Séance 8-1 : Équations différentielles (Cours)

Sommaire

I- Équations différentielles du premier ordre

1-1/ L'équation différentielle $y\text{'}=ay \left(a\in \mathrm{ℝ}*\right)$

1-2/ L'équation différentielle $y\text{'}=ay+b \left(a\in \mathrm{ℝ}*, b\in \mathrm{ℝ}\right)$

II- Équations différentielles du second ordre

2-1/ L'équation différentielle $y\text{'}\text{'}+ay\text{'}+by=0 \left(\left(a,b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right)$

I- Équations différentielles du premier ordre

1-1/ L'équation différentielle $y\text{'}=ay \left(a\in \mathrm{ℝ}*\right)$

Proposition 1

La solution générale de l’équation différentielle $y\text{'}=ay$ est $y=\lambda e^{ax} \left(\lambda \in \mathrm{ℝ}\right)$

Remarque

Pour tout $\left(x_0,y_0\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$, il existe une solution unique $f$ de l’équation différentielle $y\text{'}=ay$ vérifiant la condition $f\left(x_0\right)=y_0$.

I- Équations différentielles du premier ordre

1-2/ L'équation différentielle $y\text{'}=ay+b \left(a\in \mathrm{ℝ}*, b\in \mathrm{ℝ}\right)$

Proposition 2

La solution générale de l’équation différentielle $y\text{'}=ay+b$ est $y=\lambda e^{ax}-\frac{b}{a} \left(\lambda \in \mathrm{ℝ}\right)$

II- Équations différentielles du second ordre

2-1/ L'équation différentielle $y\text{'}\text{'}+ay\text{'}+by=0 \left(\left(a,b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right)$

Proposition 3

Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.

On considère l'équation différentielle : $\left(E\right) : y"+ay\text{'}+by=0$

L’équation caractéristique de $\left(E\right)$ est : $r^2+ar+b=0$

Son discriminant est : $\Delta =a^2-4b$

1) Si $\Delta >0$, alors l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, et la solution générale de $\left(E\right)$ est donnée par :

$y=\alpha e^{r_{1}x}+\beta e^{r_{2}x} ; \left(\alpha ,\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$

2) Si $\Delta =0$, alors l'équation caractéristique admet une racine double $r$, et la solution générale de $\left(E\right)$ est donnée par :

$y=\left(\alpha x+\beta \right)e^{rx} ; \left(\alpha ,\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$

3) Si $\Delta <0$, alors l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées.

En posant $r_1=p+iq$ et $r_2=p-iq$ avec $\left(p,q\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$, la solution générale de $\left(E\right)$ est donnée par :

$y=\left(\alpha \cos \left(qx\right)+\beta \sin \left(qx\right)\right)e^{px} ; \left(\alpha ,\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$

II- Équations différentielles du second ordre

2-1/ L'équation différentielle $y\text{'}\text{'}+ay\text{'}+by=0 \left(\left(a,b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right)$

Remarques

1) Pour tout $\left(x_0,y_0,z_0\right)\in {\mathrm{ℝ}}^3$, il existe une unique solution de l’équation $\left(E\right) : y\text{'}\text{'}+ay\text{'}+by=0$ vérifiant les conditions initiales : $y\left(x_0\right)=y_0$ et $y\text{'}\left(x_0\right)=z_0$.

2) L’équation $y"+{\omega }^{2}y=0$ est un cas particulier de l’équation différentielle $\left(E\right) : y\text{'}\text{'}+ay\text{'}+by=0$ :

La solution générale de l’équation différentielle $y"+{\omega }^{2}y=0$ est :

$y=\alpha \cos \left(\omega x\right)+\beta \sin \left(\omega x\right) ; \left(\alpha ,\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$.

La solution générale de l’équation différentielle $y"-{\omega }^{2}y=0$ est :

$y=\alpha e^{\omega x}+\beta e^{-\omega x} ; \left(\alpha ,\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$.

3) En gros, on peut exprimer les conditions initiales d’une équation différentielle par diverses formules, par exemple :

• Le point $A\left(x_0,y_0\right)$ appartient à la courbe de $f$, ce qui se traduit par : $y_0=f\left(x_0\right)$
• La fonction $f$ prend la valeur $y_0$ en $x_0$ ce qui se traduit par : $y_0=f\left(x_0\right)$
• La courbe ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ admet au point $A\left(x_0,y_0\right)$ une tangente de pente $y_1$ : $y_0=f\left(x_0\right)$ et $y_1=f\text{'}\left(x_0\right)$.

4) Dans les sciences physiques, on rencontre souvent les équations différentielles $ay"+by\text{'}+cy=0$ sous la forme à titre d’exemple : $a\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+b\frac{dx}{dt}+cx=0$ ou sous la forme : $a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0$.