Math TC - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1 (5 pts)

Soient $x$ et $y$ deux reéls tel que : $\left|2-3x\right|<2$ et $1<\sqrt{2y+1}<3$.

1. Montrer que : $0<x<\frac{4}{3}$ et $0<y<4$.
2. Encadrer :  $x+y, xy, x-y$ et $y^2$.

Soit $0,25$  une valeur approchée de $a$ à $0,05$ prés par excès et $-2\le b\le 1$

3. Montrer que $\frac{1}{5}\le a\le \frac{1}{4}$ et que $\frac{1}{25}\le \frac{a}{- 2b + 3} \le \frac{1}{8}$

4. Montrer que $\frac{9}{2}$ est une valeur approchee de $\frac{1}{a}$ et donner sa précision.

II- Exercice 2 (5 pts)

1. Comparer $A$ et $B$ tel que $A=\frac{1 +\sqrt{ 2}}{2 + \sqrt{ 2}}$ et $B=\frac{ 4 +\sqrt{ 2}}{7}$.

2. Comparer $6\sqrt{7} et 3\sqrt{29}$ puis simplifier $\sqrt{{( 3\sqrt{29}-6\sqrt{7})}^2}$

Soient les intervalles $I= ]-12;2[$ et $J=[1;+\infty [$ et $K=]1; 6[$.

3. Représenter $I$ et $J$ et $K$ sur la même droite graduée (utiliser des couleurs).

4. Determiner $I\cap J$ et $I\cup K$ et $I\cap J\cap K$.

5. Écrire sous forme d’intervalles où $x$ appartient : $|2 x+1|\le 3$ et $\frac{1}{2}\le \frac{1}{2 x + 3}\le 1$.

III- Exercice 3 (3 pts)

On considère le polynôme suivant  $P\left(x\right)=2x^2-5x+3$

1. Vérifier que $1$ est une racine de $P\left(x\right)$

2. Déterminer le polynôme  $Q\left(x\right)$ tel que $P\left(x\right)=Q\left(x\right)(x-1)$

3. Déduire la deuxième racine de $P\left(x\right)$

IV- Exercice 4 (7 pts)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O ;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

 On considère les points  $A\left(3;-2\right)$, $B\left(1;1\right)$, $C\left(-1;4\right)$ et $D\left(3;2\right)$.

1. Déterminer $det\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$ . Que peut-on déduire ?

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\left(AB\right)$.

3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(D\right)$ passant par $D$ et dirigée par $\overrightarrow{u}\left(2;-1\right)$.

 Soient  $\left(D\text{'}\right)$ et  $\left(D\text{'}\text{'}\right)$ deux droites telles que  :

$\left(D\text{'}\right)$ : $x-y+3=0$ et  $\left(D\text{'}\text{'}\right)$ : $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=2+t t\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.$

4. Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(D\text{'}\text{'}\right)$.

5. Montrer que $\left(D\text{'}\right)$ et  $\left(D\text{'}\text{'}\right)$ sont sécantes en un point $I$.

6. Déterminer les coordonnées du point $I$.