Maths 3AC - Examen Local 4

I- Exercice 1 (1,5 pts)

Réponds par "Vrai" ou "Faux", en corrigeant l’expression fausse :

1. On utilise le théorème de THALES (sens direct) pour prouver le parallélisme de deux droites : _____________

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2. $a$ et $b$ deux nombres réels, si $a-b=-3$, alors $a\le b$ : _____________

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3. La factorisation de l’expression $x^2-x$ est $x^2\left(x-1\right)$ : _____________

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II- Exercice 2 (5,5 pts)

On considère l’expression $A=x^2+6x+9+\left(x+3\right)\left(5-x\right)$.

1. Développer puis simplifier l’expression $A$.

2. Factoriser l’expression $A$.

3. Simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} B=\sqrt{\sqrt{4}+7} \\ C=3\sqrt{2}+\sqrt{8}-\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

4. Rendre rationnel le dénominateur :

$\frac{3}{\sqrt{7}} ; \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+1}$

On considère l’expression $D=\frac{3^2\times {\left({10}^2\right)}^4\times 2^2\times {10}^3}{{10}^5}$.

5. Montrer que $D=36\times {10}^6$.

6. Donner l’écriture scientifique de $D$.

III- Exercice 3 (5 pts)

1. Comparer les nombres $2\sqrt{5}$ et $5\sqrt{2}$.

2. Déduire une comparaison des nombres $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ et $\frac{1}{5\sqrt{2}}$.

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $4\le x\le 9$ et $1\le y\le 3$.

3. Encadrer les nombres suivants : $x+y ; x-y ; \frac{x-y}{x+y}$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs.

4. Comparer les nombres $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ et $2$.

IV- Exercice 4 (4 pts)

$ABC$ est un triangle tel que $AB=\sqrt{5}$, $AC=2$ et $BC=3$.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

2. Calculer $\cos \widehat{ABC}$, $\sin \widehat{ABC}$ et $\tan \widehat{ABC}$.

Soit $x$ la mesure d’un angle aigu tel que $\sin x=\frac{1}{2}$.

3. Calculer $\cos x$ et $\tan x$.

4. Simplifier l’expression suivante :

$M={\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos x-\sin x\right)}^2$

V- Exercice 5 (3 pts)

On considère la figure suivante tel que :

$\mathrm{I}\in \left(\mathrm{AB}\right) ; \mathrm{J}\in \left(\mathrm{AC}\right) ; \mathrm{AJ}=2 ; \mathrm{AC}=6 ; \mathrm{AI}=3 ; \mathrm{AB}=9 ; \mathrm{BC}=12$

1. Vérifier que $\frac{AI}{AB}=\frac{AJ}{AC}$.

2. Montrer que : $\left(IJ\right) // \left(BC\right)$

3. Calculer $IJ$

VI- Exercice 6 (2 pts)

On considère la figure suivante tel que $\widehat{AFB}=40°$.

1. Calculer en justifiant ta réponse $\widehat{AEB}$ et $\widehat{AOB}$.