Maths 2Bac SM - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1 (7 pts)

On considère ta fonction numérique $f_n$ définie sur ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ par :

$f_n\left(x\right)=x-n+\frac{n}{2}\ln x \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right)$

1. Étudier les variations de la fonction $f_n$.

2. Montrer qu'il existe un unique réel strictement positif ${\alpha }_n$ tel que $f_n\left({\alpha }_n\right)=0$.

3. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) : 1\le {\alpha }_n\le e^2$

4. Montrer que la suite ${\left({\alpha }_n\right)}_{n\ge 1}$ est décroissante puis qu’elle est convergente.

5. Montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left({\alpha }_n\right)=e^2$.

II- Exercice 2 (10 pts)

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{\ln x}{{\ln }^{2}x+\ln x+1} si x>0\\ f\left(0\right)=0\end{array}\right.$

Et soit $\mathcal{C}$ sa courbe  représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x\right)$.

2. Montrer que $f$ est continue à droite en $0$.

3. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

4. Étudier les variations de la fonction $f$.

5. Écrire l'équation de la tangente $\left(T\right)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

6. Tracer la courbe $\mathcal{C}$.

Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=\left[\frac{1}{e};e\right]$.

7. Montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer.

8. Montrer que $g^{-1}$ est dérivable en $0$, puis déterminer ${\left(g^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(0\right)$.

III- Exercice 3 (3 pts)

1. Déterminer les fonctions primitives des fonctions suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-4x+6} \\ \overline{)2} g\left(x\right)=\frac{x^3-4x^2+x+1}{x^2-4x+6} \end{gathered}$$