Séance 5-3 : Fonctions exponentielles - Problème de synthèse

Sommaire

V- Problème de synthèse

5-1/ Partie 1

5-2/ Partie 2

V- Problème de synthèse

5-1/ Partie 1

Pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ on considère la fonction $g_n$ définie par : $g_n\left(x\right)=x+e^{-nx}$.

Et soit ${\mathcal{C}}_n$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Étudier les variations de la fonction $g_n$.

2. Montrer que $g_n$ admet un minimum absolu en un réel un qu'on exprimera en fonction de $n$.

3. Calculer les limites $\underset{x\to -\infty }{\lim }{g}_n\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{g}_n\left(x\right)$.

4. Déterminer les branches infinies de ${\mathcal{C}}_n$.

5. Étudier la position relative des courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$.

6. Tracer dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ les courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$. (On prend : $||\overrightarrow{i}||=2cm$  et $\ln \left(2\right)\simeq 0.7$)

V- Problème de synthèse

5-2/ Partie 2

On considère la fonction $f_n$ définie sur M par : $f_n\left(x\right)=x+e^{nx}$

Et soit ${\Gamma }_n$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Étudier les variations de la fonction $f_n$.

2. En déduire que l’équation $f_n\left(x\right)=0$ admet une solution unique ${\alpha }_n$.

3. Montrer que ${\alpha }_1\in ]-\ln 2;-\frac{1}{2}[$.

4. Montrer que les quantités $\left(x-{\alpha }_1\right)$ et $\left(e^x+{\alpha }_1\right)$ ont le même signe.

On considère la fonction $\phi$ définie sur $]-\infty ;-\frac{1}{2}]$ par : $\phi \left(x\right)=e^x-\frac{1}{\sqrt{e}}x$

5. Montrer que la fonction $\phi$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty ;-\frac{1}{2}]$.

6. En déduire que pour tout $x\in ]-\infty ;-\frac{1}{2}]$ : $\left|e^x+{\alpha }_1\right|\le \frac{1}{\sqrt{e}}\left|x-{\alpha }_1\right|$

On considère la suite $\left({\beta }_n\right)$ définie par ${\beta }_0=-\frac{1}{2}$, et pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : ${\beta }_{n+1}=-e^{{\beta }_n}$

7. Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ tel que :

$\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : \left|{\beta }_{n+1}-{\alpha }_1\right|\le \alpha \left|{\beta }_n-{\alpha }_1\right|$

8. Montrer que la suite $\left({\beta }_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.