta$.

Autrement dit : $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-4/ Notation exponentielle d'un nombre complexe non nul

Remarques

D’après la définition 10, les nombres complexes de la forme $e^{i\theta }$ (avec $\theta \in \mathrm{ℝ}$) sont les affixes des points du plan complexe situés sur le cercle trigonométrique, et inversement, tout point du cercle trigonométrique a une affixe de la forme $e^{i\theta }$ (avec $\theta \in \mathrm{ℝ}$).

Par convention, on écrit pour tout $\theta \in \mathrm{ℝ}$ : $e^{i\left(-\theta \right)}=e^{i\theta }$

Lorsque $\theta =0$, alors on a $e^{i\theta }=1$ ; ainsi, cette nouvelle définition est donc compatible avec la valeur que donne en $0$ la fonction exponentielle déjà connue sur $\mathrm{ℝ}$.

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-4/ Notation exponentielle d'un nombre complexe non nul

Proposition 25

Soit $\theta$ et $\theta \text{'}$ deux nombres réels. Alors :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left|e^{i\theta }\right|=1 et arg\left(e^{i\theta }\right)\equiv \theta \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \overline{)2} e^{i\theta }\times e^{i\theta \text{'}}=e^{i\left(\theta +\theta \text{'}\right)} \\ \overline{)3} e^{-i\theta }=\overline{e^{i\theta }}=\frac{1}{e^{i\theta }}=\cos \theta -i\sin \theta \\ \overline{)4} \frac{e^{i\theta }}{e^{i\theta \text{'}}}=e^{i\left(\theta -\theta \text{'}\right)} \\ \overline{)5} e^{i\left(\theta \right)}=e^{i\left(\theta \text{'}\right)}\iff \theta \equiv \theta \text{'} \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \overline{)6} -e^{i\theta }=e^{i\left(\theta +\mathrm{\pi }\right)} \end{gathered}$$

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-4/ Notation exponentielle d'un nombre complexe non nul

Définition 11

Soit $z$ un nombre complexe non nul de module $r$ et d’argument $\theta$.

L’écriture $z=r{e}^{i\theta }$ est appelée la notation exponentielle ou l’écriture exponentielle du nombre $z$.

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-4/ Notation exponentielle d'un nombre complexe non nul

Proposition 26

Pour tout réel $\theta$ et pour tout entier relatif $n$, on a ${\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }$, ou encore, par définition de $e^{i\theta }$ :

${\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^n=\cos \left(n\theta \right)+i\sin \left(n\theta \right)$

« Formule de Moivre »

Pour tout réel $\theta$ :

$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2} et \sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$

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